Maximal Area of a Bicentric Quadril

Maximal Area of a Bicentric Quadrilateral
Martin Josefsson
Abstract. We prove an inequality for the area of a bicentric quadrilateral in
terms of the radii of the two associated circles and show how to construct the
quadrilateral of maximal area.
1. Introduction
A bicentric quadrilateral is a convex quadrilateral that has both an incircle and
a circumcircle, so it is both tangential and cyclic. Given two circles, one within
the other with radii r and R (where r < R), then a necessary condition that there
can be a bicentric quadrilateral associated with these circles is that the distance 
between their centers satisfies Fuss’ relation
1
(R + )2 +
1
(R − )2 =
1
r2 .
A beautiful elementary proof of this was given by Salazar (see [8], and quoted at
[1]). According to [9, p.292], this is also a sufficient condition for the existence
of a bicentric quadrilateral. Now if there for two such circles exists one bicentric
quadrilateral, then according to Poncelet’s closure theorem there exists infinitely
many; any point on the circumcircle can be a vertex for one of these bicentric
quadrilaterals [11]. That is the configuration we shall study in this note. We derive
a formula for the area of a bicentric quadrilateral in terms of the inradius, the
circumradius and the angle between the diagonals, conclude for which quadrilateral
the area has its maximum value in terms of the two radii, and show how to construct
that maximal quadrilateral.
2. More on the area of a bicentric quadrilateral
In [4] and [3, §6] we derived a few new formulas for the area of a bicentric
quadrilateral. Here we will prove another area formula using properties of bicentric
quadrilaterals derived by other authors.
Theorem 1. If a bicentric quadrilateral has an incircle and a circumcircle with
radii r and R respectively, then it has the area
K = r r +p4R2 + r2 sin 
Publication Date: October 18, 2012. Communicating Editor: Paul Yiu.
238 M. Josefsson
where  is the angle between the diagonals.
Proof. We give two different proofs. Both of them uses the formula
K = 1
2pq sin  (1)
which gives the area of a convex quadrilateral with diagonals p, q and angle 
between them.
bO
b
A
bB
b C
D b p
R
Figure 1. Using the inscribed angle theorem
First proof. In a cyclic quadrilateral it is easy to see that the diagonals satisfy
p = 2RsinB and q = 2RsinA (see Figure 1). Inserting these into (1) we have
that a cyclic quadrilateral has the area 1
K = 2R2 sinAsinB sin . (2)
In [13] Yun proved that in a bicentric quadrilateral ABCD (which he called a
double circle quadrilateral),
sinAsinB =
r2 + rp4R2 + r2
2R2 .
Inserting this into (2) proves the theorem.
Second proof. In [2, pp.249, 271–275] it is proved that the inradius in a bicentric
quadrilateral is given by
r =
pq
2ppq + 4R2
.
Solving for the product of the diagonals gives
pq = 2r r +p4R2 + r2
where we chose the solution of the quadratic equation with the plus sign since
the product of the diagonals is positive. Inserting this into (1) directly yields the
theorem. 
1A direct consequence of this formula is the inequality K  2R2 in a cyclic quadrilateral, with
equality if and only if the quadrilateral is a square.
Maximal area of a bicentric quadrilateral 239
Remark. According to [12, p.164], it was Problem 1376 in the journal Crux
Mathematicorum to derive the equation
pq
4r2 −
4R2
pq
= 1
in a bicentric quadrilateral. Solving this also gives the product pq in terms of the
radii r and R.
Corollary 2. If a bicentric quadrilateral has an incircle and a circumcircle with
radii r and R respectively, then its area satisfies
K  r r +p4R2 + r2
where there is equality if and only if the quadrilateral is a right kite.
Proof. There is equality if and only if the angle between the diagonals is a right
angle, since sin   1 with equality if and only if  = 
2 . A tangential quadrilateral
has perpendicular diagonals if and only if it is a kite according to Theorem 2 (i)
and (iii) in [5]. Finally, a kite is cyclic if and only if two opposite angles are right
angles since it has a diagonal that is a line of symmetry and opposite angles in a
cyclic quadrilateral are supplementary angles. 
We also have that the semiperimeter of a bicentric quadrilateral satisfies
s  r +p4R2 + r2
where there is equality if and only if the quadrilateral is a right kite. This is a direct
consequence of Corollary 2 and the formula K = rs for the area of a tangential
quadrilateral. To derive this inequality was a part of Problem 1203 in Crux Mathematicorum
according to [10, p.39]. Another part of that problem was to prove that
in a bicentric quadrilateral, the product of the sides satisfies
abcd  16
9 r2(4R2 + r2).
It is well known that the left hand side gives the square of the area of a bicentric
quadrilateral (a short proof is given in [4, pp.155–156]). Thus the inequality can
be restated as
K  4
3rp4R2 + r2.
This is a weaker area inequality than the one in Corollary 2, which can be seen in
the following way. An inequality betwe

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมที่ Bicentric สูงสุดมาร์ติ Josefssonบทคัดย่อ เราพิสูจน์อสมการของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม bicentric ในเงื่อนไขของรัศมีของทั้งสองเกี่ยวข้องวง และแสดงวิธีการสร้างการรูปสี่เหลี่ยมของพื้นที่สูงสุดบทนำรูปสี่เหลี่ยมที่ bicentric เป็นรูปสี่เหลี่ยมนูนที่มีวงกลมมีทั้งแนบใน และการ circumcircle ดังนั้นจึงเป็น tangential และวงจร กำหนดวงกลมสอง หนึ่งภายในอื่น ๆ ที่ มีรัศมี r และ R (ที่เป็น < R), แล้วความจำเป็นสภาพที่มีเป็นรูปสี่เหลี่ยม bicentric ที่เกี่ยวข้องกับวงการเหล่านี้เป็นระยะที่ระหว่างศูนย์ของพวกเขาเป็นความสัมพันธ์ของชัดเจน1(R + )2 +1(R − )2 =1r2สวยประถมหลักฐานนี้ให้ซัลลาซาร์ (ดู [8], และเสนอราคาที่[1]) . ตาม [9, p.292], นี้เป็นเงื่อนไขเพียงพอสำหรับการดำรงอยู่ของรูปสี่เหลี่ยม bicentric ตอนนี้ถ้ามีสำหรับสองวงการดังกล่าวมีอยู่อย่างใดอย่างหนึ่ง bicentricรูปสี่เหลี่ยม แล้วตามทฤษฎีบทปิดของ Poncelet มีอยู่เพียบหลาย จุดใด ๆ บน circumcircle สามารถจุดยอดหนึ่งเหล่านี้ bicentricquadrilaterals [11] การกำหนดค่าที่เราจะศึกษาในหมายเหตุนี้ได้ ที่เราได้มีสูตรพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม bicentric ในแง่ของ inradius การcircumradius และมุมระหว่างเส้นทแยงมุม สรุปสำหรับรูปสี่เหลี่ยมใดพื้นที่มีมูลค่าสูงในแง่ของรัศมีสอง และแสดงวิธีการสร้างรูปสี่เหลี่ยมที่สูงสุด2. เพิ่มเติมเกี่ยวกับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมที่ bicentricใน [4] และ [3, §6] เรามากี่สูตรใหม่สำหรับพื้นที่ของ bicentricรูปสี่เหลี่ยม ที่นี่เราจะพิสูจน์โดยใช้คุณสมบัติของ bicentric สูตรพื้นที่อื่นquadrilaterals การเขียนทฤษฎีบทที่ 1 ถ้าเป็นรูปสี่เหลี่ยม bicentric มีการวงกลมแนบในและ circumcircle ด้วยรัศมี r และ R ตามลำดับ แล้วมีพื้นที่K = r r + p4R2 + r2 บาปวันเผยแพร่: 18 ตุลาคม 2012 บรรณาธิการสื่อสาร: Paul YiuJosefsson M. 238มุมระหว่างทแยงหลักฐาน เราให้หลักฐานที่แตกต่างกันสอง ทั้งสองอย่างใช้สูตรK = 12pq บาป (1)ซึ่งทำให้พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมนูนด้วยเส้นทแยงมุม p, q และมุมระหว่างพวกเขาบ่อbAบีบีb CD b pRรูปที่ 1 ใช้ทฤษฎีบทมุม inscribedหลักฐานแรก ในรูปสี่เหลี่ยมเป็นวงกลม ซึ่งง่ายต่อการดูว่า เส้นทแยงมุมที่ตอบสนองความp = 2RsinB และ q = 2RsinA (ดูรูปที่ 1) เราแทรกเหล่านี้ลงใน (1) มีที่เป็นรูปสี่เหลี่ยมวงกลมมีพื้นที่ 1K = 2R2 sinAsinB บาป (2)ในยุน [13] พิสูจน์ที่ใน ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยม bicentric (ซึ่งเขาเรียกว่าการคู่วงกลมรูปสี่เหลี่ยม),sinAsinB =r2 + rp4R2 + r22R2แทรกนี้ใน (2) พิสูจน์ทฤษฎีบทหลักฐานที่สอง ใน [2, pp.249, 271-275] จะพิสูจน์ที่ inradius ในการ bicentricรูปสี่เหลี่ยมที่กำหนดโดยr =pq2ppq + 4R2.การแก้ไขสำหรับผลิตภัณฑ์ของให้เส้นทแยงมุมpq = 2r r + p4R2 + r2ที่เราเลือกการแก้ปัญหาของสมการกำลังสองมีบวกตั้งแต่ผลิตภัณฑ์ของเส้นทแยงมุมเป็นบวก ใส่นี้ลงใน (1) โดยตรงผลผลิตทฤษฎีบท ผลตรง 1A ของสูตรนี้คือ 2R2 K อสมการในรูปสี่เหลี่ยมแบบวงกลมความเท่าเทียมกันถ้าและเดียวถ้ารูปสี่เหลี่ยมมีสี่เหลี่ยมพื้นที่สูงสุดของรูปสี่เหลี่ยม bicentric 239หมายเหตุ ตาม [12, p.164], มันเป็นปัญหา 1376 ในสมุดปมMathematicorum ได้สมการpq4r2 −4R2pq= 1ในการรูปสี่เหลี่ยม bicentric แก้นี้ยังช่วยให้ผลิตภัณฑ์ pq ในแง่ของการรัศมี r และ rCorollary 2 ถ้าเป็นรูปสี่เหลี่ยม bicentric มีการวงกลมแนบในและ circumcircle ด้วยรัศมี r และ R ตามลำดับ แล้วพื้นที่ตรงK r r + p4R2 + r2มีความเท่าเทียมกันถ้า และเมื่อรูปสี่เหลี่ยม ว่าวขวาหลักฐาน มีความเท่าเทียมกันถ้าและเดียวถ้ามุมระหว่างทแยงเป็นสิทธิมุม ตั้งแต่บาปที่ 1 ด้วยความเสมอภาค และเท่า =2 รูปสี่เหลี่ยมมี tangentialมีเส้นทแยงมุมตั้งฉากเท่านั้นหากเป็นว่าวตามทฤษฎีบท 2 (iและ (iii) ใน [5] ในที่สุด ว่าวเป็นวงจรถ้าและเดียวถ้าสองมุมตรงข้ามเหมาะสมมุมเนื่องจากมีเส้นทแยงมุมที่เป็นสายของสมมาตรและตรงข้ามกับมุมใน การรูปสี่เหลี่ยมวงกลมเป็นมุมฉาก เรายังมีที่เป็น semiperimeter ของรูปสี่เหลี่ยมที่ bicentrics r + p4R2 + r2มีความเท่าเทียมกันถ้า และเมื่อรูปสี่เหลี่ยม ว่าวขวา เป็นโดยตรงผลของ Corollary สูตร K =รูปีสำหรับพื้นที่ของที่ tangentialรูปสี่เหลี่ยม ได้ไม่เท่าเทียมกันนี้เป็นส่วนหนึ่งของปัญหา 1203 ในปม Mathematicorumตาม [10, p.39] เป็นส่วนหนึ่งของปัญหาคือการ พิสูจน์ที่ในรูปสี่เหลี่ยมที่ bicentric ผลิตภัณฑ์ด้านการตอบสนองabcd 169 r2(4R2 + r2)เป็นที่ทราบกันดีว่า ด้านซ้ายมือให้สี่เหลี่ยมพื้นที่ของการ bicentricรูปสี่เหลี่ยม (พิสูจน์สั้นถูกกำหนดใน [4, pp.155–156]) ดังนั้น ความไม่เท่าเทียมกันสามารถสามารถปรับเป็นK 43rp4R2 + r2เป็นอสมการตั้งแข็งแกร่งกว่าใน Corollary 2 ซึ่งคุณสามารถดูในลักษณะต่อไปนี้ Betwe ไม่เท่าเทียมกัน

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

พื้นที่สูงสุดของ Bicentric รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
มาร์ติน Josefsson
บทคัดย่อ เราพิสูจน์ให้เห็นความไม่เท่าเทียมกันในพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม bicentric ๆ ใน
แง่ของรัศมีของวงกลมสองวงที่เกี่ยวข้องและแสดงวิธีการที่จะสร้าง
รูปสี่เหลี่ยมพื้นที่สูงสุด.
1 บทนำ
bicentric รูปสี่เหลี่ยมเป็นกระจกนูนรูปสี่เหลี่ยมที่มีทั้ง incircle และ
circumcircle จึงเป็นทั้งวงและวงโคจร ได้รับวงกลมสองวงหนึ่งภายใน
อื่น ๆ ที่มี R รัศมีและ R (ที่ r <R) จากนั้นเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นว่ามี
อาจจะเป็นรูปสี่เหลี่ยม bicentric ที่เกี่ยวข้องกับวงการเหล่านี้คือระยะทางหรือไม่
ระหว่างศูนย์ตอบสนองของพวกเขาเอะอะ 'ความสัมพันธ์
1
(R ? +) 2 +
1
(R -?) 2 =
1
. R2
หลักฐานประถมที่สวยงามนี้ได้รับโดยซัลลาซาร์ (ดู [8] และซื้อ ณ
[1]) ตามที่ [9 p.292] นี้ยังเป็นเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการดำรงอยู่
ของรูปสี่เหลี่ยม bicentric ตอนนี้ถ้ามีสำหรับวงกลมสองวงดังกล่าวอยู่หนึ่ง bicentric
รูปสี่เหลี่ยมแล้วตามทฤษฎีบทปิด Poncelet ของมีอยู่เพียบ
หลาย จุดบน circumcircle ใดสามารถเป็นจุดสุดยอดสำหรับหนึ่งใน bicentric เหล่านี้
รูปสี่เหลี่ยม [11] นั่นคือการกำหนดค่าที่เราจะศึกษาต่อในบันทึกนี้ เราได้
สูตรสำหรับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม bicentric ที่ในแง่ของ inradius ที่
circumradius และมุมระหว่างเส้นทแยงมุมสรุปที่รูปสี่เหลี่ยม
พื้นที่มีค่าสูงสุดในแง่ของทั้งสองรัศมีและแสดงวิธีการสร้าง
สูงสุดที่ รูปสี่เหลี่ยม.
2 เพิ่มเติมเกี่ยวกับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม bicentric
ใน [4] และ [3 § 6] เราจึงได้สูตรใหม่ไม่กี่พื้นที่ของ bicentric
รูปสี่เหลี่ยม ที่นี่เราจะพิสูจน์สูตรพื้นที่อื่นโดยใช้คุณสมบัติของ bicentric
รูปสี่เหลี่ยมมาโดยการเขียนคนอื่น ๆ .
ทฤษฎีบท 1. ถ้ารูปสี่เหลี่ยม bicentric มี incircle และ circumcircle กับ
R รัศมี R และตามลำดับแล้วมันมีพื้นที่
K = R? R + + p4R2 R2? ? บาป
วันที่ตีพิมพ์: 18 ตุลาคม 2012 การสื่อสารบรรณาธิการ:. พอลยู
238 เมตร Josefsson
ที่ไหน? คือมุมระหว่างเส้นทแยงมุม.
หลักฐาน เราจะให้หลักฐานทั้งสองแตกต่างกัน ทั้งของพวกเขาใช้สูตร
K = 1
2PQ บาป? (1)
ซึ่งจะช่วยให้พื้นที่กระจกนูนรูปสี่เหลี่ยมที่มีเส้นทแยงมุม p, q และมุมหรือไม่
ระหว่างพวกเขา.
บ่อ
B bB B C D BP R รูปที่ 1 การใช้จารึกไว้มุมทฤษฎีบทหลักฐานแรก ในวงกลมสี่เหลี่ยมมันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าเส้นทแยงมุมตอบสนองp = 2RsinB และ q = 2RsinA (ดูรูปที่ 1) ใส่เหล่านี้เป็น (1) เรามีที่เป็นวงกลมสี่เหลี่ยมมีพื้นที่ 1 K = 2R2 sinAsinB บาป? (2) ใน [13] Yun พิสูจน์ให้เห็นว่าในรูปสี่เหลี่ยม ABCD bicentric (ซึ่งเขาเรียกว่าวงกลมสี่เหลี่ยมคู่), sinAsinB = R2 + rp4R2 + R2 2R2. ใส่นี้ลงใน (2) พิสูจน์ทฤษฎีบท. หลักฐานที่สอง ใน [2, pp.249, 271-275] จะพิสูจน์ว่า inradius ใน bicentric รูปสี่เหลี่ยมจะได้รับโดยr = PQ 2ppq + 4R2 . แก้สำหรับผลิตภัณฑ์ของเส้นทแยงมุมให้PQ = 2r? R + p4R2 + R2? ที่เราเลือกที่จะแก้ปัญหาของสมการมีเครื่องหมายบวกตั้งแต่สินค้าของเส้นทแยงมุมเป็นบวก ใส่ลงไปในนี้ (1) โดยตรงถัวเฉลี่ยทฤษฎีบท ? 1A ผลโดยตรงของสูตรนี้คือความไม่เท่าเทียมกัน K? 2R2 ในวงกลมสี่เหลี่ยมที่มีความเท่าเทียมกันและถ้าหากรูปสี่เหลี่ยมเป็นตาราง. พื้นที่สูงสุดของ bicentric สี่เหลี่ยม 239 หมายเหตุ ตามที่ [12, p.164] มันเป็นปัญหา 1376 ในวารสารปมMathematicorum จะได้รับสมPQ 4r2 - 4R2 PQ = 1 ในรูปสี่เหลี่ยม bicentric การแก้นี้ยังช่วยให้ PQ สินค้าในแง่ของR รัศมีและอาร์ควันหลง 2. ถ้ารูปสี่เหลี่ยม bicentric มี incircle และ circumcircle มีรัศมี R และ R ตามลำดับแล้วพื้นที่ของตนตอบสนองK? R? R + p4R2 + R2? ที่มีความเท่าเทียมกันและถ้าหากรูปสี่เหลี่ยมเป็นว่าวที่เหมาะสม. หลักฐาน มีความเท่าเทียมกันและถ้าหากมุมระหว่างเส้นทแยงมุมเป็นสิทธิมุมตั้งแต่บาป? ? 1 มีความเท่าเทียมกันและถ้าหาก? =? 2 รูปสี่เหลี่ยมวงมีเส้นทแยงมุมตั้งฉากและถ้าหากมันเป็นว่าวตามทฤษฏี 2 (i) และ (iii) ใน [5] สุดท้ายว่าวคือเป็นวงกลมและถ้าหากสองมุมตรงข้ามขวามุมเพราะมันมีเส้นทแยงมุมว่าเป็นสายของสมมาตรและตรงข้ามมุมในเป็นวงกลมสี่เหลี่ยมมุมกำลังเสริม ? เรายังมีที่ semiperimeter ของ bicentric ตอบสนองรูปสี่เหลี่ยมS? R + p4R2 + R2 ที่มีความเท่าเทียมกันและถ้าหากรูปสี่เหลี่ยมเป็นว่าวที่เหมาะสม นี่คือโดยตรงผลมาจากควันหลงที่ 2 และ K สูตร = RS สำหรับพื้นที่ของวงรูปสี่เหลี่ยม ให้ได้มาซึ่งความไม่เท่าเทียมกันนี้คือส่วนหนึ่งของปัญหาในปม 1203 Mathematicorum ตาม [10 p.39] ส่วนหนึ่งของปัญหาที่ว่าคนอื่นก็จะพิสูจน์ให้เห็นว่าในรูปสี่เหลี่ยม bicentric ผลิตภัณฑ์ของความพึงพอใจด้านABCD ให้? 16 9 R2 (4R2 + R2). เป็นที่รู้จักกันดีว่าด้านซ้ายมือให้ตารางของพื้นที่ของ bicentric ที่รูปสี่เหลี่ยม (หลักฐานสั้นจะได้รับใน [4, pp.155-156]) ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกันสามารถได้รับการปรับปรุงใหม่เป็นK? 4 3rp4R2 + R2. นี่คือความไม่เท่าเทียมกันในพื้นที่ที่อ่อนแอกว่าหนึ่งในควันหลง 2 ซึ่งสามารถเห็นได้ในวิธีการดังต่อไปนี้ betwe ความไม่เท่าเทียมกัน