INTERLUDE: Remainder arithmeticSee

INTERLUDE: Remainder arithmetic
See also the article Modular Arithmetic.
What is the final digit of 34×57?
Without doing the full multiplication, we know it must be 8, because 8 is the final digit of 4×7.
But how do we know?
Because 34×57=(30×57)+(4×57)=m10+(4×50)+(4×7)=m10+200+8=m10+8.
In this example 'final digit' means 'remainder when divided by 10'. To find the remainder in the product (of 34 and 57), we need only find the product of the remainders (4 and 7). This rule works, for essentially the same reason, for remainders when we divide by numbers other than 10.
Once upon a time, schoolchildren were taught a special case of this, called 'casting out nines'. Suppose, for example, I work out 256×77 by long multiplication, and I get the answer 19612. The remainders when I divide 256 and 77 by 9 are their digital roots: 4 and 5 respectively. The product of 4 and 5 is 20, with digital root (remainder) 2. My answer 19612 should also have a digital root of 2; in fact it has a digital root of 1, so I must have made a mistake in my long multiplication!
Beware: casting out nines may detect a wrong answer (like that above) but it cannot guarantee a correct one. For example, 19721 has digital root 2, but the 'final digit test' (which could be called 'casting out tens') shows that it cannot be the answer to 256×77.
[Attending to remainders is the essence of 'modular arithmetic'. The genius C F Gauss gave the first formal account of this in his 1801 book Disquitiones Arithmeticae, which he published at the age of 24].
Multiples of 7
A test for divisibility by 7 (or any number, in principle) can be devised using remainder arithmetic, as follows. The remainder when 10 is divided by 7 is 3, so the remainder when 100 (=10×10) is divided by 7 is 3×3=9 (which is 7+2, so the actual remainder is 2).
[Editor's note:

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

สเปรย์: เหลือเลขคณิตดูบทความเลขคณิตมอดุลาร์ ตัวเลขหลักสุดท้ายของ 34 × 57 คืออะไรโดยไม่ต้องทำการคูณฉบับสมบูรณ์ เรารู้ว่า มันต้องเป็น 8 เพราะ 8 เป็นตัวเลขหลักสุดท้ายของ 4 × 7แต่เรารู้ได้อย่างไรเพราะ 34 × 57 =(30×57) + (4 × 57) = m10 + (4 × 50) +(4×7) = m10 + 200 + 8 = m10 + 8ในตัวอย่างนี้ 'หลักสุดท้าย' หมายถึง 'เศษเหลือเมื่อหาร ด้วย 10' เพื่อค้นหาส่วนเหลือในผลิตภัณฑ์ (จาก 34 และ 57), เราต้องหาผลิตภัณฑ์ที่เหลือ (4 และ 7) เท่านั้น กฎนี้ทำงาน เหตุผลหลักเดียวกัน สำหรับส่วนที่เหลือเมื่อเราแบ่งตามหมายเลขอื่นที่ไม่ใช่ 10กาลครั้งหนึ่ง นักเรียนได้รับการสอนแบบพิเศษกรณีนี้ เรียกว่า 'หล่อออกท่ามกลางบรรยากาศ' สมมติว่า เช่น อย่าง 256 × 77 โดยคูณยาว และฉันได้รับคำตอบ 19612 ส่วนที่เหลือเมื่อฉันแบ่ง 256 และ 77 โดย 9 มีรากของดิจิตอล: 4 และ 5 ตามลำดับ ผลิตภัณฑ์ที่ 4 และ 5 คือ 20 มีรากดิจิตอล (เหลือ) 2 คำตอบของฉัน 19612 ควรมีรากดิจิตอล 2 ในความเป็นจริงมันมีรากของ 1 ดิจิตอลจึงต้องมีความผิดพลาดในการคูณยาวของฉันระวัง: หล่อออกท่ามกลางบรรยากาศอาจตรวจพบคำตอบที่ผิด (ที่เหมือนข้างบน) แต่ก็ไม่สามารถรับประกันได้หนึ่งถูกต้อง เช่น 19721 มีรากดิจิตอล 2 แต่ 'ตัวเลขสุดท้ายทดสอบ' (ซึ่งอาจจะเรียกว่า 'หล่อออกสิบ') แสดงว่า มันไม่มีคำตอบ 256 × 77[การส่วนที่เหลือเป็นสาระสำคัญของ 'เลขคณิตมอดุลาร์' Genius C F Gauss ให้บัญชีอย่างเป็นทางการแรกนี้ในหนังสือของเขา 1801 Disquitiones Arithmeticae ที่เขาเผยแพร่อายุ 24]คูณ 7การทดสอบสำหรับ divisibility 7 (หรือหมาย เลขใด ๆ ในหลักการ) สามารถวางแผนได้โดยใช้เลขคณิตเหลือ ดังนี้ ส่วนเหลือเมื่อ 10 ถูกหาร ด้วย 7 คือ 3 ดังนั้นส่วนเหลือเมื่อ 100 (= 10 × 10) ถูกหาร ด้วย 7 คือ 3 × 3 = 9 (ซึ่งเป็น 7 + 2 จึงเหลือจริง 2)[หมายเหตุของบรรณาธิการ:

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

Interlude: เหลือเลขคณิต
ดูเพิ่มเติมบทความ Modular เลขคณิต.
อะไรคือหลักสุดท้ายของ 34 × 57?
โดยไม่ต้องทำคูณเต็มรูปแบบที่เรารู้ว่ามันจะต้องเป็น 8 เพราะ 8 เป็นเลขหลักสุดท้ายของ 4 × 7.
แต่อย่างไรเรารู้ว่า ?
เพราะ 34 × 57 = (30 × 57) + (4 × 57) = M10 + (4 × 50) + (4 × 7) = M10 + 200 + 8 = M10 + 8.
ในตัวอย่างนี้ 'หลักสุดท้าย' หมายถึง ' ที่เหลือเมื่อหารด้วย 10 ' เพื่อหาสิ่งที่เหลือในผลิตภัณฑ์ (34 และ 57) เราต้องการเพียงค้นหาสินค้าของส่วนที่เหลือนี้ (4 และ 7) กฎนี้ทำงานสำหรับหลักเหตุผลเดียวกันสำหรับส่วนที่เหลือเมื่อเราหารด้วยตัวเลขอื่น ๆ กว่า 10
กาลครั้งหนึ่ง, เด็กนักเรียนได้รับการสอนเป็นกรณีพิเศษนี้เรียกว่า 'หล่อออกเก้า' ตัวอย่างเช่นสมมติผมทำงานออก 256 × 77 โดยคูณนานและฉันได้คำตอบ 19612. เหลือเมื่อฉันแบ่ง 256 และ 77 จาก 9 เป็นรากของพวกเขาดิจิตอล: 4 และ 5 ตามลำดับ ผลิตภัณฑ์ของ 4 และ 5 คือ 20 กับรากดิจิตอล (ที่เหลือ) 2 คำตอบ 19612 ของฉันยังควรจะมีรากดิจิตอล 2; ในความเป็นจริงมันมีรากดิจิตอล 1 ดังนั้นฉันจะต้องมีการทำผิดพลาดในการคูณยาวของฉัน!
ระวัง: หล่อออกเก้าอาจตรวจพบคำตอบที่ผิด (เช่นเดียวกับที่กล่าวข้างต้น) แต่ก็ไม่สามารถรับประกันถูกต้อง ยกตัวอย่างเช่น 19721 มีรากดิจิตอล 2 แต่ 'การทดสอบหลักสุดท้าย' (ซึ่งอาจจะเรียกว่า 'หล่อออกมาหลายสิบ') แสดงให้เห็นว่ามันไม่สามารถเป็นคำตอบ 256 × 77.
[การเข้าร่วมการเหลือเป็นสาระสำคัญของ 'เลขคณิตโมดูลาร์ ' อัจฉริยะ CF Gauss ให้บัญชีอย่างเป็นทางการครั้งแรกใน 1801 หนังสือของเขา Disquitiones Arithmeticae ซึ่งเขาตีพิมพ์ที่อายุ 24].
ชุดละ 7
จะทดสอบการหาร 7 (หรือหมายเลขใด ๆ ในหลักการ) สามารถวางแผนการใช้ที่เหลือ การคำนวณดังนี้ ส่วนที่เหลือเมื่อ 10 โดยแบ่งเป็น 7 คือ 3 จึงเหลือเมื่อ 100 (= 10 × 10) โดยแบ่งเป็น 7 คือ 3 × 3 = 9 (ซึ่งเป็น 7 + 2 ดังนั้นที่เหลือที่เกิดขึ้นจริงคือ 2).
[หมายเหตุบรรณาธิการ :