Exercise. If B is a normal matrix a

Exercise. If B is a normal matrix and B = U*^u with U unitary and ……. ,show that

Exercise.show that …… for all x …. and use the previous exercise to show that || is the matrix norm induced by the Euclidean vector norm || . Conclude from this that the spectral norm is in fact a matrix norm.

Exercise.Show that ||=|| for any A … and any unitary matrices U,V . Thus, the spectral norm is a unitarily invariant matrix norm.

We next show that one matrix norm may be transformed into another by a fixed similarity.


Nonsingular, then

is a matrix norm.
proof : The axioms 1,1a,2 and 3 are verified in a straightforward manner for || . The submultiplicativity of || follows from the calculation.


Theorem 5.6.7 can be of great use in tailoring a matrix norm for a specific purpose. Some applications of this type are developed here and in the following section.

One important area of application of matrix norms is in giving bounds for the spectrum of a matrix.

The spectral radius ….A of a matrix A … is ……. Is an eigenvalue of A.

Observe that if … is any eigenvalue of A , then …… ; moreover, there is at least one eigenvalue … for which ….. p(A). If …… , and if…… , consider the matrix X .. all the columns of which are equal to the eigenvector x , and observe that AX=X . If || is any matrix norm,

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ออกกำลังกาย B เป็น เมทริกซ์แบบนอร์แมลและ B = U *
u กับ U unitary และ..., แสดง that

Exercise.show ว่า...สำหรับทั้งหมด x... และใช้แบบฝึกหัดก่อนหน้านี้ที่ || เป็นปกติเมตริกซ์ที่เกิด โดยปกติเวกเตอร์ Euclidean || . สรุปจากนี้ปกติสเปกตรัมว่าในความเป็นจริง norm. เมตริกซ์

Exercise.Show ที่ ||=|| สำหรับ A ใด ๆ... และใด ๆ unitary เมทริกซ์ U, V ดังนั้น ปกติสเปกตรัมเป็น norm. unitarily บล็อกเมตริกซ์

เราถัดไปแสดงที่ปกติหนึ่งเมทริกซ์อาจจะเปลี่ยนเป็นอีก โดยการคงคล้ายกัน


Nonsingular แล้ว

เป็น norm. เมตริกซ์
พิสูจน์: สัจพจน์ 1, 1a, 2 และ 3 ตรวจสอบอย่างตรงไปตรงมาสำหรับ || . Submultiplicativity ของ || ต่อจากคำนวณ


5.6 ทฤษฎีบท7 ได้ดีใช้ในการปรับปรุงปกติเมตริกซ์สำหรับวัตถุประสงค์เฉพาะ โปรแกรมประยุกต์บางโปรแกรมชนิดนี้ถูกพัฒนาขึ้นที่นี่ และ ในต่อไปนี้ส่วน

หนึ่งในพื้นที่สำคัญของโปรแกรมประยุกต์ของเมทริกซ์บรรทัดฐานเป็นให้ขอบเขตสำหรับสเปกตรัมของเมตริกซ์

รัศมีสเปกตรัม... .A ของเมทริกซ์ A...เป็น... เป็นการ eigenvalue ของ A.

สังเกตว่า ถ้า...เป็น eigenvalue ใด ๆ ของ A แล้ว...; นอกจากนี้ eigenvalue ที่น้อย...ที่อยู่ p(A) ถ้า..., และ..., พิจารณาเมทริกซ์ X ... คอลัมน์ซึ่งจะเท่ากับ eigenvector x และสังเกตว่า AX = X ถ้า || เป็นบรรทัดฐานใด ๆ เมตริกซ์,

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

การออกกำลังกาย ถ้า B เป็นเมทริกซ์ปกติและ B = U * ^ U กับ U รวมกันและ ...... แสดงให้เห็นว่าExercise.show ว่า ...... ทั้งหมด x ... และใช้การออกกำลังกายก่อนหน้านี้แสดงให้เห็นว่า || เป็นบรรทัดฐานเมทริกซ์ที่เกิดจากการดำเนินงานปกติเวกเตอร์แบบยุคลิด || สรุปจากที่ปกติสเปกตรัมในความเป็นจริงเมทริกซ์บรรทัดฐานExercise.Show ที่ || = || สำหรับใด ๆ ... และการฝึกอบรมรวมกันใด ๆ U, V ดังนั้นบรรทัดฐานสเปกตรัมเป็นบรรทัดฐานเมทริกซ์คง unitarily ต่อไปเราแสดงให้เห็นว่าการดำเนินงานปกติเมทริกซ์หนึ่งอาจจะกลายเป็นอื่นโดยความคล้ายคลึงกันคงเอกพจน์แล้วเป็นบรรทัดฐานเมทริกซ์หลักฐาน: 1,1a สัจพจน์, 2 และ 3 มีการตรวจสอบ ในลักษณะที่ตรงไปตรงมาสำหรับ || submultiplicativity ของ || ดังนี้จากการคำนวณทฤษฎีบท 5.6.7 สามารถในการใช้งานที่ดีในการตัดเย็บเป็นบรรทัดฐานเมทริกซ์เพื่อวัตถุประสงค์เฉพาะ บางโปรแกรมประเภทนี้ได้รับการพัฒนาที่นี่และในส่วนต่อไปพื้นที่หนึ่งที่สำคัญของการประยุกต์ใช้บรรทัดฐานเมทริกซ์เป็นในการให้ขอบเขตสำหรับสเปกตรัมของเมทริกซ์รัศมีผี ... ในขณะนี้ A ของเมทริกซ์ ... เป็น ...... เป็น eigenvalue ของ A. สังเกตว่าถ้า ... เป็น eigenvalue ของใด ๆ แล้ว ...... ; นอกจากนี้ยังมีอยู่อย่างน้อยหนึ่ง eigenvalue ... ที่ ... .. P (A) ถ้า ...... และถ้า ...... พิจารณาเมทริกซ์ X .. คอลัมน์ทั้งหมดซึ่งจะเท่ากับวิคเตอร์ x, ขวานและสังเกตว่า X = ถ้า || เป็นบรรทัดฐานเมทริกซ์ใด ๆ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

การออกกําลังกาย ถ้า B เป็นเมทริกซ์ปกติ B = u *
U U และรวม . . . . . . . แสดงว่า

. . . . . . X . . . . . . . exercise.show ที่ทั้งหมด และใช้ในการออกกำลังกายก่อนหน้านี้แสดงให้เห็นว่า | | คือค่าประจำเมทริกซ์ที่เกิดจากบรรทัดฐานที่ใช้เวกเตอร์ | | . สรุปจากที่ปกติสเปกตรัมในความเป็นจริงค่าประจำเมทริกซ์

exercise.show ที่ | | = | | สำหรับใด ๆ . . . . . . . และเมทริกซ์ยูนิแทรี U , V . ดังนั้นปกติสเปกตรัมเป็นบรรทัดฐานเมทริกซ์ unitarily ไม่เปลี่ยนแปลง

เราต่อไปแสดงให้เห็นว่าหนึ่งเมทริกซ์มาตรฐานอาจจะกลายเป็นอื่น โดยความคล้ายคลึงกันถาวร


nonsingular แล้ว

เป็น matrix norm
หลักฐาน : สัจพจน์ 1,1a , 2 และ 3 มีการตรวจสอบในลักษณะที่ตรงไปตรงมาสำหรับ | | . การ submultiplicativity ของ | | ดังนี้ จากการคำนวณ


ทฤษฎีบท 5.6 .7 . สามารถใช้ดีในการตัดเย็บค่าประจำเมทริกซ์สำหรับวัตถุประสงค์เฉพาะ บางโปรแกรมประเภทนี้ถูกพัฒนาขึ้นที่นี่ และ ในส่วนต่อไปนี้

สำคัญพื้นที่ของโปรแกรมเมทริกซ์เป็นบรรทัดฐานในการให้ขอบเขตสำหรับสเปกตรัมของเมทริกซ์ .

. . . . . . . เป็นรัศมีสเปกตรัมของเมทริกซ์ A . . . . . . . . . . . . . . เป็นค่าของ A .

สังเกตว่าถ้า . . . . . . . คือค่าของแล้ว . . . . . . . ; นอกจากมีอย่างน้อยหนึ่งค่า . . . . . . . ซึ่ง . . . . . P ( A ) ถ้า . . . . . . . . . . . . . และถ้าพิจารณาเมทริกซ์ X . . . . . . . คอลัมน์ทั้งหมดซึ่งเท่ากับค่าไอเกนเวกเตอร์ x , และถือขวาน = x . ถ้า | | คือเมทริกซ์ปกติ