A set N together with two binary op

A set N together with two binary operations + (called addition) and ⋅ (called multiplication) is called a (right) near-ring if:

A1: N is a group (not necessarily abelian) under addition;
A2: multiplication is associative (so N is a semigroup under multiplication); and
A3: multiplication distributes over addition on the right: for any x, y, z in N, it holds that (x + y)⋅z = (x⋅z) + (y⋅z).[1]
Similarly, it is possible to define a left near-ring by replacing the right distributive law A3 by the corresponding left distributive law. However, near-rings are almost always written as right near-rings.[citation needed]

An immediate consequence of this one-sided distributive law is that it is true that 0⋅x = 0 but it is not necessarily true that x⋅0 = 0 for any x in N. Another immediate consequence is that (−x)⋅y = −(x⋅y) for any x, y in N, but it is not necessary that x⋅(−y) = −(x⋅y). A near-ring is a ring (not necessarily with unity) if and only if addition is commutative and multiplication is distributive over addition on the left.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ชุด N พร้อมกับดำเนินการไบนารี 2 + (เรียกว่าเพิ่ม) และ⋅ (เรียกว่าคูณ) เรียกว่า (ขวา) ใกล้วงแหวนถ้า:A1: N เป็นกลุ่ม (ไม่จำเป็นต้องอาบีเลียน) ภายใต้นี้A2: คูณจะสัมพันธ์กัน (ดังนั้น N เป็น semigroup ภายใต้การคูณ); และA3: คูณกระจายกว่านี้ด้านขวา: มี x, y, z ใน N จะเก็บที่ (x + y) ⋅z = (x⋅z) + (y⋅z) [1]ในทำนองเดียวกัน มันได้เพื่อกำหนดเป็นซ้ายใกล้วงแหวน โดยแทนกฎหมายแจกแจงขวา A3 ตามกฎหมายแจกแจงซ้ายสอดคล้องกัน อย่างไรก็ตาม ใกล้วงแหวนมักเขียนเป็นขวาใกล้แหวน [ต้องการอ้างอิง]สัจจะความทันทีของกฎหมายนี้แจกแจงด้านเดียวคือว่า มันจริงที่ 0⋅x = 0 แต่ไม่จำเป็นต้องจริง x⋅0 ที่ = 0 สำหรับทุก x ใน N. ⋅y (−x) ที่เป็นสัจจะอื่นทันที = −(x⋅y) สำหรับทุก x, y ใน N แต่ไม่จำเป็นที่ x⋅(−y) = −(x⋅y) ใกล้แหวนเป็นแหวน (ไม่จำเป็นต้อง มีความสามัคคี) ถ้าและเฉพาะถ้าเพิ่มสลับ และคูณแจกแจงผ่านนอกจากนี้ทางด้านซ้าย

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ชุดเอ็นร่วมกับทั้งสองดำเนินการไบนารี + (นอกจากนี้เรียกว่า) และ⋅ (เรียกว่าคูณ) เรียกว่า (ขวา) ใกล้วงแหวนหาก: A1: N เป็นกลุ่ม (ไม่จำเป็นต้องคริสต์) ภายใต้นอกจากนี้; A2: คูณคือเชื่อมโยง ( เพื่อให้ N เป็น semigroup ภายใต้การคูณ); และA3: คูณจัดจำหน่ายมากกว่านอกจากนี้ทางด้านขวาสำหรับ x ใด ๆ , y, z ใน N, มันถือได้ว่า (x + y) = ⋅z (x⋅z) + (y⋅z) [1]. ในทำนองเดียวกันก็ เป็นไปได้ที่จะกำหนดซ้ายใกล้แหวนโดยการเปลี่ยนกฎหมายการจำหน่ายสิทธิ A3 โดยกฎหมายการจำหน่ายซ้ายที่สอดคล้องกัน แต่ใกล้แหวนเกือบมักจะเขียนเป็นสิทธิใกล้แหวน. [อ้างจำเป็น] ผลที่ได้ทันทีจากนี้กฎหมายจำหน่ายด้านเดียวก็คือว่ามันเป็นความจริงที่0⋅x = 0 แต่มันไม่จำเป็นต้องเป็นความจริงที่ว่าx⋅0 = 0 สำหรับ x ใด ๆ ในเอ็นอีกผลที่ตามมาทันทีคือ (-x) = ⋅y - (x⋅y) สำหรับ x ใด ๆ , y ใน N, แต่มันก็ไม่จำเป็นที่x⋅ (-y) = - (x ⋅y) ที่อยู่ใกล้กับแหวนเป็นแหวน (ไม่จำเป็นต้องมีความสามัคคี) และถ้าหากเป็นนอกจากนี้การเปลี่ยนแปลงและการคูณคือการจำหน่ายมากกว่านอกจากนี้ทางด้านซ้าย

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ชุด N พร้อมกับสองไบนารีการเรียกเพิ่ม ) และ⋅ ( เรียกว่าการคูณ ) เรียกว่า ( ขวา ) ใกล้วงแหวนถ้า :

A1 : N คือกลุ่ม ( ไม่จําเป็นอาบีเลียน ) ภายใต้นอกจากนี้ ;
A2 : การคูณคือเชื่อมโยง ( n เป็นกึ่งกลุ่มภายใต้การคูณและ A3 :
) คูณกระจายมากกว่านอกจากนี้บนขวา : สำหรับ x , y , z n ก็ถือว่า ( X Y Z = ( x ) ⋅⋅ ) Z ( Y ⋅ [ 1 ]
Z )ในทํานองเดียวกัน มันเป็นไปได้ที่จะกำหนดซ้าย ใกล้วงแหวน โดยการกระจายสิทธิโดยกฎหมาย A3 ที่เหลือกระจายกฎหมาย อย่างไรก็ตาม ใกล้แหวนมักจะเขียนเป็นขวา ใกล้วงแหวน . อ้างอิง [ จำเป็น ]

มีผลทันทีของกฎหมายการกระจายนี้อยู่ฝ่ายเดียว มันเป็นความจริงที่ 0 ⋅ x = 0 แต่ก็ไม่ใช่ความจริงที่ x ใด ๆ⋅ 0 = 0 x )ทันทีอื่นตามมาคือ ( − 1 ) = −⋅ Y ( X ⋅ Y ) สำหรับ x , y n , แต่มันไม่ได้จำเป็นว่า x ⋅ ( −− ( y ) = x ⋅ Y ) แหวนใกล้เป็นแหวน ( ไม่จําเป็นต้องมีความสามัคคี ) ถ้าและเพียงถ้าสมบัติการสลับที่การคูณและนอกจากนี้คือมีการกระจายมากกว่านอกจากนี้บนด้านซ้าย