after one bounce, the velocity vect

after one bounce, the velocity vector follows from Eq. (12) For the second bounce, the velocity vector becomes ____ and for the ___th bounce of the superball,_____, where M" is given by

where B-B. For the completely elastic and rough super- ball, B 1, the multiple collision matrix reduces to (n 0,2,4 (14) (n 1,3,5), which means that after two bounces, the ball returns to its initial state. Figure 2(a) illustrates this sequence for a ball with zero initial horizontal velocity and c<0, dropped from an arbitrary height. This result also is a consequence of the symmetry under time-reversal 14,15 and an explicit expression for M is not necessary in order to derive result. For 1 <B<1, because B'"-+0 as n-oo, the collision matrix becomes lim M (5) (a+ 1) When B 0, it is straightforward to show that v c, which means that the ball undergoes simple rolling at the point of contact after the first bounce. Thus for -1<B<1, Eq. (15) indicates that the ball undergoes a transition to simple rolling as n- oo. Figure 2(b) shows this transition for the initial conditions used in Fig 2(a). This transition captures an as- pect of superball motion that many find very useful; it is much easier to pick up a dropped ball if you wait until the erratic bouncing decays to simple rolling. Finally, consider the eigenvalues and eigenvectors of M The first eigenvalue for this matrix is A 1 and the core. responding eigenvector is v(I) (16) This result can be understood by noting that the velocity at the point of contact for this eigenvector is (vr+ c) (-c c) 0. The point of contact is stationary with respect to the surface, and therefore there is no exchange of energy be- tween the translation motion parallel to the surface and the

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

หลังจากตีกลับหนึ่ง เวกเตอร์ความเร็วตามจาก Eq. (12) สำหรับตีกลับสอง เวกเตอร์ความเร็วกลายเป็น ___ และตีกลับ ___th ของ superball, ___, ที่ M "ถูกกำหนดโดย บีบี ขรุขระ และยืดหยุ่นอย่างสมบูรณ์ซูเปอร์บอล บี 1 เมตริกซ์ชนหลายลด (n 0,2,4 (14) (n 1,3,5), ซึ่งหมายความ ว่า โกรธแค้นที่สอง ลูกกลับหลังจากสถานะเริ่มต้น 2(a) รูปแสดงลำดับนี้สำหรับลูกที่มีความเร็วแนวนอนเริ่มต้นเป็นศูนย์และ c < 0 ลดลงจากความสูงกำหนดไว้ ผลลัพธ์นี้ยังเป็นผลสืบเนื่องของสมมาตรภายใต้เวลากลับ 14,15 และนิพจน์ที่ชัดเจนสำหรับ M ไม่จำเป็นเพื่อที่จะได้รับผล สำหรับ 1 < B < 1 เนื่องจากของบี "- + 0 เป็น n-ดา เมตริกซ์ชนกลายเป็น ริม M (5) (+ 1) เมื่อ B 0 ก็ตรงแสดงว่า c v ซึ่งหมายความ ว่า ลูกผ่านง่ายกลิ้งในหน้าร้านติดต่อหลังจากเด้งแรก ดังนั้นสำหรับ -1 < B < 1, Eq. (15) ระบุว่า ลูกผ่านช่วงการเปลี่ยนภาพไปกลิ้งง่ายเป็น n-ดา 2(b) รูปแสดงช่วงการเปลี่ยนภาพนี้สำหรับเงื่อนไขเบื้องต้นที่ใช้ใน 2(a) ฟิก ช่วงนี้จับตัวเป็น-pect ของการเคลื่อนไหว superball ที่มากประโยชน์มาก เป็นการง่ายมากที่จะหยิบลูกบอลกระตุกถ้าคุณรอจนกว่า decays ใหญ่ความการกลิ้งง่าย ในที่สุด พิจารณาเวกเตอร์และลักษณะเฉพาะของ eigenvalue แรกสำหรับเมทริกซ์นี้คือ A 1 และหลัก M ตอบสนอง eigenvector เป็น v(I) (16) ผลนี้สามารถเข้าใจผลที่ ความเร็วในการติดต่อสำหรับ eigenvector นี้หน้าร้าน (vr + c) (-c c) 0 จุดติดต่อเป็นประจำเกี่ยวกับพื้นผิว และดังนั้นจึง มีไม่แลกเปลี่ยนพลังงานเป็น-tween เคลื่อนไหวแปลขนานกับพื้นผิวและ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

หลังจากเด้งเวกเตอร์ความเร็วดังต่อไปนี้จากสมการ (12) สำหรับการตีกลับที่สองเวกเตอร์ความเร็วจะกลายเป็น ____ และตีกลับ ___th ของ Superball ที่ _____ ที่เอ็ม "จะได้รับโดยที่บีบี. สำหรับลูกซุปเปอร์ยืดหยุ่นอย่างสมบูรณ์และหยาบบี 1, เมทริกซ์การปะทะกันหลาย ลด (n 0,2,4 (14) (n 1,3,5) ซึ่งหมายความว่าหลังจากที่สองตีลูกกลับไปที่สถานะเริ่มต้น. รูปที่ 2 (ก) แสดงให้เห็นถึงลำดับนี้สำหรับลูกกับศูนย์เริ่มต้น ความเร็วในแนวนอนและค <0, ลดลงจากความสูงโดยพล. ผลที่ได้นี้ยังเป็นผลมาจากความสมมาตรภายใต้เวลาการกลับ 14,15 และการแสดงออกอย่างชัดเจนเอ็มไม่ได้เป็นสิ่งที่จำเป็นเพื่อให้ได้มาซึ่งผล. สำหรับ 1 <B <1 เพราะ B '"- 0 เป็น n-OO, เมทริกซ์การปะทะกันจะกลายเป็นลิ้ม M (5) (A + 1) เมื่อ B 0 มันเป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่า VC ซึ่งหมายความว่าลูกผ่านการรีดเรียบง่ายที่จุดของ ติดต่อหลังจากที่เด้งแรก. ดังนั้นสำหรับ -1 <B <1 สม. (15) แสดงให้เห็นว่าลูกได้รับการเปลี่ยนแปลงที่จะกลิ้งง่ายๆเป็น n- อู. รูปที่ 2 (ข) แสดงให้เห็นถึงการเปลี่ยนแปลงนี้สำหรับเงื่อนไขเริ่มต้นใช้ในรูป 2 (ก) การเปลี่ยนแปลงนี้จับ pect จำาของการเคลื่อนไหว Superball ที่หลายคนพบว่ามีประโยชน์มาก มันง่ายมากที่จะรับลูกลดลงถ้าคุณรอจนกว่าจะมีการสลายตัวใหญ่ผิดปกติไปกลิ้งง่าย สุดท้ายพิจารณาค่าลักษณะเฉพาะและ eigenvectors ของ M eigenvalue ครั้งแรกสำหรับเมทริกซ์นี้เป็นที่ 1 และหลัก การตอบสนองเป็นวิคเตอร์โวลต์ (I) (16) ผลที่ได้นี้สามารถเข้าใจได้โดยสังเกตว่าความเร็วที่จุดของการติดต่อสำหรับวิคเตอร์นี้คือ (VR + c) (-cc) 0. จุดของการติดต่อเป็นเครื่องเขียนที่เกี่ยวกับพื้นผิว และดังนั้นจึงมีการแลกเปลี่ยนพลังงานไม่ต้องจึงทวีขนานเคลื่อนไหวแปลไปยังพื้นผิวและ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

หลังจากหนึ่งเด้ง เวกเตอร์ความเร็วว่าอีคิว ( 12 ) เด้งที่สอง เวกเตอร์ความเร็วจะกลายเป็น ____ และสำหรับ ___th ตีกลับของ superball _____ , ที่ได้รับ , M "

ที่ b-b. สำหรับสมบูรณ์ยืดหยุ่นและขรุขระ ซูเปอร์บอล บี 1 ชนกันหลายลด ( เมทริกซ์ 0,2,4 ( 14 ) N ( N 1,3,5 ) ซึ่งหมายความว่าหลังจากสองเด้ง บอลกลับไปที่สถานะเริ่มต้นของมันรูปที่ 2 ( ก ) แสดงลําดับสําหรับลูกกับศูนย์ความเร็วแนวนอนเริ่มต้นและ C & lt ; 0 , ลดลงจากความสูงโดยพลการ ผลนี้เป็นผลพวงของความสมมาตรภายใต้ 14,15 ผกผันและการแสดงออกที่ชัดเจนสำหรับ M ไม่จําเป็นเพื่อที่จะได้รับผล 1 & B & lt ; lt ; 1 เพราะ B ' " - 0 เป็น n-oo , ชนเมทริกซ์จะลิม M ( 5 ) ( 1 ) เมื่อ B 0มันเป็นตรงไปตรงมาเพื่อแสดงให้เห็นว่า วีซี ซึ่งหมายความ ว่า ลูกบอลจะกลิ้งง่ายที่จุดของการติดต่อหลังจากเด้งก่อน ดังนั้นสำหรับ - 1 & B & lt ; lt ; 1 , อีคิว ( 15 ) บ่งชี้ว่า บอลผ่านการรีดง่าย - ใช่ . รูปที่ 2 ( ข ) แสดงให้เห็นถึงการเปลี่ยนแปลงในเงื่อนไขเริ่มต้นที่ใช้ในรูปที่ 2 ( ก )การเปลี่ยนแปลงนี้จับ - pect ของ superball เคลื่อนไหวหลายพบว่ามีประโยชน์มาก มันง่ายมากในการรับส่งบอล ถ้าคุณรอจนกว่ารื่นแสงสลายตัวไปกลิ้งง่าย สุดท้ายพิจารณาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของ m แรกค่าสำหรับเมตริกซ์นี้ 1 หลักการตอบสนองเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะคือ V ( I ) ( 16 ) ผลนี้สามารถเข้าใจได้โดยสังเกตว่า ความเร็วที่จุดของการติดต่อสำหรับเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะนี้ ( VR C ( c - c ) 0 จุดของการติดต่อนิ่งด้วยความเคารพต่อผิวและดังนั้นจึงไม่มีการแลกเปลี่ยนพลังงาน - Tween เคลื่อนไหวแปลขนานกับพื้นและ