AMERICAN JOURNAL OF PHYSICS VOLUME

AMERICAN JOURNAL OF PHYSICS VOLUME 37, NU'.!IBER 1 JANUARY 1969

Kinematics of an Ultraelastic Rough Ball

RICHARD L. GARWIN
IBM Watson Laboratory, Columbia University, New York, New York 10025
(Received 6 June 1968; revision received 11 September 1968)


A rough ball which conserves kinetic energy exhibits unexpected behavior after a single bounce and bizarre behavior after three bounces against parallel surfaces. The Wham-0 Super-Ball® (registered by Wham-0 Corporation, 835 E. El Monte St., San Gabriel, Calif. 91776), appears to approximate this behavior and provides an inexpensive and readily available model of kinematics quite different from that of a point mass or smooth ball. The analysis is most strikingly illustrated by the fact that the ball returns to the hand after three collisions with the :floor, the underside of a table, and the floor. Some questions are raised concerning the dynamics of the collision.


INTRODUCTION

"Angle of incidence equals angle of reflection" is a commonly quoted but, of course, not uni­ versal result, and it is useful to demonstrate to a freshman or high school physics class that real objects exhibit behavior equally predictable but in some cases quite different. In particular, a perfectly rough ball which conserves kinetic en­ ergy behaves in such an unexpected way that it is difficult to pick up after it has bounced twice upon the floor, and, more bizarre, it returns to the hand on being thrown to the floor in such a way that it bounces from the underside of a table as in Fig. 1.1 It turns out that the two

a microscopically perfectly elastic body can con­ serve kinetic energy in such collisions, and this is discussed later.
Two primary assumptions suffice to determine the trajectories of the Super Ball: (a) Kinetic energy is conserved during a collision (the rota­ tional plus the translational energy of the ball is the same after collision as before). (b) There is no slip at the point of contact (the ball is "perfectly rough"). Two further conditions fol­ low from the laws of mechanics: (c) Angular momentum L about the point of contact is con­ served during the collision. (d) The normal com­ ponent of velocity is reversed by a collision.
(c) follows from the approximation that the
contact occurs at a point and that all forces act through that point, so their moment about that

point is zero. (d) follows from the assumption of linear equations of motion and the observa­ tion that, in the special case of normal incidence without spin, all kinetic energy after the colli­ sion must again be in the normal velocity, which is therefore preserved with change of sign, as a

7//l/!71/11/j/

FIG. 1. A Super Ball seems to return to the hand after bouncing against the underside of a table, while _:the ex­ pectation is for it to continue bouncing between the floor and the table as shown by the dotted line.

assumptions of conservation of kinetic energy and no slip at the contacting surfaces predict qualitatively the observed behavior of the Super Ball. It is not at first clear, however, how even

iThis was first demonstrated to me by L. W. Alvarez with a Wham-0 Super Ball.

consequence of (a). Since the spin, the normal velocity and the tangential velocity after collision are all assumed to be linear functions of the velocities before the collision, the cross coupling between normal velocity and the other two de­ grees of freedom is shown by this special case to be zero under all initial conditions.
Figure 2 shows the elementary collision against a hard surface oriented in the xz plane. Before collision, the body has a velocity Vi along x and an angular velocity wb along z. After the bounce, these variables become Va and w", respectively.
88


K I N E M A T I C S 0 F A N U L T R A E L A S T I C R 0 U G H B A L L 89

I y and



in which the velocities before are Vb, Cb and those
after are Va, Ca. Equations (3) and (4) become




and

(5)



(6)


Frn. 2. The Super Ball has velocity Vb and spin Wb before and simplification gives
bouncing from the xz plane. After the bounce the velocity
and spin are "'Va and wa respectively. The normal velocity a( Cb-Ca) (Cb+ Ca)= (Va- Vb) (Va+ Vb), (5')
along y is simply reversed in the collision.


The subscriptions b and a refer to conditions Dividing, we obtain an interesting result,
before or after a given collision.


I. COLLISION KINETICS or
Let the moment of inertia about the z axis be
I=a1VIR 2 , with a=% for a uniform sphere.Mis



(7)

the mass, and R the radius of the ball. Then the kinetic energy, including only the spin w and the x component of the velocity V, is

K = tJIV2+Vw 2 =M /2(V2+aw 2R2 )

showing that the parallel velocity of the contact­ ing portion of the ball, S= V +C, is precisely
reversed by a bounce.
Subtracting Eq. (7) from Eq. (6) we have

III. DISCUSSION

In going from Eqs. (4) and (6) to Eq. (7), we have tacit

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

สมุดอเมริกันของฟิสิกส์เล่มที่ 37 นู ' . IBER 1 1969 มกราคมKinematics บอลหยาบ Ultraelasticริชาร์ด L. GARWINห้องปฏิบัติการ IBM Watson มหาวิทยาลัยโคลัมเบีย นิวยอร์ก นิวยอร์ก 10025(รับ 6 1968 มิถุนายน revision ได้รับ 11 1968 กันยายน)ลูกหยาบซึ่งประหยัดพลังงานจลน์แสดงคาดหลังเด้งเดียวและพฤติกรรมแปลกประหลาดหลังจากแพทเทิร์นสามกับขนานพื้น ปรากฏ®ซุปเปอร์บอล Wham-0 ที่ (จดทะเบียน โดยบริษัท Wham-0, 835 E. El Monte เซนต์ San Gabriel มลรัฐแคลิฟอร์เนีย 91776), ประมาณนี้ และมีแบบราคาไม่แพง และพร้อมของ kinematics ค่อนข้างแตกต่างจากลูกจุดมวล หรือเรียบ การวิเคราะห์จะแสดง โดยความจริงที่ว่าลูกกลับไปมือหลังสามชนกับ สุดสะดุดตา: ด้านล่างของตาราง และชั้น ชั้น คำถามจะยกเกี่ยวกับ dynamics ของการชน แนะนำ"อุบัติการณ์ของมุมเท่ากับมุมสะท้อนของ" เสนอโดยทั่วไป แต่ แน่นอน ไม่ uni versal ผล และมันเป็นประโยชน์ในการแสดงแบบใหม่ หรือชั้นฟิสิกส์มัธยมที่จริงวัตถุแสดงพฤติกรรมที่คาดเดาได้อย่างเท่าเทียมกัน แต่ในบางกรณีแตกต่างกันมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง บอลอย่างหยาบซึ่งประหยัดเคลื่อนไหวเป้็นที่ทำงานในลักษณะดังกล่าวไม่คาดคิดว่า มันยากไปรับหลังจากนั้นได้สะท้อนสองครั้งเมื่อชั้น และ แปลกประหลาดมาก มันส่งกลับการมือบนถูกโยนไปยังชั้นในเช่นวิธีว่า มันตีกลับจากด้านล่างของตารางดังรูป 1.1 มันเปลี่ยนจากที่สอง ร่างกายสมบูรณ์ความยืดหยุ่นสามารถปรับให้บริการพลังงานจลน์ในซ้ำเช่น และนี้จะกล่าวถึงในภายหลังสมมติฐานหลักที่สองพอจะตรวจสอบลูกทีมของลูกซุปเปอร์: เป็นอนุรักษ์ (ก) พลังงานจลน์ในระหว่างการชน (หากคุณโรตาบวกพลังงานไทหมิงของลูกเป็นเหมือนหลังชนก่อน) (ข) ไม่มีลื่นไม่มีหน้าร้านติดต่อ (ลูกเป็น "อย่างหยาบ") สองเงื่อนไข fol ต่ำจากกฎหมายของกลไกเพิ่มเติม: ปรับบริการ (c) เชิงมุมโมเมนตัม L เกี่ยวกับจุดการติดต่อระหว่างการชน (d) ponent com ปกติความเร็วกลับจากการชน(ค) ดังนี้จากประมาณการที่การติดต่อเกิดขึ้นที่จุด และให้ทุกกองกำลังกระทำผ่านจุดนั้น ดังนั้นช่วงเวลาของพวกเขาเกี่ยวกับการที่ จุดเป็นศูนย์ (d) ดังนี้จากสมมติฐานของสมการเชิงเส้นของการเคลื่อนไหวและทางการค้า observa ว่า ในกรณีพิเศษของอุบัติการณ์ปกติไม่หมุน พลังงานจลน์ทั้งหมดหลังจาก colli sion อีกต้องในความเร็วปกติ ซึ่งถูกเก็บรักษาไว้จึงอยู่กับการเปลี่ยนแปลงเข้าสู่ระบบ เป็น การ 7 / l / ! 71/11/j /รูปที่ 1 ลูกซุปเปอร์น่าจะ กลับไปมือหลังใหญ่ทางด้านล่างของตาราง ขณะ_: ex pectation คือมันต้องการแสงระหว่างชั้นและตารางซึ่งแสดง โดยเส้นประสมมติฐานของการอนุรักษ์พลังงานจลน์และไม่ส่งในพื้นผิวติดต่อทำนายคุณภาพการสังเกตพฤติกรรมของลูกซุปเปอร์ ไม่ที่แรกชัดเจน อย่างไรก็ตาม แม้ว่าแสดงให้เห็นว่า iThis ผมก่อน โดย Alvarez W. L. ด้วยลูกซูเปอร์ Wham-0 จาก (ก) เนื่องจากการหมุน ความเร็วปกติ และความเร็ว tangential หลังชนมีทั้งหมดถือว่าเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของความเร็วก่อนการชน จะแสดงต่อข้ามระหว่างความเร็วปกติและสองเด grees อื่น ๆ ของเสรีภาพนี้กรณีพิเศษต้องเป็นศูนย์ภายใต้เงื่อนไขเริ่มต้นทั้งหมดรูปที่ 2 แสดงการชนประถมกับพื้นผิวยากในระนาบ xz ก่อนชน ร่างกายมีความเร็ว Vi ตามแนว x และมีความเร็วเชิงมุม wb ตาม z หลังจากตีกลับ ตัวแปรเหล่านี้กลายเป็น Va และ w" ตามลำดับ88 K ผม N E M T เป็นฉัน C S 0 F เป็น N U L T R L E S T ฉัน C R 0 U G H B L L 89ฉัน y และ ที่ความเร็วก่อนเป็น Vb, Cb และผู้หลังจาก Va, Ca. สมการ (3) และ (4) กลายเป็น และ (5)(6) Frn 2 ลูกซุปเปอร์มีความเร็วของ Vb และหมุน Wb ก่อนและให้เข้าใจง่ายแสงจากระนาบ xz หลังจากความเร็วของการตีกลับและหมุน "'Va และ wa ตามลำดับ ความเร็วปกติ (Cb-Ca) (Cb + Ca) = (Va-Vb) (Va + Vb), (5')ตาม y จะเพียงรายการในการชน B การบอกรับสมาชิกและโปรดดูที่เงื่อนไขแบ่ง เราได้รับผลน่าสนใจก่อน หรือ หลังการชนให้ I. จลนพลศาสตร์ชน หรือให้โมเมนต์ความเฉื่อยเกี่ยวกับแกน z ได้ฉัน = a1VIR 2 กับการ =%ทรงกลมเหมือนกัน Mis (7) มวล และมีรัศมีของลูก แล้ว เป็นพลังงานจลน์ เฉพาะ w หมุนและส่วนประกอบของความเร็ว V, xK = tJIV2 + Vw 2 = M /2(V2+aw 2R2) แสดงให้เห็นว่าความเร็วของการขนานของส่วนติดต่อ ing ของลูก S = V + C แม่นยำย้อนกลับ โดยการตีกลับเราลบ Eq. (7) จาก Eq. (6) มี III. สนทนาในการที่จะจาก Eqs (4) และ (6) (7) Eq. เรามีโดยปริยาย

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

อเมริกันวารสารฟิสิกส์ VOLUME 37, NU ' IBER 1 มกราคม 1969.! จลนศาสตร์ของ Ultraelastic ขรุขระบอลริชาร์ดแอล Garwin IBM Watson ห้องปฏิบัติการมหาวิทยาลัยโคลัมเบีย, นิวยอร์ก, นิวยอร์ก 10025 (ได้รับ 6 มิถุนายน 1968; แก้ไขได้รับ 11 กันยายน 1968 ) ลูกหยาบซึ่งอนุรักษ์พลังงานจลน์แสดงพฤติกรรมที่ไม่คาดคิดหลังจากเด้งเดียวและพฤติกรรมที่แปลกประหลาดหลังจากสามตีกับพื้นผิวขนาน Wham-0 Super-Ball® (ลงทะเบียนโดย Wham-0 คอร์ปอเรชั่น 835 อีเอลมอนเต้ St. , San Gabriel, Calif. 91776) ดูเหมือนจะใกล้เคียงกับลักษณะการทำงานนี้และให้รูปแบบราคาไม่แพงและสามารถใช้ได้อย่างง่ายดายของกลศาสตร์การเคลื่อนไหวค่อนข้างแตกต่างจาก ที่ของมวลจุดหรือลูกได้อย่างราบรื่น การวิเคราะห์จะแสดงยอดเยี่ยมที่สุดจากความจริงที่ว่าลูกกลับไปที่มือหลังจากสามชนกับชั้นล่างของตารางและพื้น บางคำถามจะถูกยกขึ้นเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงของการปะทะกัน. บทนำ"มุมตกกระทบเท่ากับมุมสะท้อน" เป็นที่ยกมากันทั่วไป แต่แน่นอนไม่ได้ผล Versal Uni และมันก็เป็นประโยชน์ในการแสดงให้เห็นถึงน้องหรือโรงเรียนชั้นสูงทางฟิสิกส์ วัตถุจริงจัดแสดงพฤติกรรมอย่างเท่าเทียมกันคาดเดาได้ แต่ในบางกรณีแตกต่างกันมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งลูกที่หยาบกร้านได้อย่างสมบูรณ์แบบซึ่งอนุรักษ์พลังงานจลน์ en ergy ทำงานในลักษณะที่ไม่คาดคิดว่ามันเป็นเรื่องยากที่จะหยิบขึ้นมาหลังจากที่มันได้เด้งสองครั้งบนพื้นและแปลกประหลาดมากขึ้นก็จะกลับสู่มือบนถูกโยนลงไปที่พื้น ในลักษณะที่มันตีกลับจากด้านล่างของตารางในขณะที่มะเดื่อ 1.1 ปรากฎว่าทั้งสองร่างกายกล้องจุลทรรศน์ยืดหยุ่นสมบูรณ์แบบสามารถ con บริการพลังงานจลน์ในการชนดังกล่าวและนี้จะกล่าวถึงในภายหลัง. สองสมมติฐานหลักพอเพียงในการกำหนดวิถีของซูเปอร์บอล (ก) พลังงานจลน์เป็นป่าสงวนในระหว่างการปะทะกัน (คน tional Rota บวกพลังงานแปลของลูกจะเหมือนกันหลังจากการปะทะกันเป็นมาก่อน) (ข) มีใบที่จุดของการติดต่อที่ไม่เป็น (ลูกคือ "หยาบกร้านได้อย่างสมบูรณ์แบบ") เงื่อนไขที่สองต่อไปตามมาต่ำจากกฎหมายของกลศาสตร์: (c) โมเมนตัมเชิงมุม l เกี่ยวกับจุดของการติดต่อเป็น Con ทำหน้าที่ในช่วงการปะทะกัน (ง) Ponent COM ปกติของความเร็วจะถูกกลับรายการโดยการปะทะกัน. (c) ดังนี้จากการประมาณว่าการติดต่อเกิดขึ้นที่จุดและว่ากองกำลังทั้งหมดทำหน้าที่ผ่านจุดนั้นเพื่อให้ช่วงเวลาของพวกเขาเกี่ยวกับที่จุดเป็นศูนย์ (ง) ต่อจากข้อสันนิษฐานของสมการเชิงเส้นของการเคลื่อนไหวและการ observa ว่าในกรณีพิเศษของอุบัติการณ์ตามปกติโดยไม่ต้องหมุนทุกพลังงานจลน์หลังจากที่ไซออน Colli อีกครั้งจะต้องอยู่ในความเร็วปกติซึ่งถูกเก็บรักษาไว้ดังนั้นจึงมีการเปลี่ยนแปลงของ ลงชื่อเป็น7 // L /! 71/11 / J / มะเดื่อ 1. ซูเปอร์บอลดูเหมือนว่าจะกลับไปมือหลังใหญ่กับด้านล่างของตารางในขณะที่ _: pectation อดีตคือให้มันยังคงตีกลับระหว่างพื้นและตารางที่แสดงโดยเส้นประ. สมมติฐานของการอนุรักษ์การเคลื่อนไหว พลังงานและลื่นที่พื้นผิวการติดต่อไม่มีการคาดการณ์ในเชิงคุณภาพสังเกตพฤติกรรมของซูเปอร์บอล มันไม่ได้เป็นที่ชัดเจนครั้งแรกอย่างไรว่าแม้ตัวเลือกนี้ก็แสดงให้เห็นเป็นครั้งแรกให้ฉันโดย LW Alvarez กับ Wham-0 ซูเปอร์บอล. ผลมาจาก (ก) ตั้งแต่ปั่นความเร็วปกติและความเร็ววงหลังจากการปะทะกันจะถือว่าทั้งหมดจะเป็นฟังก์ชั่นเชิงเส้นของความเร็วก่อนที่ความขัดแย้งที่มีเพศสัมพันธ์ระหว่างความเร็วปกติและอีกสองเด GREEs ของเสรีภาพจะปรากฏโดยกรณีพิเศษนี้จะเป็นศูนย์ ภายใต้เงื่อนไขเริ่มต้นทั้งหมด. รูปที่ 2 แสดงการชนประถมกับพื้นผิวที่แข็งที่มุ่งเน้นในระนาบ XZ ก่อนที่ความขัดแย้งร่างกายมี Vi ความเร็วพร้อม X และ WB ความเร็วเชิงมุมพร้อม Z หลังจากตีกลับตัวแปรเหล่านี้กลายเป็น Va และ W "ตามลำดับ. 88 K INEMATICS 0 0 FANULTRAELASTICR UGHBALL 89 ผม Y และที่ความเร็วก่อนที่จะมี VB, Cb และผู้ที่หลังจากมี Va, Ca. สมการ (3) และ (4) กลายเป็นและ(5) (6) FRN. 2. ซูเปอร์บอลมีความเร็ว VB และหมุน Wb ก่อนและเข้าใจง่ายช่วยให้ตีกลับมาจากเครื่องบิน XZ ได้. หลังจากตีกลับความเร็วและสปินเป็น "เวอร์จิเนียและวาตามลำดับ ความเร็วปกติ (CB-CA) (CB + Ca) = (Va- Vb) (VA + Vb), (5) พร้อม Y จะถูกกลับรายการเพียงในการปะทะกัน. ติดตามแบบ B และอ้างถึงเงื่อนไขแบ่งเราได้รับ ผลที่น่าสนใจก่อนหรือหลังการปะทะกันได้รับ. I. จลนพลศาสตร์การชนกันหรือให้โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกน Z ที่จะเป็นI = a1VIR 2 กับ A =% สำหรับเครื่องแบบ sphere.Mis (7) มวลและรัศมี r ของลูก แล้วพลังงานจลน์รวมถึงเพียงปั่น W และ Component x ของความเร็ว v คือK = tJIV2 + Vw 2 = m / 2 (v2 + AW 2R2) แสดงให้เห็นว่าความเร็วขนานของการติดต่อไอเอ็นจีส่วนของลูก S = V + C แม่นยำตรงกันข้ามตีกลับ. การลบสมการ (7) จากสมการ (6) เรามีIII การอภิปรายในการไปจาก EQS (4) และ (6) สมการ (7) เรามีโดยปริยาย