Lemma: the probability of the null

Lemma: the probability of the null event. Axiom 3 implies that P(S ∪ ∅) =
P(S) + P(∅), since S and ∅ are disjoint sets by definition, i.e. S ∩ ∅ = ∅. But also
S ∪ ∅ = S, so P(S ∪ ∅) = P(S) = 1, where the second equality is from axiom 2.
Therefore, P(S ∪ ∅) = P(S) + P(∅) = P(S), so P(∅) = 0.
Lemma: the probability of the complementary event. If A and Ac are
complementary events, then there is A ∪ Ac = S and A ∩ Ac = ∅. Therefore,
P(A ∪ Ac) = P(A) + P(Ac) = 1, since P(A ∪ Ac) = P(S) = 1, whence P(Ac) =
1 − P(A).
Theorem: independence and the complementary event. If A, B are statistically
independent such that P(A∩B) = P(A)P(B) then A, Bc are also statistically
independent such that P(A ∩ Bc) = P(A)P(Bc).
Proof. Consider
A = A ∩ (B ∪ Bc) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ Bc).
The final expression denotes the union of disjoint sets, so there is
P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ Bc).
Since, by assumption, there is P(A ∩ B) = P(A)P(B), it follows that
P(A ∩ Bc) = P(A) − P(A ∩ B) = P(A) − P(A)P(B)
= P(A){1 − P(B)} = P(A)P(Bc).
Theorem: the union of of events. The probability that either A or B will happen
or that both will happen is the probability of A happening plus the probability of B
happening less the probability of the joint occurrence of A and B:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Proof. There is A ∪ (B ∩ Ac) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ Ac) = A ∪ B, which is to say that
A ∪ B can be expressed as the union of two disjoint sets. Therefore, according to
axiom 3, there is
P(A ∪ B) = P(A) + P(B ∩ Ac).
But B = B ∩ (A ∪ Ac) = (B ∩ A) ∪ (B ∩ Ac) is also the union of two disjoint sets,
so there is also
P(B) = P(B ∩ A) + P(B ∩ Ac) =⇒ P(B ∩ Ac) = P(B) − P(B ∩ A).
Substituting the latter expression into the one above gives
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
3
Bayes’ Theorem
Observe that the formula for conditional probability implies that
P(A ∩ B) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A),
whence we
P(A|B) = P(B|A)P(A)
P(B) .
This is the basis of Bayes’ law of inverse probabilities, which provides an idealised
model of a process by which we might adapt our our probabilistic beliefs or hypotheses
concerning the state of the world in view of the empirical evidence that
accumulates.
Consider a set Ω = {H1,H2, . . . , Hn}, wherein Hi ∩ Hj = ∅; i = j, which
comprises all possible explanations of an event E. Under some circumstances, it is
possible to define a probability measure over Ω that indicates the relative likelihoods
of the alternative hypotheses therein. In the absence of the evidence of E, they are
described as prior likelihoods or probabilities.
The evidence given by the event E will cast some light upon the likelihoods
of the hypotheses, which is to say that we can define a set of modified posterior
likelihoods over the set Ω. The posterior likelihood of an hypothesis Hi in the light
of the event E is given by
P(Hi|E) = P(E|Hi)P(Hi)
P(E) , where
P(E) =


i
P(E ∩ Hi) =


i
P(E|Hi)P(Hi).
We use the following terminology:
P(Hi) is the prior likelihood of the ith hypothesis Hi,
P(Hi|E) is the posterior likelihood of the ith hypothesis,
P(E|Hi) is the conditional probability of the event E under the hypothesis Hi,
P(E) is the unconditional probability of the event E.
Example. The Manager of Ffyfes, who import bananas to the U.K. from many
sources, has discovered an unmarked crate, and he wishes to determine its origin.
40 percent of the crates in stock come from Guatemala and 60 percent from Cuba.
On average, 1/2 the Guatemalan bananas are bad and 1/6 of the Cuban bananas
are bad. The manager opens the crate and pulls out a banana that happens to be
bad. In the light of this evidence, what it is the most likely origin of the crate?
Answer. Let H1 denote the hypothesis that the crate if from Cuba and let H2
denote the hypothesis that it is from Guatemala. Let E be the event of discovering
a rotten banana. There are the following items of information:
P(H1) =
60
100
=
3
5 P(H2) =
20
100
=
2
5,
4
P(E|H1) =
1
6 P(E|H2) =
1
2,
P(E|H1)P(H1) =
1
6
× 3
5
=
1
10
P(H1|E),
P(E|H2)P(H2) =
1
2
× 2
5
=
1
5
P(H2|E).
In the light of the evidence, it seems twice as likely that Guatemala is where the
crate is from.
5

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

จับมือ: ความน่าเป็นของเหตุการณ์เป็น null สัจพจน์ที่ 3 หมายถึงการที่ P (S ∪∅) =P (S) + P(∅) เนื่องจาก S และ∅เป็นตัวตั้ง โดยนิยาม เช่น S ∩∅ =∅ แต่ยังS ∪∅ = S ดังนั้น P (S ∪∅) = P (S) = 1 ความเสมอภาคที่สองที่จากสัจพจน์ 2ดังนั้น P (S ∪∅) = P (S) + P(∅) = P (S), ดังนั้น P(∅) = 0จับมือ: ความน่าเป็นงานเสริม ถ้า A และ Acกิจกรรมเสริม แล้วมี∪ Ac = S และ∩ Ac =∅ ดังนั้นP (ความ∪ Ac) = P(A) + P(Ac) = 1 ตั้งแต่ P (เป็น∪ Ac) = P (S) = 1 ไหน P(Ac) =1 − P(A)ทฤษฎีบท: ความเป็นอิสระและกิจกรรมเสริม ถ้า A, B เป็นทางสถิติอิสระเช่นที่ P(A∩B) = P(A)P(B) แล้ว A, Bc มีทางสถิติอิสระดังกล่าว (การ∩ Bc) ที่ P = P(A)P(Bc)หลักฐานการ พิจารณาA =∩ (B ∪ Bc) = (A ∩ B) ∪ (การ∩ Bc)นิพจน์ตัวสุดท้ายหมายถึงสหภาพชุดตัว ดังนั้นจึงP(A) = P (A ∩ B) + P (การ∩ Bc)ตั้งแต่ อัสสัมชัญ โดยมี P (การ∩ B) = P(A)P(B) เป็นไปตามที่P (การ∩ Bc) = P(A) − P (A ∩ B) = P(A) − P(A)P(B)= P(A) {1 − P(B) } = P(A)P(Bc)ทฤษฎีบท: การยูเนียนของเหตุการณ์ ความน่าเป็นที่ทั้ง A หรือ B จะเกิดขึ้นหรือว่า ทั้งสองจะเกิดขึ้นไม่น่าเกิดเป็นบวกความน่าเป็นของ Bเกิดขึ้นน้อยกว่าความเป็นไปได้ของการเกิดร่วมของ A และ b:P (A ∪ B) = P(A) + P(B) − P (A ∩ B)หลักฐานการ มี∪ (B ∩ Ac) = (เป็น∪ B) ∩ (เป็น∪ Ac) =∪ B ซึ่งจะบอกว่า∪ B สามารถแสดงเป็นสหภาพชุดสองตัว ดังนั้น ตามสัจพจน์ที่ 3 มีP (A ∪ B) = P(A) + P (B ∩ Ac)แต่ B = B ∩ (เป็น∪ Ac) = (B ∩ A) ∪ (B ∩ Ac) เป็นการเคลื่อนตัวสองชุดดังนั้นจึงยังP(B) = P(B ∩ A) + P (B ∩ Ac) =⇒ P (B ∩ Ac) = P(B) − P(B ∩ A)แทนที่นิพจน์หลังไปหนึ่งข้างต้นให้P (A ∪ B) = P(A) + P(B) − P (A ∩ B)3ทฤษฎีบทของ Bayesสังเกตว่า สูตรความน่าเป็นแบบมีเงื่อนไขหมายถึงการที่P (A ∩ B) = P (A| B)P(B) = P (B| A)P(A)ไหนเราP (A| B) = P (B| A)P(A)P(B)นี้เป็นพื้นฐานของกฎหมายของ Bayes ของกิจกรรมผกผัน ซึ่งเป็นที่ idealisedแบบจำลองของกระบวนการซึ่งเราอาจปรับของเราความเชื่อ probabilistic หรือสมมุติฐานของเราเกี่ยวกับสถานะของโลกมุมมองที่ประจักษ์หลักฐานที่สะสมกันพิจารณาΩกำหนด = {H1, H2,..., Hn }, นั้น Hi ∩ Hj =∅ ฉัน = j ซึ่งประกอบด้วยคำอธิบายที่เป็นไปได้ทั้งหมดของเหตุการณ์อี ภายใต้สถานการณ์บาง เป็นสามารถวัดความน่าเป็นมากกว่าΩที่บ่งชี้ว่า likelihoods ญาติของสมมุติฐานทางเลือก therein ในกรณีหลักฐานอี พวกเขาจะอธิบายไว้เป็น likelihoods ก่อนหรือกิจกรรมหลักฐานที่ได้รับจากเหตุการณ์ E จะโยนไฟบาง likelihoodsของสมมุติฐาน ซึ่งเราสามารถกำหนดชุดของการปรับเปลี่ยนหลังlikelihoods ผ่านΩกำหนด โอกาสหลังของ Hi มีสมมติฐานในแสงของเหตุการณ์ E ถูกกำหนดโดยP (Hi| อี) = P (E| Hi)P(Hi)P(E) ที่P(E) =
ฉันP(E ∩ Hi) =
ฉันP (E| Hi)P(Hi)เราใช้คำศัพท์ต่อไปนี้:P(Hi) มีโอกาสทราบของสมมติฐานระยะ HiP (Hi| อี) เป็นโอกาสหลังของสมมติฐานระยะP (E| Hi) จะมีเงื่อนไขความน่าเป็นของเหตุการณ์ E ภายใต้สมมติฐาน HiP(E) คือ ความเป็นไปได้โดยไม่มีเงื่อนไขของเหตุการณ์อีตัวอย่างการ การจัดการของ Ffyfes ผู้นำเข้ากล้วยไปอังกฤษจากหลายแหล่ง พบลังความหมาย และเขาต้องการเพื่อกำหนดจุดเริ่มต้นของร้อยละ 40 ของลังในสต็อกมาจากกัวเตมาลาและร้อยละ 60 จากคิวบา2 เฉลี่ย 1 กล้วย Guatemalan ใจร้าย 1/6 ของกล้วยคิวบาจะไม่ดี ผู้จัดการเปิดบรรจุ และดึงออกกล้วยที่เกิดขึ้นเป็นไม่ดี นี้หลักฐานนี้ มันคืออะไรที่สุดจุดเริ่มต้นของแนวโน้มของบรรจุคำตอบ ให้ H1 แสดงทฤษฏีที่ลังจากคิวบาให้ H2แสดงสมมติฐานว่าจากกัวเตมาลา ให้ E เป็นเหตุการณ์ของการค้นพบกล้วยเน่า มีรายการข้อมูลต่อไปนี้:P(H1) =60100=35 P(H2) =20100=254P (E| H1) =16 P (E| H2) =12P (E| H1)P(H1) =16× 35=110 P (H1| อี)P (E| H2)P(H2) =12× 25=15 P (H2| อี)นี้หลักฐาน ดูเหมือนว่าสองน่าจะเป็นว่ากัวเตมาลาลังจากได้5

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

บทแทรก: น่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นโมฆะ ความจริงก็หมายความว่า 3 P (S ∪∅) =
P (S) + P (∅) ตั้งแต่ S และ∅เป็นชุดเคลื่อนโดยความหมายคือ S ∩∅ = ∅ แต่ก็ยังมี
S ∪∅ = S ดังนั้น P (S ∪∅) = P (S) = 1 ที่สองคือความเท่าเทียมกันจากความจริง 2.
ดังนั้น P (S ∪∅) = P (S) + P (∅) = P (S) ดังนั้น P (∅) = 0
บทแทรก: น่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่สมบูรณ์ ถ้า A และ Ac
เป็นเหตุการณ์ที่สมบูรณ์แล้วมี∪ Ac = S และ A ∩ Ac = ∅ ดังนั้น
P (A ∪ Ac) = P (A) + P (Ac) = 1 เนื่องจาก P (A ∪ Ac) = P (S) = 1 ดังนั้น P (Ac) =
1 -. P (A)
ทฤษฎีบท : ความเป็นอิสระและเหตุการณ์ที่สมบูรณ์ ถ้า A, B
มีนัยสำคัญทางสถิติอิสระดังกล่าวว่าP (A∩B) = P (A) P (B) แล้ว A, Bc นอกจากนี้ยังมีสถิติที่เป็นอิสระดังกล่าวว่า P (A ∩ Bc) = P (A) P (BC) หลักฐาน พิจารณาA = ∩ (B ∪ Bc) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ Bc). การแสดงออกสุดท้ายหมายถึงสหภาพของชุดเคลื่อนจึงมีP (A) = P (A ∩ B) + P ( . ให้∩ Bc) เนื่องจากโดยสมมติฐานที่มี P (A ∩ B) = P (A) P (B), มันตามที่P (A ∩ Bc) = P (A) - P (A ∩ B) = P (A) - P (A) P (B) = P (A) {1 - P (B)} = P (A) P (BC). ทฤษฎีบท: สหภาพของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น ความน่าจะเป็นว่าทั้ง A หรือ B จะเกิดขึ้นหรือว่าทั้งสองจะเกิดขึ้นคือความน่าจะเป็นของที่เกิดขึ้นรวมทั้งน่าจะเป็นของขเกิดขึ้นน้อยลงน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นร่วมกันของA และ B: P (A B ∪) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B) หลักฐาน มีเป็น∪ (B ∩ Ac) = (A B ∪) ∩ (A ∪ Ac) = A B ∪ซึ่งก็คือการบอกว่าB ∪สามารถแสดงเป็นสหภาพของสองชุดเคลื่อน ดังนั้นตาม3 ความจริงมีP (A ∪ B) = P (A) + P (B ∩ Ac). แต่ B = B ∩ (A ∪ Ac) = (B ∩ A) ∪ (B ∩ Ac) นอกจากนี้ยังเป็นสหภาพของสองชุดเคลื่อนที่จึงยังมีP (B) = P (B ∩ A) + P (B ∩ Ac) = ⇒ P (B ∩ Ac) = P (B) - P (B ∩ .) แทนการแสดงออกหลังเข้ามาในข้างต้นจะช่วยให้P (A B ∪) = P (A) + P (B) -. P (A ∩ B) 3 Bayes 'ทฤษฎีบทสังเกตว่าสูตรสำหรับความน่าจะเป็นเงื่อนไขที่มีความหมายว่าP ( ∩ B) = P (A | B) P (B) = P (B | A) P (A) มาจากไหนเราP (A | B) = P (B | A) P (A) P (B) . นี่คือพื้นฐานของเบส์ 'กฎหมายของความน่าจะผกผันซึ่งให้เงียบสงบรูปแบบของกระบวนการที่เราอาจจะปรับตัวเข้ากับความเชื่อความน่าจะเป็นของเราหรือสมมติฐานของเราเกี่ยวกับสภาพของโลกในมุมมองของหลักฐานเชิงประจักษ์ที่สะสม. พิจารณากำหนด Ω = {H1, H2, . . , Hn} ประเด็น Hi ∩ Hj = ∅; ฉัน? = ญซึ่งประกอบด้วยคำอธิบายที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการจัดงานอีภายใต้สถานการณ์บางอย่างมันเป็นไปได้ที่จะกำหนดตัวชี้วัดความน่าจะเป็นในช่วงΩที่ระบุโอกาสเกิดญาติสมมติฐานทางเลือกนั้น ในกรณีที่ไม่มีหลักฐานของอีที่พวกเขาจะอธิบายว่าโอกาสเกิดก่อนหรือความน่าจะเป็น. หลักฐานที่ได้รับจาก E เหตุการณ์จะโยนไฟบางเมื่อโอกาสเกิดสมมติฐานซึ่งเป็นที่จะบอกว่าเราสามารถกำหนดชุดหลังแก้ไขโอกาสเกิดมากกว่าชุดΩ ความน่าจะเป็นหลังของสมมติฐานสวัสดีในที่มีแสงของเหตุการณ์อีจะได้รับจากP (Hi | E) = P (E | Hi) P (สวัสดี) P (E) ที่P (E) =? ฉันP (E ∩สวัสดี) =? ฉันP (E | Hi) P (สวัสดี). เราใช้คำศัพท์ต่อไปนี้: P (สวัสดี) เป็นโอกาสก่อนที่ i สมมติฐานสวัสดีP (Hi | E) เป็นโอกาสหลังของที่ i สมมติฐานP (E | Hi) คือน่าจะเป็นเงื่อนไขของการแข่งขัน E ภายใต้สมมติฐานสวัสดีP (E) เป็นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่มีเงื่อนไขอีตัวอย่าง ผู้จัดการ Ffyfes ที่นำเข้ากล้วยไปอังกฤษจากหลายแหล่งที่มาได้ค้นพบลังป้ายและเขาปรารถนาที่จะตรวจสอบที่มาของมัน. ร้อยละ 40 ของลังในสต็อกมาจากกัวเตมาลาและร้อยละ 60 จากคิวบา. โดยเฉลี่ย 1 / 2 กล้วยกัวเตมาลาที่ไม่ดีและ 1/6 ของกล้วยคิวบาที่ไม่ดี ผู้จัดการเปิดลังและดึงออกกล้วยที่เกิดขึ้นจะเป็นที่ไม่ดี ในแง่ของหลักฐานนี้มันคืออะไรที่มาส่วนใหญ่ของลังหรือไม่คำตอบ ให้ H1 แสดงสมมติฐานที่ว่าหากลังจากคิวบาและให้ H2 แสดงสมมติฐานที่ว่ามันมาจากกัวเตมาลา ให้ E เป็นกรณีที่มีการค้นพบกล้วยเน่าเสีย มีรายการต่อไปนี้ของข้อมูล: P (H1) = 60 100 = 3 5 P (H2) = 20 100 = 2 5 4 P (E | H1) = 1 6 P (E | H2) = 1 2 P (E | H1) P (H1) = 1 6 × 3 5 = 1 10 P (H1 | E), P (E | H2) P (H2) = 1 2 × 2 5 = 1 5 P (H2 | E) . ในแง่ของหลักฐานที่ดูเหมือนว่าสองเท่าแนวโน้มที่กัวเตมาลาคือที่ลังจาก. 5