Proof Involving mod 5Date: 10/27/20

Proof Involving mod 5

Date: 10/27/2002 at 15:35:58
From: Marjorie Preston
Subject: Proof involving mod 5

I have a Discrete Math assignment, to prove the following:

Prove n^2 mod 5 = 1 or 4 when n is an integer not divisible by 5.

I can see that it's true, but don't know how to prove it. I know that
the possible remainders for mod 5 are 0-4; I know that multiples of 5
all end in 0 or 5... It's interesting that the only squares less than
5 are 0, 1, and 4; and 5 divides 0, so we're left with 1 and 4....
What's the formula I'm missing? Does it have anything to do with
primes?

Any insight would be appreciated.
Thanks!

Date: 10/27/2002 at 19:49:11
From: Doctor Paul
Subject: Re: Proof involving mod 5

You've already done the problem...

Given an integer n, there are five possibilities:

n = 0 mod 5
n = 1 mod 5
n = 2 mod 5
n = 3 mod 5
n = 4 mod 5

If n = 0 mod 5, then 5 divides n. We discard this case since it is
the noted exception given above.

Now we proceed just as you noted above:

if n = 1 mod 5, then n^2 = 1^1 = 1 mod 5

if n = 2 mod 5, then n^2 = 2^2 = 4 mod 5

if n = 3 mod 5, then n^2 = 3^2 = 9 = 4 mod 5

if n = 4 mod 5, then n^2 = 4^2 = 16 = 1 mod 5

Thus when 5 does not divide n, n^2 = 1 mod 5 or n^2 = 4 mod 5.

That's all there is to it...

I hope this helps. Please write back if you'd like to talk about
this some more.

- Doctor Paul, The Math Forum
http://mathforum.org/dr.math/

Date: 10/27/2002 at 22:51:22
From: Marjorie Preston
Subject: Thank you (Proof involving mod 5)

I'm shocked by your quick reply! Thank you so much! Yes, it answers
the question completely and provides the missing link in my thinking
that I was looking for. You are good! Thank you thank you thank you!

-Marjorie Preston

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

หลักฐานที่เกี่ยวข้องกับ mod 5วัน: 10/27/2002 ที่ 15:35:58จาก: Marjorie เพรสตันเรื่อง: หลักฐานที่เกี่ยวข้องกับ mod 5มีการมอบหมายคณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง การพิสูจน์ต่อไปนี้:พิสูจน์ n ^ 2 mod 5 = 1 หรือ 4 เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มที่หารได้ ด้วย 5 ไม่จะเห็นว่า มันเป็นความจริง แต่ไม่ทราบวิธีที่จะพิสูจน์มันได้ ฉันรู้แล้วน่า remainders เป็นไปได้สำหรับ mod 5 มี 0-4 ผมรู้ว่าผลคูณของ 5 ทั้งหมดจบใน 0 หรือ 5 ... เป็นที่น่าสนใจที่เดียวสี่เหลี่ยมน้อยกว่า 5 คือ 0, 1 และ 4 และ 5 หาร 0 ดังนั้นเราจะเหลือ 1 และ 4 ...สูตรที่ผมขาดหายไปคืออะไร มีอะไรที่จะทำด้วยไหม โรงแรมไพรม์หรือไม่ข้อมูลเชิงลึกจะนิยม ขอบคุณวัน: 10/27/2002 ที่ 19:49:11จาก: หมอ Paulหัวข้อ: Re: หลักฐานเกี่ยวข้องกับ mod 5คุณได้ดำเนินการปัญหา...ให้ n เป็นจำนวนเต็ม มีโอกาส 5: n = 0 mod 5 n = 1 mod 5 n = 2 mod 5 n = 3 mod 5 n = 4 mod 5ถ้า n = 0 n แบ่ง mod 5 แล้ว 5 เรายกเลิกกรณีและปัญหานี้เนื่องจากเป็น ยกเว้นตามที่กำหนดข้างต้นเราดำเนินการเป็นคุณไว้ด้านบน: ถ้า n = 1, mod 5 แล้ว n ^ 2 = 1 ^ 1 = 1 mod 5 ถ้า n = 2 mod 5 แล้ว n ^ 2 = 2 ^ 2 = 4 mod 5 ถ้า n = 3 mod 5 แล้ว n ^ 2 = 3 ^ 2 = 9 = 4 mod 5 ถ้า n = 4 mod 5 แล้ว n ^ 2 = 4 ^ 2 = 16 = 1 mod 5ดังนั้น เมื่อ 5 ไม่แบ่ง n, n ^ 2 = 1 mod 5 หรือ n ^ 2 = 4 mod 5นั่นคือทั้งหมดมีไป...ฉันหวังว่า นี้ช่วย กรุณาเขียนกลับถ้า คุณต้องการพูดคุยเกี่ยวกับ นี้บ้าง-หมอ Paul เวทีคณิตศาสตร์ http://mathforum.org/dr.math/ วัน: 10/27/2002 เวลา 22:51:22จาก: Marjorie เพรสตันเรื่อง: ขอขอบคุณ (หลักฐานที่เกี่ยวข้องกับ mod 5)ฉันกำลังตกใจกลัววันตอบกลับรวดเร็วความผิด ขอบคุณมาก! ใช่ มันตอบ คำถามที่สมบูรณ์และเชื่อมโยงขาดหายไปในความคิดของผม ที่ฉันถูกมองหา คุณมีดี ขอบคุณขอบคุณขอบคุณ-เปรสตัน Marjorie

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

หลักฐานที่เกี่ยวข้องกับ mod 5 วันที่: 2002/10/27 ที่ 15:35:58 จาก: มาร์จอรี่เพรสตันเรื่องหลักฐานที่เกี่ยวข้องกับmod 5 ฉันมีการกำหนดคณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่องเพื่อพิสูจน์ต่อไปนี้: พิสูจน์ n ^ 2 สมัย 5 = 1 หรือ 4 เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มไม่หารด้วย 5. ฉันจะเห็นว่ามันเป็นความจริง แต่ไม่ทราบวิธีการที่จะพิสูจน์มัน ฉันรู้ว่าที่เหลือเป็นไปได้สำหรับ 5 สมัย 0-4; ฉันรู้ว่าหลาย 5 สิ้นสุดทั้งหมดใน 0 หรือ 5 ... มันน่าสนใจว่าสแควร์เพียงน้อยกว่า5 0, 1 และ 4; และแบ่ง 5 0 ดังนั้นเราจะเหลือ 1 และ 4 .... อะไรสูตรฉันหายไป? มันมีอะไรที่จะทำอย่างไรกับ? เฉพาะข้อมูลเชิงลึกใดๆ ที่จะได้รับการชื่นชม. ขอบคุณ! วันที่: 2002/10/27 ที่ 19:49:11 จาก: หมอพอลเรื่อง: Re: หลักฐานที่เกี่ยวข้องกับ mod 5 คุณได้ทำมาแล้วปัญหาที่เกิดขึ้น .. ป.ร. ให้ไว้จำนวนเต็ม n มีห้าเป็นไปได้: n = 0 5 mod n = 1 สมัย 5 n = 2 สมัย 5 n = 3 สมัย 5 n = 4 สมัย 5 ถ้า n = 0 สมัยที่ 5 แล้ว 5 แบ่ง n เราทิ้งกรณีนี้เพราะมันเป็นข้อยกเว้นที่ระบุไว้ดังกล่าวข้างต้น. ตอนนี้เราจะดำเนินการเช่นเดียวกับที่คุณระบุไว้ข้างต้น: ถ้า n = 1 สมัยที่ 5 แล้ว n ^ 2 = 1 ^ 1 = 1 สมัย 5 ถ้า n = 2 สมัยที่ 5 แล้ว n ^ 2 = 2 ^ 2 = 4 สมัย 5 ถ้า n = 3 สมัยที่ 5 แล้ว n ^ 2 = 3 ^ 2 = 9 = 4 สมัย 5 ถ้า n = 4 สมัยที่ 5 แล้ว n ^ 2 = 4 ^ 2 = 16 = 1 mod 5 ดังนั้นเมื่อ 5 ไม่ได้แบ่ง n, n ^ 2 = 1 สมัย 5 หรือ n ^ 2 = 4 สมัย 5. นั่นคือทั้งหมดที่มีให้มัน ... ฉันหวังว่านี้จะช่วยให้ กรุณาเขียนกลับถ้าคุณต้องการที่จะพูดคุยเกี่ยวกับเรื่องนี้บางมากขึ้น. - หมอพอลฟอรั่มคณิตศาสตร์http://mathforum.org/dr.math/ วันที่: 2002/10/27 ที่ 22:51:22 จาก: มาร์จอรี่ เพรสตันเรื่องขอบคุณ(หลักฐานที่เกี่ยวข้องกับ mod 5) ฉันตกใจโดยการตอบกลับอย่างรวดเร็วของคุณ! ขอบคุณมาก! ใช่มันตอบคำถามอย่างสมบูรณ์และมีการเชื่อมต่อที่หายในความคิดของฉันว่าฉันกำลังมองหา คุณเก่งนะ! ขอบคุณขอบคุณ thank you! -Marjorie เพรสตัน

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

หลักฐานที่เกี่ยวข้องกับ mod
5

วันที่ : 10 / 27 / 2002 ที่ 15:35:58

เรื่อง : จาก : มาร์จอรี่ เพรสตัน หลักฐานที่เกี่ยวข้องกับ mod 5

ฉันมีการบ้านคณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง ต้องพิสูจน์ต่อไป :

พิสูจน์ n
2 mod 5 = 1 หรือ 4 เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ หารด้วย 5

ผมก็เห็นว่ามันจริง แต่ไม่ทราบวิธีที่จะพิสูจน์มัน ฉันรู้ว่า
เหลือเป็นไปได้สำหรับ mod 5 เป็น 0-4 ; ฉันรู้ว่าหลาย ๆจบใน 5
0 หรือ 5 . . . . . . .มันน่าสนใจว่าเฉพาะสี่เหลี่ยมน้อยกว่า
5 0 , 1 และ 4 และ 5 แบ่งเป็น 0 ดังนั้นเราเหลือ 1 และ 4 . . . . . . .
อะไรคือสูตรที่ฉันหายไป มันมีอะไรจะทำอย่างไรกับ
ไพร์ม ?

ข้อมูลเชิงลึกจะนิยม
ขอบคุณ !

วันที่ : 10 / 27 / 2002 ที่ 19:49:11
จาก : หมอพอล
Subject : Re : หลักฐานที่เกี่ยวข้องกับ mod 5

แกเคยทำปัญหา . . . . . . .

ให้จำนวนเต็ม nมีห้าประการ :

n = 0 ครับ 5
n = 2
n = 2 mod mod 5 5
n = 3 mod 5
n = 4 mod 5

ถ้า n = 0 ครับ 5 5 แล้วแบ่ง เราทิ้งคดีนี้เนื่องจากเป็นข้อยกเว้นให้

ที่ระบุไว้ข้างต้น
ตอนนี้เราดำเนินการอย่างที่คุณกล่าวไว้ข้างต้น :

ถ้า n = 1 mod 5 แล้ว n
2 = 1
1 = 1 mod 5

ถ้า n = 2 mod 5 แล้ว n
2 = 2
2 = 4 mod 5

ถ้า n = 3 mod แล้ว N
5 2 = 3
2 = 9 = 4 mod 5

ถ้า n = 4 mod แล้ว N
52 =
mod 4
2 = 16 = 1 5
ดังนั้นเมื่อ 5 ไม่ได้แบ่ง n , n
2 = 1 ครับ 5 หรือ n
2 = 4 mod 5 .

แค่นั้นเอง . . . . . . .

ฉันหวังว่านี้จะช่วยให้ กรุณาเขียนกลับถ้าคุณต้องการที่จะพูดคุยเกี่ยวกับเรื่องนี้อีก
.

- หมอพอล เลขกระทู้
http://mathforum.org/dr.math/

วันที่ : 10 / 27 / 2002 ที่ 22:51:22
จาก : มาร์จอรี่เพรสตัน
เรื่อง : ขอบคุณ ( หลักฐานที่เกี่ยวข้องกับ mod 5 )

ผมตกใจโดยการตอบกลับอย่างรวดเร็วของคุณขอบคุณมากๆครับ ครับ ตอบ
คำถามทั้งหมด และให้การเชื่อมโยงที่ขาดหายไปใน
คิดของฉันที่ฉันได้รับการมองหา คุณเป็นคนดี ขอบคุณ ขอบคุณ ขอบคุณ ขอบคุณ ขอบคุณ ขอบคุณ !

- มาร์จอรี่ เพรสตัน