Main article: Mathematical inductio

Main article: Mathematical induction
Mathematical induction is not a form of inductive reasoning. In proof by mathematical induction, a single "base case" is proved, and an "induction rule" is proved, which establishes that a certain case implies the next case. Applying the induction rule repeatedly, starting from the independently proved base case, proves many, often infinitely many, other cases.[12] Since the base case is true, the infinity of other cases must also be true, even if all of them cannot be proved directly because of their infinite number. A subset of induction is infinite descent. Infinite descent can be used to prove the irrationality of the square root of two.
A common application of proof by mathematical induction is to prove that a property known to hold for one number holds for all natural numbers:[13] Let N = {1,2,3,4,...} be the set of natural numbers, and P(n) be a mathematical statement involving the natural number n belonging to N such that

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

บทความหลัก: อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ไม่ได้เป็นรูปแบบของการใช้เหตุผลอุปนัย ในการพิสูจน์โดยอุปนัยทางคณิตศาสตร์คนเดียว "กรณีฐาน" จะได้รับการพิสูจน์และกฎ "ปฐมนิเทศ" จะได้รับการพิสูจน์ซึ่งกำหนดว่าบางกรณีหมายถึงกรณีต่อไป การใช้กฎการเหนี่ยวนำซ้ำเริ่มต้นจากกรณีฐานได้รับการพิสูจน์อย่างเป็นอิสระพิสูจน์ให้เห็นหลายมักหลายเพียบกรณีอื่น ๆ . [12] ตั้งแต่กรณีฐานเป็นจริงไม่มีที่สิ้นสุดจากกรณีอื่น ๆ นอกจากนี้ยังต้องเป็นจริงแม้ว่าทั้งหมดของพวกเขาไม่สามารถพิสูจน์ได้โดยตรงเนื่องจากจำนวนที่ไม่มีที่สิ้นสุดของพวกเขา ส่วนย่อยของการเหนี่ยวนำเป็นเชื้อสายอนันต์ โคตรอนันต์สามารถนำมาใช้เพื่อพิสูจน์ความไม่ลงตัวของรากที่สองของทั้งสอง.
การประยุกต์ใช้ร่วมกันของการพิสูจน์โดยอุปนัยทางคณิตศาสตร์เพื่อพิสูจน์ว่าทรัพย์สินที่รู้จักกันที่จะถือสำหรับหมายเลขหนึ่งถือสำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมด: [13] ให้ n = {1,2,3,4, ... } เป็นชุดของธรรมชาติ ตัวเลขและ p (n) เป็นคำสั่งทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับจำนวนธรรมชาติที่อยู่ใน n ดังกล่าวว่า

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

บทความหลัก: เหนี่ยวนำคณิตศาสตร์
เหนี่ยวนำคณิตศาสตร์ไม่ใช่รูปแบบของการใช้เหตุผลเชิงอุปนัย ในหลักฐานโดยเหนี่ยวนำคณิตศาสตร์ พิสูจน์เดียว "กรณีพื้นฐาน" และเป็น "เหนี่ยวนำกฎ" เป็นเครื่อง พิสูจน์ การสร้างว่า บางกรณีหมายถึงกรณีต่อไป ใช้กฎการเหนี่ยวนำซ้ำ ๆ เริ่มต้นจากกรณีพื้นฐานอิสระ proved พิสูจน์จำนวนมาก มักหลายเพียบ กรณีอื่น ๆ[12] เนื่องจากกรณีพื้นฐานเป็นจริง อินฟินิตี้ของกรณีอื่น ๆ ต้องเกิดขึ้น แม้ว่าพวกเขาทั้งหมดไม่สามารถพิสูจน์ได้โดยตรงเนื่องจาก มีการจำกัดจำนวนการ ชุดย่อยของการเหนี่ยวนำเป็นอนันต์โคตร อนันต์โคตรสามารถใช้พิสูจน์ irrationality ของรากที่สองได้
แอพลิเคชันทั่วไปพิสูจน์โดยการเหนี่ยวนำของคณิตศาสตร์คือการ พิสูจน์ว่า เก็บอย่างที่จะเก็บสำหรับหนึ่งหมายเลขสำหรับหมายเลขของธรรมชาติทั้งหมด: [13] ให้ N = {1,2,3,4,...} สามารถตั้งค่าหมายเลขธรรมชาติ และ P(n) เป็นคำสั่งทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับจำนวนธรรมชาติ n ของ N ที่

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ข้อสำคัญ:เตาแม่เหล็กไฟฟ้าทางคณิตศาสตร์เตาแม่เหล็กไฟฟ้า
ซึ่งจะช่วยทางคณิตศาสตร์ไม่ใช่รูปแบบของการใช้เหตุผลเหนี่ยวนำสนามแม่เหล็กไฟฟ้า. ในการตรวจสอบความถูกต้องโดยเตาแม่เหล็กไฟฟ้าทางคณิตศาสตร์เดียว"กรณีฐานที่"พิสูจน์ได้และ"กฎข้อที่เตาแม่เหล็กไฟฟ้าที่"พิสูจน์ได้ซึ่งพิสูจน์ได้ว่ากรณีบางอย่างที่หมายถึงกรณีถัดไปที่ การใช้กฎเตาแม่เหล็กไฟฟ้าซ้ำหลายครั้งโดยเริ่มจากกรณีฐานได้อย่างเป็นอิสระพิสูจน์ได้พิสูจน์ได้หลายคนมักจะไม่สิ้นสุดจำนวนมากกรณีอื่น.[ 12 ]นับตั้งแต่กรณีฐานที่คัดสรรมาเป็นความจริงคดีอื่นจะต้องเป็นความจริงได้หากพวกเขาทั้งหมดไม่สามารถพิสูจน์ได้โดยตรงเพราะของหมายเลขแบบไม่มีขอบเขตของพวกเขา ย่อยของเตาแม่เหล็กไฟฟ้าจะตกไปอยู่แบบไม่มีขอบเขต ตกแบบไม่มีขอบเขตสามารถใช้ในการพิสูจน์ว่าปกป้องความของรากที่สอง.
แอปพลิเคชันที่ใช้ในการพิสูจน์โดยทางคณิตศาสตร์เตาแม่เหล็กไฟฟ้าจะพิสูจน์ได้ว่าเป็นที่พักที่มีชื่อเสียงในการค้างไว้หนึ่งหมายเลขสำหรับผู้ถือหุ้นทั้งหมดเป็นธรรมชาติตัวเลข:[ 13 ]ปล่อยให้ N = {1,2,3,4, ...}เป็นที่ตั้งของธรรมชาติตัวเลข,และ P ( N )เป็นทางคณิตศาสตร์แถลงการณ์เกี่ยวกับธรรมชาติจำนวน n เป็นของ n ที่