(v) Consider the topology τ = {X ,

(v) Consider the topology τ = {X , φ, {a}}. Then the sets {a},
{b}, {c}, {a, b} and {a, c} are τ*-g-closed but not α-closed.
(vi) Consider the topology τ = {X , φ, {a}, (a, b}}. Then the set {b} is α-closed but not τ*-g-closed set.
(vii) Consider the topology τ = {X , φ, {a}}. Then the sets {a}, {a, b}and {a, c} are τ*-g-closed but not pre-closed.
(viii) Consider the topology τ = {X , φ, {b}, {a, b}}. Then the set {a} is pre-closed but not τ*-g-closed.
(xi) Consider the topology τ = {X , φ}}. Then the sets {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}and {a, c} are τ*-g-closed
but not gs-closed.
(x) Consider the topology τ = {Y , φ, {a}, {a, b, c}, {a, b, d}}. Then the sets {b}, {b, c} and {b, d} are gs-closed
but not τ*-g-closed.
(xi) Consider the topology τ = {X , φ, {a}, {b}, (a, b}}, where X = {a, b, c}. Then the sets {b}and {a, b}
are gsp-closed but not τ*-g-closed. (xii) Consider the topology τ = {Y , φ, {a}}. Then the set {a} is τ*-g-closed but not gsp-closed. (xiii) Consider the topology τ = {X, φ, {a}}. Then the set {a} is τ*-g-closed but not αg-closed. (xiv) Consider the topology τ = {Y , φ, {a},{a, b, c}, {a, b, d}}. Then the sets {b}, {b, c} and {b, d} are αg-closed
but not τ*-g-closed.
(xv) Consider the topology τ = {X, φ, {a}, {b}, (a, b},{a, c}}.Then the set {b}is τ*-g-closed but not gα-closed.
(xvi) Consider the topology τ = {Y, φ, {a},{a, b, c}, {a, b, d}}. Then the sets {b}, {b, c} and {b, d} are gα-closed but not τ*-g-closed.
Theorem 3.8. For any two sets A and B, cl*(A ∪ B) = cl*(A) ∪ cl*(B)
Proof : Since A ⊆ A ∪ B , we have cl*(A) ⊆ cl*(A ∪ B) and since B ⊆ A ∪ B , we have (B) ⊆ cl*(A ∪ B).
Therefore cl*(A) ∪ (B) ⊆ *(A ∪ B). Also , cl*(A) and cl*(B) are the closed sets Therefore cl*(A) ∪ cl*
(B) is also a closed set. Again, A ⊆ cl*
(A) and B ⊆ cl*
(B) implies A∪B ⊆ cl*(A) ∪ cl*(B).
Thus, cl*(A) ∪ cl*(B) is a closed set containing A ∪ B.
Since cl*(A ∪ B) is the smallest closed set containing A∪B we have cl*(A ∪ B) ⊆ cl*(A) ∪ cl*(B).
Thus, (B) = cl*(A) ∪ cl*(B)
Theorem 3.9. Union of two τ* g-closed sets in X is a τ*-g-closed set in X.
Proof : Let A and B be two τ* g-closed sets. Let A ∪ B ⊆ G, where G is τ*-open.
Since A and B are τ*-g-closed sets, (A) ∪ cl*(B) ⊆ G. But by Theorem 3.8., cl*(A) ∪ cl*(B) = (A ∪ B).
Therefore cl*(A ∪ B) ⊆ G. Hence A ∪ B is a τ*-g-closed set.
Theorem 3.10. A subset A of X is τ*-g-closed if and only if cl*(A) – A contains no non-empty τ* -closed set in X.
Proof: Let A be a τ*-g-closed set. Suppose that F is a non-empty τ*-closed subset of cl*(A) – A. Now F ⊆ cl*
(A) – A.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

(v) พิจารณาการโทโพโลยีτ = { X φ, {ตัว} } แล้วชุด {a }, {b }, {c }, {a, b } และ {a, c } มีτ * -g-ปิด แต่ไม่ด้วยกองทัพปิด (vi) พิจารณาการโทโพโลยีτ = { X φ, {a }, (a, b } } แล้วชุด {b } ปิดด้วยกองทัพแต่ไม่τ * -g-ปิดชุด (vii) พิจารณาการโทโพโลยีτ = { X φ, {ตัว} } แล้วชุด {a }, {a, b } และ {a, c } มีτ * -g-ปิด แต่ไม่ก่อนปิด (viii) พิจารณาการโทโพโลยีτ = { X φ {b }, {a, b } } แล้วชุด {กับ} ก่อนปิดแต่ไม่τ * -g-ปิด (xi) พิจารณาการโทโพโลยีτ = {X φ} } แล้วชุด {กับ} {b }, {c }, {a, b }, {b, c } และ {a, c } มีτ * -g-ปิด แต่ไม่ gs ปิด (x) พิจารณาการโทโพโลยีτ = { Y φ, {a }, {a, b, c }, { a, b, d } } แล้วชุด {b }, {b, c } และ {b, d } จะปิด gs แต่ไม่τ * -g-ปิด (xi) พิจารณาการโทโพโลยีτ = { X φ, {a }, {b }, (a, b } }, ที่ X = {a, b, c } แล้วชุด {b } และ {a, b } จะปิด gsp แต่ไม่τ * -g-ปิด (xii) พิจารณาการโทโพโลยีτ = { Y φ, {ตัว} } แล้วชุด {กับ} τ * -g-ปิด แต่ไม่ gsp ปิด (xiii) พิจารณาการโทโพโลยีτ = { X φ, {ตัว} } แล้วชุด {กับ} τ * -g-ปิด แต่ไม่ αg ปิด (xiv) พิจารณาการโทโพโลยีτ = { Y φ, {a }, {a, b, c }, { a, b, d } } แล้วชุด {b }, {b, c } และ {b, d } จะปิด αg แต่ไม่τ * -g-ปิด (xv) พิจารณาการโทโพโลยีτ = { X φ, {a }, {b }, (a, b }, {a, c } } แล้วชุด {b } τ * -g-ปิด แต่ไม่ gα ปิด (xvi) พิจารณาการโทโพโลยีτ = { Y φ, {a }, {a, b, c }, { a, b, d } } แล้วชุด {b }, {b, c } และ {b, d } มี gα ปิดแต่ไม่τ * -g-ปิด ทฤษฎีบทที่ 3.8 สำหรับใด ๆ สองชุด A และ B, cl * (การ∪ B) = cl*(A) ∪ cl*(B) หลักฐาน: ตั้งแต่⊆ A ∪ B เรามี cl*(A) ⊆ cl * (การ∪ B) และตั้งแต่ B ⊆ A ∪ B เรามี (B) ⊆ cl * (การ∪ B) ดังนั้น⊆∪ (B) cl*(A) *(A ∪ B) ยัง cl*(A) และ cl*(B) มีการปิดชุดดังนั้น cl*(A) ∪ cl *(B) เป็นชุดปิด อีกครั้ง การ⊆ cl *(A) และ cl ⊆ B *(ข) หมายถึง A∪B ⊆ cl*(A) ∪ cl*(B), Cl*(A) ∪ cl*(B) จึงประกอบด้วย∪ B. ชุดปิด เนื่องจาก cl * (การ∪ B) เล็กสุดปิดชุดที่ประกอบด้วย A∪B เรามี cl * (การ∪ B) ⊆ cl*(A) ∪ cl*(B) ดังนั้น, (B) = cl*(A) ∪ cl*(B) ทฤษฎีบทที่ 3.9 สหภาพสองτ * g ปิดชุดใน X มีτเป็น * -g-ปิดชุดใน X หลักฐาน: ให้ A และ B เป็นสองτ * g ปิดชุด ให้⊆∪ B G, G τ * -เปิด เนื่องจาก A และ B มีτ * -g-ปิดชุด ⊆ cl*(B) (A) ∪กรัม แต่ โดยทฤษฎีบท 3.8., cl*(A) ∪ cl*(B) = (เป็น∪ B) ดังนั้น cl * (การ∪ B) ⊆กรัม Hence A ∪ B คือ τเป็น * -g-ปิดชุด ทฤษฎีบทที่ 3.10 เซตย่อย A ของ X คือ τ * -g-ปิดถ้าและเฉพาะถ้า cl*(A) – A ประกอบด้วยτไม่ว่างไม่ * -ปิดชุดใน X หลักฐาน: ให้ A มีτเป็น * -g-ปิดชุด สมมติว่า F เป็นτไม่ว่างเป็น * -ปิดเซตย่อยของ cl*(A) – อ. ตอนนี้ F ⊆ cl *(A) – อ.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

(V) พิจารณาโครงสร้างτ = {x, φ, {a}} จากนั้นชุด {a},
{ข}, {c}, {หนึ่งข} และ {หนึ่ง c} จะτ * -g ปิด แต่ไม่αปิด.
(vi) พิจารณาโครงสร้างτ = {X, φ, {a} (มี b}}. แล้วชุด {ข} คือαปิด แต่ไม่τ * -g ปิดชุด.
(vii) พิจารณาโครงสร้างτ = {x, φ, {a}} . แล้วชุด {a}, {A, B} และ {หนึ่ง c} จะτ * -g ปิด แต่ไม่ก่อนปิด.
(viii) พิจารณาโครงสร้างτ = {x, φ, {ข}, { A, B}}. แล้วชุด {a} คือก่อนปิด แต่ไม่τ * -g ปิด.
(จิน) พิจารณาโครงสร้างτ = {x, φ}}. แล้วชุด {a}, {ข} {c}, {A, B}, {B, C} และ {หนึ่ง c} มีτ * -g ปิด
แต่ไม่ GS-ปิด.
(x) ​​พิจารณาโครงสร้างτ = {y, φ, {a }, {b, c}, {b, d}}. แล้วชุด {ข}, {B, C} และ {B, d} จะ GS-ปิด
แต่ไม่τ * -g ปิด
(จิน) พิจารณาโครงสร้างτ = {x, φ, {a}, {ข} (A, B}} ที่ X = {b, c}. แล้วชุด {ข} และ {A, B }
จะ GSP ปิด แต่ไม่τ * -g ปิด. (สิบ) พิจารณาโครงสร้างτ = {y, φ, {a}}. แล้วชุด {a} เป็นτ * -g ปิด แต่ไม่ GSP ปิด . (XIII) พิจารณาโครงสร้างτ = {x, φ, {a}}. แล้วชุด {a} เป็นτ * -g ปิด แต่ไม่αgปิด (สิบสี่) พิจารณาโครงสร้างτ = {y, φ, {a}, {b, c}, {b, d}} จากนั้นชุด {ข}, {B, C} และ {B, d} αgจะปิด
แต่ไม่τ * -g ปิด.
(XV) พิจารณาโครงสร้างτ = {x, φ, {a}, {ข } (มี b}, {A, C}}. แล้วชุด {ข} เป็นτ * -g ปิด แต่ไม่gαปิด.
(เจ้าพระยา) พิจารณาโครงสร้างτ = {y, φ, {a} {b, c}, {b, d}}. แล้วชุด {ข}, {B, C} และ {B, d} gαจะปิด แต่ไม่τ * -g ปิด.
ทฤษฏี 3.8 สำหรับการใด ๆ สองชุด A และ B, CL * (B ∪ A) = CL * (A) ∪ CL * (B).
พิสูจน์: ตั้งแต่⊆ A B ∪เรามีเ * (A) ⊆ CL * (A ∪ B) และตั้งแต่ B ⊆ B ∪ A, เรามี (B) ⊆ CL * (B ∪ A).
สะดังนั้น * (A) ∪ (B) ⊆ * (A ∪ B). นอกจากนี้ CL * (A) และ CL * (B) จะปิดดังนั้น CL ชุด * (A) ∪ CL *
(B) นอกจากนี้ยังเป็นชุดปิด. อีกครั้ง, A ⊆ CL *
(A) และ B ⊆ CL *
(B) หมายถึงA∪B⊆ CL * (A) ∪ CL * (B).
ดังนั้น CL * (A) ∪ CL * (B)
เป็นชุดปิดที่มี∪บีตั้งแต่CL * (A B ∪) เป็นชุดปิดที่เล็กที่สุดที่มีA∪ B เรามีเ * (A ∪ B) ⊆ CL * (A) ∪ CL * (B).
ดังนั้น (B) = CL * (A) ∪ CL * (B)
ทฤษฎีบท 3.9. ยูเนี่ยนของทั้งสองτ * G- ชุดปิด X เป็นτ * ชุด -g ปิดใน X.
พิสูจน์: ให้ A และ B จะมีสองτ * ชุดกรัมปิดให้ A ∪ B ⊆ G, G เป็นที่τ * เปิด..
ตั้งแต่ A และ B มีτ * ชุด -g-ปิด (A) ∪ CL * (B) ⊆กรัม แต่ทฤษฎีบท 3.8. CL * (A) ∪ CL * (B) = (A ∪ B).
สะดังนั้น * (A ∪ B) ⊆กรัมดังนั้น A B ∪เป็นτ * ชุด -g ปิด.
ทฤษฎีบท 3.10 ส่วนหนึ่งของ X คือτ * -g ปิดถ้าหาก CL * (A) - เป็นไม่มีτไม่ว่างเปล่า * -closed ตั้งอยู่ใน X.
พิสูจน์: ให้ A เป็นτ * -g ปิดชุด สมมติว่าเป็น F τไม่ว่างเปล่า * เซต -closed ของ CL * (A) - ตอนนี้เอเอฟ⊆ CL *
(A) - เอ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

( V ) พิจารณาโครงสร้างτ = { x , φ { A } } แล้วชุด { }
{ b } { C } { a , b } และ { C } τ * - แอลฟา g-closed แต่ไม่ปิด
( 6 ) พิจารณาโครงสร้างτ = { x , φ { A } ( a , b } } แล้วชุด { B } คือแอลฟาปิด แต่ไม่τ * - g-closed ชุด
( 7 ) พิจารณาโครงสร้างτ = { x , φ { A } } แล้วชุด { } , { a , b } และ { C } τ * - g-closed แต่ไม่ก่อนปิด
( 8 ) พิจารณาโครงสร้างτ = { x , φ { b } { a , b } } แล้วชุด { } คือก่อนปิด แต่ไม่τ * - g-closed .
( Xi ) พิจารณาโครงสร้างτ = { x , φ } } แล้วชุด { A } { b } { C } { a , b } { b , c } และ { C } τ * - g-closed
แต่ไม่ใช่ GS ถูกปิด
( x ) พิจารณาโครงสร้างτ = { Y φ { A } { a , b , c } { A , B , D } } แล้วชุด { b } { B , C และ D } { B } GS ปิด
แต่ไม่τ * - g-closed .
( 11 ) พิจารณาโครงสร้างτ = { x , φ { A } { b } ( a , b } } ซึ่ง x = { a , b , c } แล้วชุด { b } { a , b }
เป็นจีเอสพีปิด แต่ไม่τ * - g-closed . ( 12 ) พิจารณาโครงสร้างτ = { Y φ { A } } แล้วชุด { } เป็นτ * - g-closed GSP แต่ไม่ปิด ( 13 ) พิจารณาโครงสร้างτ = { x , φ { A } } แล้วชุด { } เป็นτ * - g-closed แต่ไม่α g-closed . ( XIV ) พิจารณาโครงสร้างτ = { Y φ { เป็น } { Ab , c } { A , B , D } } แล้วชุด { b } { B , C และ D } { b } α g-closed
แต่ไม่τ * - g-closed .
( XV ) พิจารณาโครงสร้างτ = { x , φ { A } { b } ( b , } , { C } } . { B } แล้วตั้งเป็นτ * - g-closed แต่ไม่ใช่จีแอลฟาถูกปิด
( XVI ) พิจารณาโครงสร้างτ = { Y φ { A } { a , b , c } { A , B , D } } แล้วชุด { b } { B , C และ D } { B } g แอลฟาปิด แต่ไม่τ * - g-closed .
ทฤษฎีบท 3.8 . สำหรับสองชุด A และ BCL * ( ∪ B ) = CL * ( ) ∪ CL * ( b )
หลักฐาน : ตั้งแต่⊆เป็น∪ B เรามี Cl * ( ) ⊆ CL * ( ∪ B ) และตั้งแต่ B ⊆เป็น∪ B เรามี ( B ) ⊆ CL * ( ∪ B )
ดังนั้น Cl * ( ) ∪ ( B ) ⊆ * ( ∪ B ) นอกจากนี้ ซีแอล ( CL ) * และ * ( B ) เป็นชุดปิดดังนั้น Cl * ( ) ∪ CL *
( b ) เป็นชุดปิด อีกครั้ง , ⊆ CL *
( a ) และ b ⊆ CL *
( b ) แสดงถึง∪ B ⊆ CL * ( ) ∪ CL * ( b )
ดังนั้น∪ CL CL * ( ) * ( B ) เป็นเซตปิดที่มี∪ B .
ตั้งแต่ CL * ( ∪ B ) ที่ปิดชุดประกอบด้วย∪ B เรามี Cl * ( ∪ B ) ⊆ CL * ( ) * ∪ CL ( B )
ดังนั้น ( B ) = CL * ( ) ∪ CL * ( b )
ทฤษฎีบท 3.9 สหภาพของสองτ * g-closed ชุด X เป็นτ * - g-closed ชุด X .
หลักฐานให้ A และ B เป็น 2 τ * g-closed ชุด ให้∪ B ⊆ G , G * - เปิดที่τ .
เมื่อ a และ b เป็นτ * - g-closed ชุด( ) ∪ CL * ( b ) ⊆กรัม แต่โดยทฤษฎี 3.8 , CL * ( ) ∪ CL * ( b ) = ( ∪ B )
ดังนั้น Cl * ( ∪ B ) ⊆กรัม จึง∪ B เป็นτ * - g-closed ชุด
ทฤษฎีบท 3.10 . เป็นเซตย่อยของ X คือτ * - g-closed ถ้าและเพียงถ้า CL * ( ) ซึ่งประกอบด้วยไม่มีว่างτ * - ปิดการตั้งค่าใน X .
พิสูจน์ให้เป็นτ * - g-closed ชุด สมมติว่า F ไม่ว่างτ * - ปิดเซตย่อยของ CL * ( A . F ) ซึ่งตอนนี้⊆ CL *
( ) – A