Bull. Korean Math. Soc.47(2010), No

Bull. Korean Math. Soc.
47
(2010), No. 3, pp. 491–502
DOI 10.4134/BKMS.2010.47.3.491
STABILITY OF A FUNCTIONAL EQUATION DERIVING
FROM QUARTIC AND ADDITIVE FUNCTIONS
Madjid Eshaghi Gordji
Abstract.
In this paper, we obtain the general solution and the gener-
alized Hyers-Ulam Rassias stability of the functional equation
f
(2
x
+
y
) +
f
(2
x
−
y
) = 4(
f
(
x
+
y
) +
f
(
x
−
y
))
−
3
7
(
f
(2
y
)
−
2
f
(
y
)) + 2
f
(2
x
)
−
8
f
(
x
)
.
1. Introduction
The stability problem of functional equations originated from a question
of Ulam [28] in 1940, concerning the stability of group homomorphisms. Let
(
G
1
,
·
) be a group and let (
G
2
,
∗
) be a metric group with the metric
d
(
·
,
·
)
.
Given
² >
0, does there exist a
δ >
0, such that if a mapping
h
:
G
1
→
G
2
satisfies the inequality
d
(
h
(
x
·
y
)
,h
(
x
)
∗
h
(
y
))
< δ
for all
x,y
∈
G
1
, then there
exists a homomorphism
H
:
G
1
→
G
2
with
d
(
h
(
x
)
,H
(
x
))
< ²
for all
x
∈
G
1
?
In the other words, under what condition does there exist a homomorphism
near an approximate homomorphism? The concept of stability for functional
equation arises when we replace the functional equation by an inequality which
acts as a perturbation of the equation. In 1941, D. H. Hyers [13] gave a first
affirmative answer to the question of Ulam for Banach spaces. Let
f
:
E
→
E
0
be a mapping between Banach spaces such that
k
f
(
x
+
y
)
−
f
(
x
)
−
f
(
y
)
k≤
δ
for all
x,y
∈
E,
and for some
δ >
0
.
Then there exists a unique additive
mapping
T
:
E
→
E
0
such that
k
f
(
x
)
−
T
(
x
)
k≤
δ
for all
x
∈
E.
Moreover if
f
(
tx
) is continuous in
t
for each fixed
x
∈
E,
then
T
is linear. Finally in 1978, Th. M. Rassias [25] proved the following theorem

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

วัว คณิตศาสตร์เกาหลี Soc.47(2010), หมายเลข 3 นำ 491-502ดอย 10.4134/BKMS.2010.47.3.491ความมั่นคงของบริษัทฯ สมการเชิงฟังก์ชันจากฟังก์ชัน QUARTIC และการบวกMadjid Eshaghi Gordjiบทคัดย่อในเอกสารนี้ เราได้รับการแก้ปัญหาทั่วไปและ gener-alized Rassias Hyers Ulam เสถียรภาพของสมการเชิงฟังก์ชันf(2x+y) +f(2x−y) = 4(f(x+y) +f(x−y))−37(f(2y)−2f(y)) + 2f(2x)−8f(x).1. บทนำปัญหาความมั่นคงของสมการทำงานเริ่มต้นจากคำถามของ Ulam [28] ใน ๒๔๘๓ เกี่ยวกับความมั่นคงของกลุ่ม homomorphisms ปล่อยให้(G1,·) เป็นกลุ่ม และให้(G2,∗) เป็นตัววัด โดยการวัดd(·,·).กำหนดให้² >0 มีการΔ >0 เช่นว่าถ้าการแม็ปh:G1→G2เป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกันd(h(x·y), h(x)∗h(y))< δสำหรับทั้งหมดx, y∈G1แล้วมีอยู่ homomorphismH:G1→G2ด้วยd(h(x), H(x))< ²สำหรับทั้งหมดx∈G1?ในคำอื่น ๆ ภายใต้เงื่อนไขว่ามีการ homomorphismใกล้ homomorphism โดยประมาณ แนวคิดของความมั่นคงในหน้าที่สมการที่เกิดขึ้นเมื่อเราแทนสมการเชิงฟังก์ชัน โดยความไม่เท่าเทียมกันที่ทำหน้าที่เป็น perturbation ของสมการ 1941, D. H. Hyers [13] ให้เป็นครั้งแรกตอบคำถามของ Ulam Banach ช่องยืนยัน ปล่อยให้f:อี→อี0มีการแม็ประหว่างช่องว่างของ Banach เช่นว่าkf(x+y)−f(x)−f(y)k≤Δสำหรับทั้งหมดx, y∈Eและ สำหรับบางΔ >0.แล้ว มีเสริมเฉพาะการแม็ปT:อี→อี0เช่นว่าkf(x)−T(x)k≤Δสำหรับทั้งหมดx∈อีนอกจากนี้ถ้าf(tx) อยู่อย่างต่อเนื่องในtสำหรับแต่ละแก้ไขx∈Eแล้วTเป็นเชิงเส้น สุดท้าย ในปี 1978, Rassias M. ชาญ [25] พิสูจน์ทฤษฎีบทต่อไปนี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

วัว คณิตศาสตร์เกาหลี Soc.
47
(2010), ฉบับที่ 3 ได้ pp. 491-502
ดอย 10.4134 / BKMS.2010.47.3.491
ความเสถียรของสมการเชิงฟังก์ชันอันเกิด
จาก quartic และเพิ่มเติมฟังก์ชั่
Madjid Eshaghi Gordji
บทคัดย่อ.
ในบทความนี้เราได้รับการแก้ปัญหาทั่วไปและ gener-
alized Hyers-ลาม Rassias ความมั่นคงของสมการทำงาน
ฉ
(2
x
+
y ที่
) +
ฉ
(2
x
-
Y
) = 4 (
ฉ
(
x
+
y ที่
) +
ฉ
(
x
-
Y
))
-
3
7
(
ฉ
(2
ปี
)
-
2
เอฟ
(
Y
)) + 2
เอฟ
(2
x
)
-
8
ฉ
(
x
)
.
1 บทนำ
ปัญหาความมั่นคงของสมการทำงานมาจากคำถาม
ของ Ulam [28] ในปี 1940 เกี่ยวกับความมั่นคงของกลุ่ม homomorphisms ให้
(
G
1
,
·
) เป็นกลุ่มและให้ (
G
2
,
*
) เป็นกลุ่มที่มีตัวชี้วัดตัวชี้วัด
d
(
·
,
·
)
.
ได้รับ
²>
0, ไม่มีอยู่
δ>
0 เช่นว่าถ้าทำแผนที่
เอช
:
G
1
→
G
2
ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน
ง
(
เอช
(
x
·
Y
)
, เอช
(
x
)
*
เอช
(
Y
))
<δ
สำหรับทุก
x, y
∈
G
1
นั้นมี
อยู่ homomorphism
H
:
G
1
→
G
2
กับ
d
(
เอช
(
x
)
, H
(
x
))
<²
สำหรับทุก
x
∈
G
1
?
ในคำอื่น ๆ ภายใต้สภาพที่ไม่สิ่งที่มีอยู่ homomorphism
ใกล้ homomorphism ประมาณ? แนวความคิดของความมั่นคงในการทำงาน
สมเกิดขึ้นเมื่อเราแทนที่สมการการทำงานโดยไม่เท่าเทียมกันซึ่ง
ทำหน้าที่เป็นก่อกวนของสมการ ในปี 1941 เอช Hyers [13] ให้เป็นครั้งแรก
ยืนยันคำตอบสำหรับคำถามของอุลามสำหรับพื้นที่นาค Let
ฉ
:
E
→
E
0
เป็นแมประหว่างนาคพื้นที่ดังกล่าวว่า
k
ฉ
(
x
+
y ที่
)
-
ฉ
(
x
)
-
เอฟ
(
Y
)
k≤
δ
สำหรับทุก
x, y
∈
E,
และสำหรับบาง
δ>
0 จากนั้นก็มีอยู่สารเติมแต่งที่ไม่ซ้ำกันทำแผนที่T : E → E 0 เช่นที่k ฉ( x ) - T ( x ) k≤ δ สำหรับทุกx ∈ อีนอกจากนี้ถ้าฉ( เท็กซัส) เป็นอย่างต่อเนื่องในเสื้อแต่ละคงx ∈ E , แล้วT เป็นเส้นตรง ในที่สุดในปี 1978 Th เอ็ม Rassias [25] ได้รับการพิสูจน์ทฤษฎีบทดังต่อไปนี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

วัว คณิตศาสตร์ของเกาหลี 47 ส

( 2010 ) , อันดับที่ 3 . 491 – 502
ดอย 10.4134 / bkms . 2010.47.3.491
เสถียรภาพของสมการอนุพันธ์ของฟังก์ชันและฟังก์ชัน

จาก quartic เสริม madjid eshaghi

gordji นามธรรม ในกระดาษนี้เราได้รับทั่วไปโซลูชั่น และมกราคม -
เช่น hyers อุลาม rassias เสถียรภาพของ หน้าที่ สมการ
F
2
x

y

( F )
2
x
y −

) (

= 4 f (
x

y

F )
(
x

y −−

)
3
7

f

( 2Y
)


F − 2
(
y
2

) F (
x
2 )

F −
8
(
x
)
.
1 ปัญหาเสถียรภาพของการทำงานเบื้องต้น

สมการมาจากคำถามของอุลาม [ 28 ] ในปี 1940 เกี่ยวกับเสถียรภาพของกลุ่ม homomorphisms . ให้

G
1
,

ด้วย ) เป็น กลุ่ม และให้ (
g
2
,
∗
) เป็น กลุ่มเมตริกด้วยเมตริก
D

ด้วย

ด้วย
)
.
ให้พนักงานขาย >
0
,
δไม่มีอยู่เป็น >
0 เช่น ถ้าแผนที่
H
:
G
1

g
2
→ keyboard - key - nameตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน
D
(
H
(
x
ด้วย
y
)
H
(
x
)
∗
H
(
y
)

< δทั้งหมด
x , y
∈
G
1
, แล้ว

homomorphism ที่มีอยู่ H
:
G
1

g
2 → keyboard - key - name
กับ
D
(
H
(
x
)
H
(
x
)

< พนักงานขายทั้งหมด
x
∈
G
1
?
ในคำอื่น ๆภายใต้เงื่อนไขที่ไม่มีอยู่เป็น homomorphism
ใกล้ประมาณ homomorphism ? แนวคิดของเสถียรภาพการทำงาน
สมการที่เกิดขึ้นเมื่อเราเปลี่ยนสมการการทำงาน โดยมีความไม่เท่าเทียมกัน ซึ่ง
ทำหน้าที่เป็นสมการ ของสมการ ในปี 1941 , DH hyers [ 13 ] ให้ก่อน
ยืนยันคำตอบของอุลามเพื่อสำรวจพื้นที่ ให้ f :



E
E
0
→ keyboard - key - name เป็นการทำแผนที่ระหว่างนาคเป็นเช่นนั้น
k
f
(
x

y
)


− F (
x
)


F − (
y
)
k


≤δทั้งหมด X , Y
∈
E

และบางδ >
0

แล้วมีอยู่เอกลักษณ์เสริม


:
t แผนที่ E
E
0

→ keyboard - key - name เช่น
K
f
(
x
)


T − (
x
)
k

≤δทั้งหมด

e
x
∈หาก

( F

) เป็นอย่างต่อเนื่องในเท็กซัส
T
x

สำหรับแต่ละการแก้ไข∈
E
T

แล้วเป็นเชิงเส้น ในที่สุดในปี 1978 , th เมตร rassias [ 25 ] พิสูจน์ทฤษฎีบท
ต่อไปนี้