Throughout this paper R denotes a c

Throughout this paper R denotes a commutative ring with identity and M denotes a unital
R-module. L(R) (L(M)) denotes the lattice of all ideals of R (submodules of M). For any two
submodules N and K of M, the ideal {a ∈ R | aK ⊆ N} will be denoted by (N : K). Thus
(O : M) is the annihilator of M. M is said to be a faithful module if (O : M) is the zero ideal
of R. M is said to be a multiplication module [4] if every submodule of M is of the form IM,
for some ideal I of R. According to [7], a submodule N of M is called meet-quasi-cyclic (or
meet principal in the sense of [1, 3]) if (B ∩ (K : N))N = BN ∩ K for all ideals B of R and
for all submodules K of M; N is called weak-join-quasi-cyclic if (BN) : N = (0 : N) + B for
all ideals B of R; N is called join-quasi-cyclic (or join principal in the sense of [1] and [3]) if
(K + BN) : N = (K : N) + B for all ideals B of R and for all submodules K of M. N is called
quasi-cyclic [7] (or principal in the sense of [1] and [3])if N is both meet-quasi-cyclic and
join-quasi-cyclic. Note that quasi-cyclic submodules have been studied in [1], [3] and [7].

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ตลอดทั้งเอกสารนี้ R แสดงแหวนสลับกับเอกลักษณ์ และ M หมายถึง unital ตัวR-โมดูล L(R) (L(M)) หมายถึงโครงตาข่ายประกอบของอุดมคติทั้งหมดของ R (submodules เมตร) สำหรับสองใด ๆsubmodules N และ K M กับ {∈ R | aK ⊆ N } จะแทนได้ด้วย (N: K) ดังนี้(O: M) เป็น annihilator เมตรเมตรกล่าวได้ว่า เป็นโมดูซื่อสัตย์ถ้า (O: M) เป็นศูนย์เหมาะR. เมตรกล่าวได้ว่า เป็นโมดูลคูณ [4] ถ้าเป็นทุก submodule เมตรแบบ IMบางเหมาะสำหรับผมอาร์ ตาม [7], submodule N M คือตอบสนองเกือบทุกรอบ (หรือตามหลักความ [1, 3]) ถ้า (B ∩ (K: N)) N =∩พัน K ในอุดมคติทั้งหมดของ B R และสำหรับ submodules ทั้งหมด K M N คืออ่อนแอรวมเกือบทุกรอบถ้า (พัน): N = (0: N) + B สำหรับทั้งหมดอุดมคติ B R N คือรวมเกือบทุกรอบ (หรือรวมหลักในความรู้สึกของ [1] และ [3]) ถ้า(K + พัน): N = (K: N) + B ทั้งหมดอุดมคติ B R และ N K เมตรเรียกว่า submodules ทั้งหมดทุกรอบกึ่ง [7] (หรือหลักความ [1] และ [3]) ถ้า N มีทั้งพบเกือบทุกรอบ และรวมเกือบทุกรอบ หมายเหตุว่า วัฏจักรกึ่ง submodules มีการศึกษา [1], [3] และ [7]

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ตลอดบทความนี้ R หมายถึงการสับเปลี่ยนแหวนที่มีตัวตนและ M หมายถึง unital
R-โมดูล L (R) (L (M)) หมายถึงตาข่ายของอุดมคติทั้งหมดของ R (submodules ของ M) สำหรับสอง
submodules n และเคเอ็มที่เหมาะ {a ∈ R | AK ⊆ไม่มี} จะแสดงโดย (ยังไม่มี: K) ดังนั้น
(O: M) คือสังหารเอ็มเอ็มบอกว่าจะเป็นโมดูลที่ซื่อสัตย์ถ้า (O: M)
เป็นศูนย์ที่เหมาะของอาร์เอ็มบอกว่าจะเป็นโมดูลคูณ[4] ถ้า submodule เอ็มทุกคน
การสนทนาแบบฟอร์มสำหรับบางคนในอุดมคติของผมตามที่อาร์[7] เป็น submodule เอ็นเอ็มเรียกว่าตอบสนองกึ่งวงกลม
(หรือตอบสนองความต้องการที่สำคัญในความรู้สึกของ[1, 3]) ถ้า (B ∩ (K : N)) = ไม่มี BN ∩ K สำหรับทุกอุดมคติ B ของ R
และสำหรับทุกsubmodules เคเอ็ม; ยังไม่มีข้อความที่เรียกว่าอ่อนแอเข้าร่วมกึ่งถ้าวงจร (BN): ยังไม่มี = (0: N) + B
สำหรับทุกอุดมคติขR; ยังไม่มีข้อความที่เรียกว่าเข้าร่วมกึ่งวงกลม (หรือเข้าร่วมที่สำคัญในความหมายของ [1] และ [3]) ถ้า
(K + BN): ยังไม่มี = (K: N) + B สำหรับทุกอุดมคติ B ของ R และ submodules ทั้งหมดเคเอ็มเอ็นที่เรียกว่ากึ่งวงกลม [7] (หรือหลักในความหมายของ [1] และ [3]) ถ้าไม่มีเป็นทั้งตอบสนองกึ่งวงกลมและเข้าร่วมกึ่งวงกลม โปรดทราบว่า submodules กึ่งวงกลมได้รับการศึกษาใน [1], [3] และ [7]

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ตลอด r กระดาษนี้หมายถึงการสับเปลี่ยนแหวนที่มีเอกลักษณ์และ M หมายถึง r-module ยูนิทัล

L ( R ) ( l ( M ) หมายถึง ตาข่ายของอุดมคติของ R ( submodules M ) ใด ๆ สอง
submodules N และ K M เหมาะ∈ { R | AK ⊆ n } จะถูกเขียนแทนด้วย ( N : K ) ดังนั้น
( O : m ) คือ ทำลายของ เอ็มว่า จะซื่อสัตย์ ถ้าโมดูล ( O : m ) คือ ศูนย์ดีเยี่ยม
R .เมตร จึงต้องคูณโมดูล [ 4 ] ถ้าทุก submodule M เป็นรูปแบบของ IM ,
บางเหมาะผม R . ตาม [ 7 ] , submodule n m เรียกว่าตอบสนองกึ่งวงกลม ( หรือ
เจออาจารย์ใหญ่ในความรู้สึกของ [ 1 , 3 ] ( B ) ถ้า∩ ( K : N ) N = 10 ∩ K สำหรับอุดมการณ์ B R
ทั้งหมด submodules K M ; n เรียกว่าอ่อนแอเข้าร่วมกึ่งวงกลมถ้า ( BN ) : N = ( 1 : N ) B
ทั้งหมดอุดมคติ B RN เรียกว่าเข้าร่วมกึ่งวงกลม ( หรือร่วมหลักในความรู้สึกของ [ 1 ] และ [ 3 ] ) ถ้า
( K ( BN ) : N = ( k : N ) b สำหรับอุดมการณ์ B R และสำหรับทั้งหมด submodules K M .
n จะเรียกว่ากึ่งวงกลม [ 7 ] ( หรือหลักใน ความรู้สึกของ [ 1 ] และ [ 3 ] ) ถ้า n เป็นทั้งตอบสนองและกึ่งเป็นกึ่ง
เข้าร่วมเป็นวงกลม . ทราบว่ากึ่งวงกลม submodules ได้รับการศึกษาใน [ 1 ] , [ 3 ] และ [ 7 ]