In 2013, Sroysang[6] showed that th

In 2013, Sroysang[6] showed that the Diophantine equation 23x + 32y = z2
has no non-negative integer solution. In the same year, Chotchaisthit[7] showed
that (3,0,3) is the only non-negative integer solution of the Diophantine equation
2x +11y = z2 .
In this paper, we will show that the Diophantine equation 19x + 2y = z2 has
a unique non-negative integer solution. The solution (x, y, z) is (0,3,3) .
2. Preliminaries
Proposition 2.1. [1] (Catalan’s conjecture) (3,2,2,3) is a unique solution
(a,b, x, y) for the Diophantine equation ax − by =1 where a,b, x and y are
integers with min{ a,b, x, y }>1
Lemma 2.2. The Diophantine equation 19x +1= z2 has no non-negative
integer solution.
Proof: Suppose that there are non-negative integers x and z such that
19x +1= z2 . If x = 0 , that z2 = 2 which is impossible. If x =1, then z2 = 20
which is impossible. If x >1, by Proposition 2.1, the Diophantine equation
z2 −19x =1 has no non-negative integer solution.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ในปี 2013, Sroysang [6] พบว่า x 23 สมการ Diophantine + 32y = z2แก้ปัญหาจำนวนเต็มไม่เป็นลบไม่ได้ ในปีเดียวกัน Chotchaisthit [7] พบว่า(3,0,3) ที่เป็นจำนวนเต็มเท่านั้นไม่ใช่เป็นค่าลบการแก้ปัญหาของสมการ Diophantine2 x + 11y = z2ในเอกสารนี้ เราจะแสดงว่า Diophantine สมการ 19 x + 2y = z2 ได้ปัญหาจำนวนเต็มไม่เป็นลบเฉพาะ การแก้ปัญหา (x, y, z) เป็น (0,3,3)2. preliminaries2.1 ข้อเสนอ [1] (ข้อความคาดการณ์ของคาตาลัน) (3,2,2,3) คือโซลูชันเฉพาะ(a, b, x, y) สำหรับ− ax สมการ Diophantine โดย = 1 a, b, x และ y มีจำนวนเต็มกับ min {a, b, x, y } > 1จับมือ 2.2 สมการ Diophantine 19 x + 1 = z2 ได้ไม่ไม่เป็นค่าลบแก้ปัญหาจำนวนเต็มหลักฐาน: สมมติว่า มีจำนวนเต็มไม่เป็นลบ x และ z ให้19 x + 1 = z2 ถ้า x = 0 ที่ z2 = 2 ซึ่งเป็นไปไม่ได้ ถ้า x = 1 แล้ว z2 = 20ซึ่งเป็นไปไม่ได้ ถ้า x > 1 โดยเสนอ 2.1 สมการ Diophantinez2 −19x = 1 ไม่มีจำนวนเต็มไม่เป็นลบคำตอบ