Reflections and Extensions (20 Minu

Reflections and Extensions (20 Minutes)
Return to some of the students’ original questions. There are a variety of ways to conclude the investigation at the end of Day 2, using the charts created, while leaving some questions open for future study later in the year or at later grade levels. There are also multiple avenues for exploration during Day 2 and/or at later dates.

• Questions such as “How often will I get heads or tails?” can be answered using the
experimental data and the theoretical probability models. An individual may flip heads
more often than tails, but a large sample will produce approximately equal percentages of heads and tails.

• Students may notice that the number of total possible outcomes when flipping a coin N times doubles as the number of flips grows by 1. Drawing a tree diagram may explain why this is the case.

• Ask students to respond to the prompt, “Where will I arrive after a certain number of
flips?” in their own words. Examine students’ different responses to the question as
they record them and ask students to share their statements with others. The
statement, “There is a 3/8 chance I will arrive back at zero after 4 flips,” for example,
may be surprising to some students.

• What is the average distance a person will be from zero after 4 flips? Introduce students to the idea of expected value.

• Students may be curious about the probability of everyone in the class flipping heads at the same time and moving in the same direction. What are the chances of that event?

• Return to students’ experience with the 6-Flip Trip. Do you think the chance that a
person will return to zero is greater than or smaller than 3/8? List all the possible ways to arrive at zero after 6 flips and determine the probability. Students may be interested in exploring how to find the total number of unique sequences of M heads within N coin flips.

• By listing the number of ways to arrive at each location in Flip Trips of different length, students may notice that the number of ways to arrive at a location in an N-Flip Trip is the sum of the ways of arriving at the two adjacent locations in an (N-1)-Flip Trip. Why is this so? (For example, there are 6 ways to arrive at 0 in a 4-Flip Trip, and 4 ways of arriving at 2. There will be 10 ways of arriving at 1 in a 5-Trip Flip. Why?) Students can begin to investigate some of the properties of Pascal’s Triangle.

• What if we used dice and made a walk with a 2/3 probability of moving forward and 1/3 probability of moving back? How would the probabilities of arriving at the different final positions change?

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

Reflections and Extensions (20 Minutes)Return to some of the students’ original questions. There are a variety of ways to conclude the investigation at the end of Day 2, using the charts created, while leaving some questions open for future study later in the year or at later grade levels. There are also multiple avenues for exploration during Day 2 and/or at later dates.• Questions such as “How often will I get heads or tails?” can be answered using theexperimental data and the theoretical probability models. An individual may flip headsmore often than tails, but a large sample will produce approximately equal percentages of heads and tails.• Students may notice that the number of total possible outcomes when flipping a coin N times doubles as the number of flips grows by 1. Drawing a tree diagram may explain why this is the case.• Ask students to respond to the prompt, “Where will I arrive after a certain number offlips?” in their own words. Examine students’ different responses to the question asthey record them and ask students to share their statements with others. Thestatement, “There is a 3/8 chance I will arrive back at zero after 4 flips,” for example,may be surprising to some students.• What is the average distance a person will be from zero after 4 flips? Introduce students to the idea of expected value.• Students may be curious about the probability of everyone in the class flipping heads at the same time and moving in the same direction. What are the chances of that event?•กลับไปยังประสบการณ์ของนักเรียนด้วยการเดิน 6 พลิก คุณคิดว่า โอกาสที่การคนจะกลับเป็นศูนย์มีค่ามากกว่า หรือน้อยกว่า 3/8 รายการวิธีการเป็นไปได้ทั้งหมดถึงศูนย์หลัง 6 flips และกำหนดความเป็นไปได้ นักเรียนอาจจะสนใจในการสำรวจวิธีการหาจำนวนเฉพาะลำดับของหัว M ภายใน N เหรียญพลิก•ตามรายทางถึงที่ตั้งในทริพลิกความยาวแตกต่างกัน นักเรียนอาจสังเกตเห็นว่า จำนวนวิธีที่จะมาถึงสถานที่ในการเดินพลิก N ผลรวมของวิธีการสองตำแหน่งที่อยู่ติดกันใน (N-1) -พลิกเดินได้ เหตุนี้เป็นเพื่อ (ตัวอย่าง มี 6 วิธีสู่ 0 4 พลิกเดิน และ 4 วิธี 2 จะมี 10 วิธี 1 ในพลิก 5-เที่ยว ทำไม) นักเรียนสามารถเริ่มต้นการตรวจสอบบางส่วนของคุณสมบัติของสามเหลี่ยมปาสกาล•ถ้าเราใช้อาวุธ และเดินไป ด้วยความน่าเป็น 2/3 ของการย้ายไปข้างหน้า และ 1/3 น่าย้อนกลับไปทำ ว่าจะการเปลี่ยนแปลงกิจกรรมของตำแหน่งสุดท้ายที่แตกต่างกัน

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

สะท้อนและส่วนขยาย (20 นาที)
กลับไปยังบางส่วนของคำถามเดิมของนักเรียน มีความหลากหลายของวิธีการตรวจสอบที่จะสรุปในตอนท้ายของวันที่ 2 ที่ใช้ชาร์ตที่สร้างขึ้นในขณะที่ออกคำถามที่เปิดให้บริการสำหรับการศึกษาในอนาคตต่อไปในปีหรือระดับชั้นต่อมา นอกจากนี้ยังมีหลายช่องทางสำหรับการสำรวจในระหว่างวันที่ 2 และ / หรือในวันต่อมา. •คำถามเช่น "บ่อยแค่ไหนที่ฉันจะได้รับหัวหรือหาง?" สามารถตอบได้โดยใช้ข้อมูลจากการทดลองและความน่าจะเป็นแบบจำลองทางทฤษฎี บุคคลอาจพลิกหัวบ่อยกว่าหาง แต่ตัวอย่างที่มีขนาดใหญ่จะผลิตร้อยละเท่ากันโดยประมาณของหัวและหาง. •นักศึกษาอาจสังเกตเห็นว่าจำนวนของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้รวมเมื่อพลิกเหรียญ N ครั้งที่คู่เป็นจำนวนพลิกเติบโต 1 . วาดแผนภาพต้นไม้อาจอธิบายว่าทำไมเป็นกรณีนี้. •ให้นักเรียนตอบสนองต่อพรอมต์ "ฉันจะมาถึงหลังจากที่จำนวนหนึ่งของการพลิก?" ในคำพูดของตัวเอง ตรวจสอบการตอบสนองที่แตกต่างกันของนักเรียนที่จะเป็นคำถามที่พวกเขาบันทึกพวกเขาและขอให้นักเรียนที่จะแบ่งปันงบของพวกเขากับคนอื่น ๆ คำสั่ง "มีโอกาสที่ 3/8 ผมจะกลับมาถึงที่ศูนย์หลังจาก 4 พลิก" ตัวอย่างเช่นอาจจะน่าแปลกใจที่นักเรียนบางคน. •อะไรคือสิ่งที่ระยะทางเฉลี่ยคนที่จะได้รับจากศูนย์หลังจาก 4 พลิก? แนะนำให้นักเรียนคิดของมูลค่าที่คาดว่าจะ. •นักเรียนอาจจะอยากรู้เกี่ยวกับความน่าจะเป็นของทุกคนในระดับหัวพลิกในเวลาเดียวกันและไปในทิศทางเดียวกัน สิ่งที่โอกาสของเหตุการณ์ที่มีอะไรบ้าง•กลับไปที่ประสบการณ์ของนักศึกษาที่มีการเดินทาง 6 พลิก คุณคิดว่าโอกาสที่จะเป็นคนที่จะกลับไปเป็นศูนย์มากกว่าหรือน้อยกว่า 3/8? รายการทุกวิธีที่เป็นไปได้ที่จะมาถึงที่ศูนย์หลัง 6 พลิกและกำหนดความน่าจะเป็น นักเรียนอาจจะสนใจในการสำรวจวิธีการหาจำนวนของลำดับไม่ซ้ำกันของหัว M ภายในเหรียญไม่มีพลิก. •โดยรายชื่อหลายวิธีที่จะมาถึงในแต่ละสถานที่ในทริปพลิกความยาวที่แตกต่างกันนักเรียนอาจสังเกตเห็นว่าหลายวิธี ที่จะมาถึงสถานที่ในการเดินทาง N-พลิกเป็นผลรวมของวิธีการของมาถึงที่อยู่ติดกันสองสถานที่ใน (N-1) -Flip การเดินทาง นี่คือเหตุผลที่เพื่อ? (ยกตัวอย่างเช่นมี 6 วิธีที่จะมาถึงที่ 0 ในการเดินทาง 4 พลิกและ 4 วิธีในการเดินทางมาถึงที่ 2. จะมี 10 วิธีในการเดินทางมาถึงวันที่ 1 ใน 5 พลิกเดินทาง. ทำไม?) นักเรียนสามารถเริ่มต้น ตรวจสอบบางส่วนของคุณสมบัติของสามเหลี่ยมปาสคาล. •เกิดอะไรขึ้นถ้าเราใช้ลูกเต๋าและทำให้เวลาเดินกับ 2/3 น่าจะเป็นของก้าวไปข้างหน้าและ 1/3 น่าจะเป็นของการย้ายกลับมา? วิธีจะน่าจะเป็นของที่เดินทางมาถึงตำแหน่งสุดท้ายที่แตกต่างกันเปลี่ยน?

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

สะท้อนและนามสกุล ( 20 นาที )
กลับบางคําถามเดิมของนักเรียน มีหลากหลายวิธีที่จะสรุปการสอบสวนในตอนท้ายของวัน 2 โดยใช้แผนภูมิที่สร้างขึ้นในขณะที่ออกจากคำถามเปิดเรียนในอนาคตในช่วงปลายปี หรือ ในระดับเกรดทีหลัง นอกจากนี้ยังมีหลาย avenues สำหรับการสำรวจในระหว่างวันที่ 2 และ / หรือ วันต่อมา

- คำถามเช่น " บ่อยครั้งที่ผมจะหัวหรือก้อย " สามารถตอบได้โดยใช้ข้อมูลการทดลองและแบบจำลอง
ความน่าจะเป็นทางทฤษฎี บุคคลอาจพลิกหัว
บ่อยกว่าหาง แต่ตัวอย่างที่มีขนาดใหญ่จะผลิตเฉพาะของหัวและหางประมาณเท่ากับ .

นักเรียน - อาจจะสังเกตได้ว่าจำนวนของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเมื่อพลิกเหรียญ n ครั้งคู่เป็นจํานวนการเติบโตโดย 1 การวาดแผนภาพต้นไม้อาจอธิบายว่าทำไมเป็นกรณีนี้

- ขอให้นักเรียนตอบสนองพร้อมท์ " ซึ่งจะมาถึงหลังจากที่จำนวนหนึ่งของ
พลิก ? " ในคำพูดของตนเอง ตรวจสอบการตอบสนองที่แตกต่างกันของนักเรียนเพื่อคำถามเป็น
พวกเขาบันทึกพวกเขาและถามนักเรียนที่จะแบ่งปันข้อความของพวกเขากับคนอื่น ๆ
ข้อความ " มี 3 / 8 โอกาสผมก็มาถึงที่ศูนย์หลัง 4 รอบ ตัวอย่างเช่น อาจจะแปลกใจกับนักเรียนบ้าง
.

- อะไรคือเฉลี่ยระยะทางบุคคลจะจากศูนย์หลัง 4 พลิก ? แนะนำนักเรียนให้คิด

คาดว่ามูลค่านักเรียน - อาจจะอยากรู้อยากเห็นเกี่ยวกับความน่าจะเป็นของทุกคนในชั้นเรียนพลิกหัวในเวลาเดียวกัน และเคลื่อนที่ไปในทิศทางเดียวกัน อะไรคือโอกาสของเหตุการณ์ที่

- กลับของนักเรียนด้วย 6-flip ประสบการณ์การเดินทาง คุณคิดว่า โอกาสที่เค้าจะคืนศูนย์
มากกว่าหรือน้อยกว่า 3 / 8รายการทั้งหมดที่เป็นไปได้ของวิธีการที่จะมาถึงที่ศูนย์หลังจาก 6 รอบและกำหนดความน่าจะเป็น นักเรียนอาจจะสนใจในการสำรวจวิธีการหาจำนวนของลำดับเฉพาะของ M หัวภายใน N เหรียญพลิก

- โดยแสดงหมายเลขของวิธีการที่จะมาถึงในแต่ละตำแหน่งในพลิกเดินทางต่างความยาว