polarplot is available (we have als

polarplot is available (we have also tried other packages like Maxima, SAGE and Mathematica; however, either no
similar instruction was available, or the corresponding command behaved in a very similar way to polarplot). This
instruction allows to draw curves defined in polar coordinates either by means of an equation r = f (θ ) or by a parametriza-
tion (r(t),θ(t)), and has a nice performance for simple curves, but may not be enough for illustrating the behavior of a more
complicated curve. As an example, one may consider the following parametrizations in polar coordinates: (1) r = t2 , t2−11t+30
θ=t2+78; (2) r=t, θ=t2+14; (3) r=t, θ= t3+1 . If one usespolarplotto visualize these curves, one obtains the t2+1 t2+1 t2−3t+2
outputs in Fig. 1: here the curves (1), (2), (3) are displayed from left to right; in (1) and (2) we have asked Maple to plot the curve for t ∈ (−∞, ∞), and in the case of (3) we have chosen t ∈ (−2.01, 2.01) (because r , θ are both non-bounded for t → ±∞). However, in the three cases it is clear that the output does not really help to understand the behavior of the curve.
By using our ideas, one can get an algorithm which provides, for a given curve of the considered kind, information and several plottings corresponding to the more interesting parts of it. We have implemented this algorithm in Maple 15. Our algorithm analyzes the curve, detects its main features, and uses the command polarplot for plotting the curve over several intervals (generated by our algorithm), each one showing certain features of the curve; together with the provided information, these plottings help to clarify the behavior of the curve. The outputs of our algorithm for curves in Fig. 1 can be checked in Section 3.
The paper is structured as follows: In Section 2, the reader will find the theoretical results on the shape of these curves. In Section 3, we provide some details on the algorithm, together with several examples of outputs. Finally, in Section 4 we present some conclusions and suggest future lines of research.
We would like to thank the anonymous referees for their thoughtful comments and suggestions, which helped to improve the paper.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

มี polarplot (เรายังพยายามแพคเกจอื่น ๆ เช่นแมก SAGE และ Mathematica อย่างไรก็ตาม ไม่มีคำสั่งที่คล้ายกัน หรือคำสั่งนั้น ๆ ประพฤติตัวในลักษณะคล้ายกันมากกับ polarplot) นี้การเรียนการสอนที่ช่วยให้การวาดเส้นโค้งที่กำหนดไว้ในพิกัดเชิงขั้วอย่างใดอย่างหนึ่ง โดยมีสมการ r = f (ค่าθ) หรือ parametriza -ทางการค้า (r(t),θ(t)) และมีประสิทธิภาพที่ดีสำหรับการโค้ง แต่อาจไม่เพียงพอสำหรับการแสดงการทำงานมากขึ้นเส้นโค้งที่ซับซ้อน ตัวอย่างเช่น หนึ่งอาจพิจารณา parametrizations ต่อไปนี้ในพิกัดเชิงขั้ว: (1) r = t2, t2−11t + 30ค่าθ = t2 + 78 (2) r = t ค่าθ = t2 + 14 (3) r = t ค่าθ = t3 + 1 ถ้า usespolarplotto หนึ่งเห็นภาพโค้งเหล่านี้ คนหนึ่งได้ t2 + 1 t2 + 1 t2−3t + 2แสดงผลในรูปที่ 1: ที่นี่เส้นโค้ง (1), (2), (3) แสดงจากซ้ายไปขวา ใน (1) และ (2) เราถามเมเปิ้ลการพล็อตเส้นโค้งสำหรับ t ∈ (−∞ ∞), และใน กรณี ที่ (3) เราเลือก t ∈ (−2.01, 2.01) (เนื่องจากมีค่าθ r ทั้งสองไม่ใช่ล้อมรอบสำหรับ−→ t) อย่างไรก็ตาม ในกรณีสาม เป็นที่ชัดเจนว่า ผลลัพธ์จริง ๆ ช่วยให้เข้าใจพฤติกรรมของเส้นโค้งโดยใช้ความคิด หนึ่งจะได้รับอัลกอริทึมที่ให้ โค้งกำหนดชนิดพิจารณา ข้อมูล และหลาย plottings ที่สอดคล้องกับส่วนน่าสนใจของมัน เรามีใช้อัลกอริทึมนี้ในเมเปิ้ล 15 อัลกอริทึมของเราวิเคราะห์เส้นโค้ง ตรวจพบมัน และใช้ polarplot คำสั่งสำหรับการพล็อตเส้นโค้งช่วงหลาย (สร้าง โดยอัลกอริทึมของเรา), แต่ละคนที่แสดงคุณสมบัติบางอย่างของโค้ง พร้อมข้อมูล plottings เหล่านี้ช่วยชี้แจงการทำงานของเส้นโค้ง ผลของอัลกอริทึมของเราเส้นโค้งในรูปที่ 1 สามารถตรวจสอบในส่วนที่ 3กระดาษที่มีโครงสร้างเป็นดังนี้: ในส่วนที่ 2 อ่านจะพบผลลัพธ์ทฤษฎีรูปร่างของเส้นโค้งเหล่านี้ ในส่วนที่ 3 เราให้รายละเอียดบางอย่างเกี่ยวกับอัลกอริทึม พร้อมตัวอย่างผล ในที่สุด ในส่วนที่ 4 เราปัจจุบันข้อสรุปบางอย่าง และแนะนำบรรทัดในอนาคตของงานวิจัยเราอยากจะขอบคุณผู้ตัดสินแบบไม่ระบุชื่อสำหรับสวมข้อคิดเห็นและข้อเสนอแนะ ซึ่งช่วยในการปรับปรุงกระดาษ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

polarplot ใช้ได้ (เรายังมีความพยายามที่แพคเกจอื่น ๆ เช่น Maxima, SAGE และ Mathematica อย่างไรก็ตามทั้งไม่มี
การเรียนการสอนที่คล้ายกันคือมีหรือคำสั่งที่เกี่ยวข้องประพฤติในทางที่คล้ายกันมากกับ polarplot) นี้
การเรียนการสอนจะช่วยให้การวาดเส้นโค้งที่กำหนดไว้ในพิกัดเชิงขั้วทั้งโดยวิธีการของสมการ r = f (θ) หรือโดย parametriza-
การ (R (t) θ (T)) และมีประสิทธิภาพการทำงานที่ดีสำหรับเส้นโค้งเรียบง่าย แต่ อาจจะไม่เพียงพอสำหรับการแสดงพฤติกรรมของมากขึ้น
โค้งที่มีความซับซ้อน เป็นตัวอย่างหนึ่งอาจพิจารณา parametrizations ต่อไปนี้ในพิกัดเชิงขั้ว (1) r = T2, t2-11t + 30
θ = T2 + 78; (2) r = T, θ = T2 + 14; (3) r = T, θ = T3 + 1 หากหนึ่งใน usespolarplotto เห็นภาพเส้นโค้งเหล่านี้คนหนึ่งได้ T2 + 1 + 1 T2 t2-3t + 2
เอาท์พุทในรูป 1: ที่นี่เส้นโค้ง (1), (2), (3) มีการแสดงจากซ้ายไปขวา; (1) และ (2) เราได้ถามเมเปิลพล็อตเส้นโค้งสำหรับ t ∈ (-∞, ∞) และในกรณีของ (3) เราได้เลือก T ∈นี้ (-2.01, 2.01) (เพราะ R, θ มีทั้งที่ไม่ใช่กระโดดสำหรับ t →±∞) อย่างไรก็ตามในกรณีที่สามก็เป็นที่ชัดเจนว่าการส่งออกไม่ได้จริงๆช่วยให้เข้าใจการทำงานของเส้นโค้ง.
โดยการใช้ความคิดของเราหนึ่งจะได้รับอัลกอริทึมที่ให้บริการสำหรับเส้นโค้งที่กำหนดชนิดพิจารณาข้อมูลและหลาย plottings สอดคล้องกับส่วนที่น่าสนใจมากขึ้นของมัน เราได้ดำเนินการขั้นตอนวิธีนี้ในขั้นตอนวิธีการเมเปิลที่ 15 ของเราจะวิเคราะห์โค้งตรวจพบคุณสมบัติหลักและใช้ polarplot คำสั่งสำหรับพล็อตเส้นโค้งในช่วงหลายช่วงเวลา (ที่สร้างขึ้นโดยอัลกอริทึมของเรา) แต่ละคนแสดงคุณสมบัติบางอย่างของเส้นโค้ง; พร้อมกับข้อมูลที่ให้ plottings เหล่านี้จะช่วยในการชี้แจงการทำงานของเส้นโค้ง เอาท์พุทของอัลกอริทึมของเราสำหรับเส้นโค้งในรูป 1 สามารถตรวจสอบได้ในมาตรา 3
กระดาษมีโครงสร้างดังนี้ส่วนที่ 2 ผู้อ่านจะได้พบกับผลทฤษฎีกับรูปร่างของเส้นโค้งเหล่านี้ ในข้อ 3 เราให้รายละเอียดเกี่ยวกับขั้นตอนวิธีการร่วมกับหลายตัวอย่างของเอาท์พุท สุดท้ายในส่วนที่ 4 เราจะนำเสนอข้อสรุปบางอย่างและแนะนำสายในอนาคตของการวิจัย.
เราอยากจะขอบคุณผู้ตัดสินที่ไม่ระบุชื่อสำหรับความคิดเห็นของพวกเขาคิดและข้อเสนอแนะซึ่งช่วยในการปรับปรุงกระดาษ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

polarplot ใช้ได้ ( เรายังพยายามแพคเกจอื่น ๆเช่น แม็กซิม่า เซจ และแบบ อย่างไรก็ตาม ทั้งไม่การสอนที่คล้ายคลึงกันเป็นใช้ได้ หรือคำสั่งที่ประพฤติในทางที่คล้ายกันมากกับ polarplot ) นี้การสอนให้วาดเส้นโค้งที่กำหนดไว้ในพิกัดทั้งโดยวิธีการสมการ R = F ( θ ) หรือโดย parametriza -tion ( R ( t ) , θ ( t ) ) และมีสมรรถนะดี โค้งง่าย แต่อาจจะไม่เพียงพอสำหรับการแสดงพฤติกรรมมากขึ้นซับซ้อนโค้ง ตัวอย่าง หนึ่งอาจพิจารณาต่อไป parametrizations ในพิกัด ( 1 ) r = − 2 T2 11t + 30θ = T2 + 78 ( 2 ) R = t , θ = T2 + 14 ( 3 ) R = T T3 θ = + 1 ถ้า usespolarplotto เห็นเส้นโค้งเหล่านี้ หนึ่งได้รับ T2 T2 T2 + 1 + 1 − 2 + หมอลำผลในรูปที่ 1 : ที่นี่โค้ง ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) จะปรากฏขึ้นจากด้านซ้ายไปขวา ใน ( 1 ) และ ( 2 ) เราถามเมเปิ้ลพล็อตเส้นโค้งสำหรับ t ∈ ( −∞∞ , ) , และในกรณีของ ( 3 ) เราได้เลือก∈ T ( − 2.01 , 2.01 ) ( เพราะ R , θทั้งคู่ไม่จำกัดสำหรับ T → keyboard - key - name ±∞ ) อย่างไรก็ตาม ในคดีนี้เป็นที่ชัดเจนว่าผลผลิตไม่ได้จริงๆช่วยให้เข้าใจพฤติกรรมของเส้นโค้งโดยการใช้ความคิดของเรา , หนึ่งจะได้รับวิธีการที่ให้บริการเพื่อให้เส้นโค้งของการพิจารณาประเภทข้อมูลและหลาย plottings สอดคล้องกับส่วนที่น่าสนใจมากขึ้น เราได้ใช้วิธีนี้ในเมเปิล . ขั้นตอนวิธีของเราวิเคราะห์เส้นโค้ง , ตรวจสอบคุณสมบัติหลักของมัน และใช้คำสั่ง polarplot สำหรับพล็อตเส้นโค้งมากกว่าช่วงเวลาหลาย ( ที่สร้างขึ้นโดยขั้นตอนวิธีของเรา ) แต่ละคนแสดงคุณลักษณะบางอย่างของโค้ง พร้อมกับให้ข้อมูล plottings เหล่านี้ช่วยในการอธิบายพฤติกรรมของเส้นโค้ง ผลของขั้นตอนวิธีของเราสำหรับเส้นโค้งในรูปที่ 1 สามารถตรวจสอบในมาตรา 3กระดาษมีโครงสร้าง ดังนี้ ในส่วนที่ 2 , ผู้อ่านจะพบผลทางทฤษฎีในรูปร่างของเส้นโค้งเหล่านี้ ในส่วนที่ 3 เราให้รายละเอียดบางอย่างเกี่ยวกับขั้นตอนวิธีการร่วมกับหลายตัวอย่างของผลผลิต ในที่สุด ในมาตรา 4 ที่เรานำเสนอข้อสรุปบางอย่าง และแนะนำสายในอนาคตของการวิจัยเราอยากจะขอบคุณผู้ตัดสินที่ไม่ระบุชื่อสำหรับความคิดเห็นที่รอบคอบและข้อเสนอแนะของพวกเขาซึ่งจะทำให้กระดาษ