MSc. Econ: MATHEMATICAL STATISTICS,

MSc. Econ: MATHEMATICAL STATISTICS, 1996
The Moment Generating Function of the Binomial Distribution
Consider the binomial function
(1) b(x; n, p) = n!
x!(n − x)!pxqn−x with q = 1 − p.
Then the moment generating function is given by
(2)
Mx(t) = Xn
x=0
ext n!
x!(n − x)!pxqn−x
= Xn
x=0
(pet
)
x n!
x!(n − x)! qn−x
= (q + pet
)
n,
where the final equality is understood by recognising that it represents the
expansion of binomial. If we differentiate the moment generating function with
respect to t using the function-of-a-function rule, then we get
(3)
dMx(t)
dt = n(q + pet
)
n−1pet
= npet
(q + pet
)
n−1.
Evaluating this at t = 0 gives
(4) E(x) = np(q + p)
n−1 = np.
Notice that this result is already familiar and that we have obtained it previously
by somewhat simpler means.
To find the second moment, we use the product rule
(5) duv
dx = u
dv
dx + v
du
dx
to get
(6)
d2Mx(t)
dt2 = npet
©
(n − 1)(q + pet
)
n−2pet
ª
+ (q + pet
)
n−1©
npet
ª
= npet
(q + pet
)
n−2©
(n − 1)pet + (q + pet
)
ª
= npet
(q + pet
)
n−2©
q + npet
ª
.
1
MSc. Econ: MATHEMATICAL STATISTICS: BRIEF NOTES, 1996
Evaluating this at t = 0 gives
(7) E(x2) = np(q + p)
n−2(q + np)
= np(q + np).
From this, we see that
(8)
V (x) = E(x2) − ©
E(x)
ª2
= np(q + np) − n2p2
= npq.
Theorems Concerning Moment Generating Functions
In finding the variance of the binomial distribution, we have pursed a
method which is more laborious than it need by. The following theorem shows
how to generate the moments about an arbitrary datum which we may take to
be the mean of the distribution.
(9) The function which generates moments about the mean of a random
variable is given by Mx−µ(t) = exp{−µt}Mx(t) where Mx(t)
is the function which generates moments about the origin.
This result is understood by considering the following identity:
(10) Mx−µ(t) = E
©
exp{(x − µ)t}
ª = e−µtE(ext) = exp{−µt}Mx(t).
For an example, consider once more the binomial function. The moment
generating function about the mean is then
(11)
Mx−µ(t) = e−npt(q + pet
)
n
= (qe−pt + pet
e−pt)
n
= (qe−pt + peqt)
n.
Differentiating this once gives
(12) dMx−µ(t)
dt = n(qe−pt + peqt)
n−1(−pqe−pt + qpeqt).
At t = 0, this has the value of zero, as it should. Differentiating a second time
according to the product rule gives
(13) d2Mx−µ(t)
dt2 = u(p2qe−pt + q2peqt) + v
du
dt ,
2
MSc. Econ: MATHEMATICAL STATISTICS, 1996
where
(14)
u(t) = n(qe−pt + peqt) and
v(t)=(−pqe−pt + qpeqt).
At t = 0 these become u(0) = n and v(0) = 0. It follows that
(15) V (x) = n(p2q + q2p) = npq(p + q) = npq,
as we know from a previous derivation.
Another important theorem concerns the moment generating function of
a sum of independent random variables:
(16) If x ∼ f(x) and y ∼ f(y) be two independently distributed
random variables with moment generating functions Mx(t) and
My(t), then their sum z = x+y has the moment generating function
Mz(t) = Mx(t)My(t).
This result is a consequence of the fact that the independence of x and y
implies that their joint probability density function is the product of their
individual marginal probability density functions: f(x, y) = f(x)f(y). From
this, it follows that
(17)
Mx+y(t) = Z
x
Z
y
e(x+y)t
f(x, y)dydx
=
Z
x
extf(x)dx Z
y
eytf(y)dy
= Mx(t)My(t).

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ปริญญาโทจากชโรด: คณิตศาสตร์สถิติ 1996ในขณะที่สร้างฟังก์ชันของการแจกแจงทวินามพิจารณาฟังก์ชันทวินาม(1) b(x; n, p) = nx (n − x) ! pxqn−x กับ q = p − 1แล้ว เวลาสร้างฟังก์ชันถูกกำหนดโดย(2)Mx(t) = Xnx = 0ต่อ nx (n − x) ! pxqn−x= Xnx = 0(สัตว์เลี้ยง)x nx (n − x) qn−x= (q + สัตว์เลี้ยง)nซึ่งเป็นที่เข้าใจ โดยตระหนักถึงว่า มันแสดงถึงความเสมอภาคสุดท้ายการขยายตัวของทวินาม ถ้าเราแยกความแตกต่างในขณะที่สร้างฟังก์ชันด้วยเคารพโดยใช้กฎฟังก์ชันของ-a-ฟังก์ชัน t แล้วเรารับ(3)dMx(t)dt = n (q + สัตว์เลี้ยง)n−1pet= npet(q + สัตว์เลี้ยง)n−1ประเมินนี้ที่ t = 0 ให้(4) E(x) = np (q + p)n−1 = npสังเกตผลลัพธ์นี้อยู่แล้วคุ้นเคย และการที่ เราได้รับมันก่อนหน้านี้โดยวิธีค่อนข้างง่ายกว่าในการค้นหาขณะที่สอง เราใช้กฎผลิตภัณฑ์(5) duvdx = udvdx + vดูdxจะได้รับ(6)d2Mx(t)dt2 = npet©(n − 1) (q + สัตว์เลี้ยง)n−2petª(q + สัตว์เลี้ยง)n−1 ©npetª= npet(q + สัตว์เลี้ยง)n−2 ©(n − 1) สัตว์เลี้ยง (q + สัตว์เลี้ยง)ª= npet(q + สัตว์เลี้ยง)n−2 ©q + npetª.1ปริญญาโทจากชโรด: สถิติคณิตศาสตร์: บันทึกย่อ 1996ประเมินนี้ที่ t = 0 ให้(7) E(x2) = np (q + p)n−2(q + np)= np (q + np)จากนี้ เราเห็นว่า(8)V (x) = E(x2) − ©E(x)ª2= np (q + np) − n2p2= npqทฤษฎีที่เกี่ยวข้องกับช่วงเวลาที่สร้างฟังก์ชันในการหาผลต่างของการแจกแจงทวินาม เรามี pursedวิธีซึ่งลำบากมากกว่าจะตามได้ ทฤษฎีบทต่อไปนี้แสดงhow to generate the moments about an arbitrary datum which we may take tobe the mean of the distribution.(9) The function which generates moments about the mean of a randomvariable is given by Mx−µ(t) = exp{−µt}Mx(t) where Mx(t)is the function which generates moments about the origin.This result is understood by considering the following identity:(10) Mx−µ(t) = E©exp{(x − µ)t}ª = e−µtE(ext) = exp{−µt}Mx(t).For an example, consider once more the binomial function. The momentgenerating function about the mean is then(11)Mx−µ(t) = e−npt(q + pet)n= (qe−pt + pete−pt)n= (qe−pt + peqt)n.Differentiating this once gives(12) dMx−µ(t)dt = n(qe−pt + peqt)n−1(−pqe−pt + qpeqt).At t = 0, this has the value of zero, as it should. Differentiating a second timeaccording to the product rule gives(13) d2Mx−µ(t)dt2 = u(p2qe−pt + q2peqt) + vdudt ,2MSc. Econ: MATHEMATICAL STATISTICS, 1996where(14)u(t) = n(qe−pt + peqt) andv(t)=(−pqe−pt + qpeqt).At t = 0 these become u(0) = n and v(0) = 0. It follows that(15) V (x) = n(p2q + q2p) = npq(p + q) = npq,as we know from a previous derivation.Another important theorem concerns the moment generating function ofa sum of independent random variables:(16) If x ∼ f(x) and y ∼ f(y) be two independently distributedrandom variables with moment generating functions Mx(t) andMy(t), then their sum z = x+y has the moment generating functionMz(t) = Mx(t)My(t).This result is a consequence of the fact that the independence of x and yimplies that their joint probability density function is the product of theirindividual marginal probability density functions: f(x, y) = f(x)f(y). Fromthis, it follows that(17)Mx+y(t) = ZxZye(x+y)tf(x, y)dydx=Zxextf(x)dx Zyeytf(y)dy= Mx(t)My(t).

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ปริญญาโท Econ: สถิติคณิตศาสตร์ 1996
ช่วงเวลาการสร้างฟังก์ชั่นของการกระจายทวินาม
พิจารณาฟังก์ชั่นทวินาม
(1) ข (x; n พี) = n!
x (n - x) pxqn-x กับคิว = 1 - P!
จากนั้นช่วงเวลาที่การสร้างฟังก์ชั่นจะได้รับจาก
(2)
Mx (t) = Xn
x = 0
ต่อ n!
x (n - x)! pxqn-x
= Xn
x = 0
(สัตว์เลี้ยง
)
xn!
x (n - x )! qn-x
= (Q + สัตว์เลี้ยง
)
n,
ที่เท่าเทียมกันสุดท้ายเป็นที่เข้าใจกันโดยตระหนักว่ามันแสดงให้เห็นถึง
การขยายตัวของทวินาม ถ้าเราแยกความแตกต่างในขณะที่การสร้างฟังก์ชั่นที่มี
ความเคารพ t โดยใช้กฎการทำงานของฟังก์ชั่นแล้วเราจะได้รับ
(3)
DMX (t)
dt = n (ด + สัตว์เลี้ยง
)
n-1PET
= npet
(ด + สัตว์เลี้ยง
)
n-1.
การประเมินนี้ที่ t = 0 ให้
(4) E (x) = NP (ด + P)
n-1 = NP.
ขอให้สังเกตว่าผลนี้มีอยู่แล้วคุ้นเคยและที่เราได้รับมันก่อนหน้านี้
โดยวิธีการที่ค่อนข้างง่าย
เพื่อหาช่วงเวลาที่สองเราจะใช้กฎผลิตภัณฑ์
(5) DUV
DX = ยู
DV
DX + V
du
DX
ที่จะได้รับ
(6)
d2Mx (t)
dt2 = npet
©
(n - 1) (Q + สัตว์เลี้ยง
)
n-2PET
ช
+ (ด + สัตว์เลี้ยง
)
n-1 ©
npet
ช
= npet
(ด + สัตว์เลี้ยง
)
n-2 ©
(n - 1) สัตว์เลี้ยง + (ด + สัตว์เลี้ยง
)
ช
= npet
(ด + สัตว์เลี้ยง
)
n-2 ©
คิว + npet
ช
.
1
ปริญญาโท Econ: สถิติคณิตศาสตร์: หมายเหตุสั้น 1996
การประเมินนี้ที่ t = 0 ให้
(7) E (x2) = NP (ด + P)
n-2 (ด + เอ็นพี)
= NP (ด + เอ็นพี).
จากนี้เรา เห็นว่า
(8)
V (x) = E (x2) - ©
E (x)
ª2
= NP (ด + เอ็นพี) - n2p2
. = npq
ทฤษฎีบทเกี่ยวกับช่วงเวลาการสร้างฟังก์ชั่น
ในการหาค่าความแปรปรวนของการกระจายทวินามที่เราได้เม้ม
ซึ่งเป็นวิธีการที่ลำบากมากขึ้นกว่าที่ต้องการโดย ทฤษฎีบทต่อไปนี้แสดง
วิธีการสร้างช่วงเวลาที่เกี่ยวกับตัวเลขโดยพลการที่เราอาจจะนำไปใช้
เป็นค่าเฉลี่ยของการกระจาย.
(9) ฟังก์ชั่นซึ่งจะสร้างช่วงเวลาที่เกี่ยวกับความหมายของการสุ่ม
ตัวแปรจะได้รับจาก MX-μ (t) = ประสบการณ์ {} -μt Mx (t) ที่ Mx (t)
เป็นฟังก์ชั่นซึ่งจะสร้างช่วงเวลาที่เกี่ยวกับที่มา.
ผลที่ได้นี้เป็นที่เข้าใจกันโดยพิจารณาจากตัวตนต่อไปนี้:
(10) MX-μ (t) = E
©
ประสบการณ์ {(x - μ) t}
ช = E-μtE (ต่อ) = ประสบการณ์ {} -μt Mx (t).
ตัวอย่างเช่นพิจารณาอีกครั้งหนึ่งฟังก์ชั่นทวินาม ขณะที่
การสร้างฟังก์ชั่นเกี่ยวกับความหมายแล้ว
(11)
MX-μ (t) = E-npt (ด + สัตว์เลี้ยง
)
n
= (Qe-PT + สัตว์เลี้ยง
E-จุด)
n
= (Qe-PT + peqt)
n
ความแตกต่างในครั้งนี้จะช่วยให้
(12) DMX-μ (t)
dt = n (Qe-PT + peqt)
n-1 (-pqe-PT + qpeqt).
ที่ t = 0 นี้มีค่าเป็นศูนย์ตามที่มันควรจะเป็น . ความแตกต่างเป็นครั้งที่สอง
ตามกฎสินค้าให้
(13) d2Mx-μ (t)
dt2 = ท่าน (p2qe-PT + q2peqt) + V
du
dt,
2
ปริญญาโท Econ: สถิติคณิตศาสตร์ 1996
ที่
(14)
ยู (t) = n (Qe-PT + peqt) และ
v. (t) = (- PQE-PT + qpeqt)
ที่ t = 0 เหล่านี้กลายเป็นยู (0) = n และโวลต์ (0) = 0 มันตามที่
(15) V (x) = n (p2q + q2p) = npq (P + Q) = npq,
ในขณะที่เรารู้จากการมาก่อนหน้านี้.
ทฤษฎีบทที่สำคัญอีกประการหนึ่งที่ก่อให้เกิดความกังวลขณะนี้ ฟังก์ชั่นของ
ผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระ:
(16) ถ้า x ~ f (x) และ Y ~ ฉ (y) จะมีสองกระจายอิสระ
ตัวแปรสุ่มที่มีช่วงเวลาการสร้างฟังก์ชั่น Mx (t) และ
ฉัน (t) แล้วผลรวมของพวกเขาซี = x + y ที่มีช่วงเวลาการสร้างฟังก์ชั่น
Mz (t) = Mx (t) ของฉัน (t).
ผลที่ได้นี้เป็นผลมาจากความจริงที่ว่าเป็นอิสระของ x และ y
แสดงให้เห็นว่าน่าจะเป็นของพวกเขาร่วมฟังก์ชั่นความหนาแน่นเป็นผลิตภัณฑ์ของพวกเขา
แต่ละฟังก์ชั่นความหนาแน่นของความน่าจะเป็นชายขอบ: f (x, y) = f (x) f (Y) จาก
นี้มันตามที่
(17)
Mx + Y (t) = Z
x
Z
วาย
อี (x + Y) ที
f (x, y) dydx
=
Z
x
extf (x) DX Z
y ที่
eytf (y) DY
= Mx (t) ของฉัน (t)

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

MSC . เศรษฐศาสตร์ สถิติ คณิตศาสตร์ ปี 2539
ตอนที่สร้างฟังก์ชันจากการแจกแจงทวินามพิจารณา

ฟังก์ชันการแจกแจงทวินาม ( 1 ) B ( x ; n , p ) = n !
x ! ( − 1 ) ! pxqn − x Q = 1 − P .
แล้วฟังก์ชันการสร้างช่วงเวลาที่ได้รับ ( 2 )

MX ( t ) = คริสเตียน
x = 0 =
ext n !
x ! ( − 1 ) ! pxqn − x
= คริสเตียน
x = 0 =
( สัตว์เลี้ยง

x ) N !
x ! ( − 1 ) ! ซอฮยอน = − x
( Q สัตว์เลี้ยง

)
nภาคสุดท้ายที่เข้าใจโดยตระหนักว่ามันแสดงถึงการขยายตัวของทวินาม
. ถ้าเราแยกฟังก์ชันกำเนิดโมเมนต์กับ
t ใช้ function-of-a-function เคารพกฎ แล้วเราได้

( 3 ) แบบ ( T )
DT = n ( q สัตว์เลี้ยง
)
n − 1pet
= npet
( Q สัตว์เลี้ยง
)
n − 1 .
t = 0 ให้ประเมินที่
( 4 ) E ( x ) = NP ( q p )
n − 1 =
NPสังเกตว่าผลนี้มันคุ้นเคยและที่เราได้รับมันค่อนข้างง่าย โดยก่อนหน้านี้

หา หมายถึง ช่วงเวลาที่สองเราใช้กฎผลิตภัณฑ์
( 5 ) duv
DX = u

v

ดู DV DX DX ได้

( 6 )
d2mx ( T )
dt2 =

npet สงวนลิขสิทธิ์ ( − 1 ) ( q สัตว์เลี้ยง
)
n − 2pet ª

( Q สัตว์เลี้ยง
)
n − 1 สงวนลิขสิทธิ์

npet ª
= npet
( Q สัตว์เลี้ยง
)
n − 2 สงวนลิขสิทธิ์
( n − 1 ) สัตว์เลี้ยง ( Pet Q
)
ª npet
=
( q สัตว์เลี้ยง
)
n − 2 npet สงวนลิขสิทธิ์
q
ª
.
1
MSc . เศรษฐศาสตร์ :คณิตศาสตร์สถิติ : บันทึกย่อ , 1996
การประเมินนี้ที่ t = 0 ให้
( 7 ) E ( X2 ) = NP ( q p )
n − 2 ( Q NP )
( Q = NP NP ) .
จากนี้เราเห็นว่า
( 8 )
V ( x ) = E ( X2 ) −สงวนลิขสิทธิ์
E ( x )
ª 2
( Q = NP NP ) − n2p2
= npq .
ทฤษฎีบทเกี่ยวกับช่วงเวลาที่ทำหน้าที่ผลิต
ในการหาความแปรปรวนของการแจกแจงทวินาม เราได้ pursed เป็น
วิธีที่ลำบากมากกว่าที่มันต้องการโดยทฤษฎีบทต่อไปนี้แสดง
วิธีการสร้างช่วงเวลาที่เกี่ยวกับการแก้ปัญหา ซึ่งเราอาจจะใช้ตัวเลข

เป็นค่าเฉลี่ยของการกระจาย .
( 9 ) ฟังก์ชันซึ่งจะสร้างช่วงเวลาที่เกี่ยวกับค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม
ตัวแปรให้โดย MX −µ ( t ) = exp { T } −µ MX ( t ) ที่ต่อเนื่อง ( T )
เป็นฟังก์ชันซึ่งจะสร้างช่วงเวลาที่เกี่ยวกับที่มา
ผลนี้เข้าใจโดยการพิจารณาเอกลักษณ์ต่อไปนี้ :
( 10 ) MX −µ ( t ) = e
สงวนลิขสิทธิ์
{ ( x exp −µ ) t }
ª = E −µ TE ( ext ) = exp { T } −µ MX ( T )
ยกตัวอย่างฟังก์ชันการแจกแจงทวินาม พิจารณาอีกครั้ง . ขณะนี้
สร้างฟังก์ชันเกี่ยวกับหมายถึงแล้ว

−µ MX ( 11 ) ( t ) = e − NPT ( q สัตว์เลี้ยง
)
n
= ( −− QE PT สัตว์เลี้ยง
e
= ( PT )
n − PT peqt QE )
.
ความแตกต่างนี้เมื่อให้
( 12 ) −µ DMX ( T )
DT = n ( QE − PT peqt )
n − ( −− 1 pqe PT qpeqt ) .
ที่ t = 0 นี้ได้ค่าศูนย์อย่างที่ควรจะเป็น ความแตกต่าง
เวลาที่สองตามกฎผลิตภัณฑ์ให้
( 13 ) d2mx −µ ( T )
dt2 = u ( p2qe − PT q2peqt ) v
ดู

2
เปลี่ยน MSc . เศรษฐศาสตร์ สถิติ คณิตศาสตร์ ปี 1996 ที่

( 14 )
U ( t ) = n ( QE − PT peqt )
V ( t ) = ( −− pqe PT qpeqt ) .
ที่ t = 0 เหล่านี้กลายเป็น u ( 0 ) = N V ( 0 ) = 0 มันเป็นไปตามที่
( 15 ) V ( x ) = n ( p2q q2p ) = npq ( p q ) = npq
, ตามที่เราทราบจากรากศัพท์เดิม
อื่นที่สำคัญทฤษฎีบทเกี่ยวกับฟังก์ชันกำเนิดโมเมนต์ของผลบวกของตัวแปรสุ่มอิสระ
:
( 16 ) ถ้า x ∼ f ( x ) f ( y ) Y ∼สองกระจาย
อิสระตัวแปรสุ่มที่มีช่วงเวลาที่ทำหน้าที่ผลิต MX ( T )
( T ) แล้วของ X Y Z = ผลรวม มีฟังก์ชันกำเนิดโมเมนต์
MZ ( t ) = MX ( T ) ( T )
" นี้เป็นผลมาจากความจริงที่ว่า ความเป็นอิสระของ x และ y
ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นนัยของพวกเขาร่วมกันเป็นผลิตภัณฑ์ของแต่ละบุคคลโดยฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของ
: f ( x , y ) = f ( x ) f ( y ) จาก
นี้มันเป็นไปตามที่

MX ( 17 ) Y ( t ) = z
x
z
y
E ( x y ) t
f ( x , y ) dydx
=
z
x
extf DX ( x ) Z
Y
eytf ( Y )
= MX ดี้ ( T ) ( T )