1 The Least Upper Bound: Definition

1 The Least Upper Bound: Definitions and
Axiom
If A is a set of numbers and b is a number, we say that b is an upper bound
for A iff for every number x ∈ A we have x ≤ b.
A set which has an upper bound is said to be bounded above.
An upper bound for A which belongs to A is a greatest element of A (or
a maximum element). Notice that A can have only one greatest element:
suppose b and c are greatest elements of A. It follows that b ∈ A, c ∈ A, and
for any x ∈ A, x ≤ b and x ≤ c. From this it follows that b ≤ c and c ≤ b,
so b = c.
We give completely symmetric definitions of “lower bound” and “least
element”.
If A is a set of numbers and b is a number, we say that b is an lower bound
for A iff for every number x ∈ A we have x ≥ b.
A set which has a lower bound is said to be bounded below.
An lower bound for A which belongs to A is a least element of A (or a
minimum element). Notice that A can have only one least element: suppose
b and c are least elements of A. It follows that b ∈ A, c ∈ A, and for any
x ∈ A, x ≥ b and x ≥ c. From this it follows that b ≥ c and c ≥ b, so b = c.
Since we have defined least element of a set, we can define the least upper
bound of a set A as the least element of the set of upper bounds of A. Since
any set has at most one least element, this shows that a set A has just one
least upper bound if it has any at all. The least upper bound of A is also
called the supremum of A. It can be written sup(A) or lub(A).
Sets with no upper bound have no least upper bound, of course. The
set of all numbers is an example. The empty set has no least upper bound,
because every number is an upper bound for the empty set.
We give symmetric definitions of greatest lower bound.
Since we have defined greatest element of a set, we can define the greatest
lower bound of a set A as the greatest element of the set of lower bounds of A.
Since any set has at most one greatest element, this shows that a set A has
1
just one greatest lower bound if it has any at all. The greatest lower bound
of A is also called the infimum of A. It can be written inf(A) or glb(A).
Sets with no lower bound have no greatest lower bound, of course. The
set of all numbers is an example. The empty set has no greatest lower bound,
because every number is a lower bound for the empty set.
The Least Upper Bound axiom says that the exceptions to the existence
of least upper bounds exhibited above are the only exceptions (and implies
the same thing about greatest lower bounds).

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

1 ขอบเขตบนน้อยที่สุด: ข้อกำหนด และสัทพจน์ถ้าเป็นชุดตัวเลข และ b เป็นตัวเลข เราพูดที่ b เป็นการขึ้นไปสำหรับ iff สำหรับทุก∈ x หมายเลข A ได้ b x ≤ชุดที่มีขอบสูงสุดมีกล่าวถึงจะล้อมรอบข้างมีขอบเขตบนสำหรับ A ซึ่ง A เป็นองค์ประกอบมากที่สุดของ A (หรือความสูงองค์ประกอบ) สังเกตว่า A สามารถมีองค์ประกอบมากที่สุดที่เดียวเท่านั้น:สมมติว่า b และ c เป็นองค์ประกอบที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของ ดังนั้นที่ b ∈ A, c ∈ A และสำหรับทุก x ∈ A, x ≤ b และ c x ≤ จากนี้ จะทำตามที่ c ≤ b และ c ≤ bดังนั้น b = cเราให้คำนิยามที่สมบูรณ์แบบ "ขอบล่าง" และ "อย่างน้อยองค์ประกอบของ"ถ้าเป็นชุดตัวเลข และ b เป็นตัวเลข เราบอกที่ b ขอบล่างสำหรับ iff สำหรับทุก∈ x หมายเลข A ได้ b x ≥ชุดที่มีขอบล่างกล่าวถูกล้อมรอบด้านล่างขอบล่างของ A ซึ่งเป็นสมาชิกของ A เป็นองค์ประกอบน้อยที่สุด (หรือเป็นองค์ประกอบขั้นต่ำ) ทราบว่า A สามารถมีองค์ประกอบอย่างน้อยหนึ่ง: สมมติb และ c มีน้อยองค์ประกอบของก. ดังนั้นที่ b ∈ A, c ∈ A และใด ๆx ∈ A, b x ≥ และ c x ≥ จากนี้ ดังนั้นที่ b ≥ c และ c ≥ b, b ให้ = cเนื่องจากเรากำหนดอย่างน้อยองค์ประกอบของการตั้งค่า เราสามารถกำหนดด้านบนอย่างน้อยขอบของชุด A เป็นชุดของขอบเขตบนของ A. ตั้งแต่น้อยชุดใด ๆ ที่มีองค์ประกอบน้อยที่สุดที่หนึ่งมากที่สุด นี้แสดงให้เห็นว่า ชุด A ได้เพียงหนึ่งน้อยขอบบนหากมีใด ๆ ที่ทั้งหมด ขอบเขตบนน้อยที่สุดของ A เป็นเรียกว่า supremum ของก. มันสามารถเขียน sup(A) หรือ lub(A)พร้อมขอบบนไม่มีขึ้นไม่น้อยไป ของหลักสูตร การตัวเลขทั้งหมดเป็นตัวอย่าง ชุดว่างมีไม่น้อยขึ้นไปเนื่องจากทุกหมายเลขมีการขึ้นไปสำหรับการตั้งค่าว่างเปล่าเราให้คำจำกัดความสมมาตรของขอบล่างสุดตั้งแต่เราได้กำหนดองค์ประกอบที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของการตั้งค่า เราสามารถกำหนดยิ่งใหญ่ที่สุดขอบล่างของชุด A เป็นชุดของขอบเขตล่างของ A. มากที่สุดตั้งแต่ชุดใด ๆ ที่มีองค์ประกอบมากที่สุดที่หนึ่งมากที่สุด นี้แสดงให้เห็นว่า มีชุด A1ต่ำสุดเพียงหนึ่งผูกหากมีใด ๆ ที่ทั้งหมด ขอบล่างสุดของจะเรียกว่า infimum ของก. มันสามารถเขียน inf(A) หรือ glb(A)ชุดกับขอบล่างของไม่มีไม่มีขอบล่างสุด ของหลักสูตร การตัวเลขทั้งหมดเป็นตัวอย่าง ชุดว่างมีไม่ขอบล่างสุดเพราะทุก ๆ ขอบล่างของชุดว่างเปล่าสัทพจน์น้อยขึ้นไปบอกว่า ข้อยกเว้นของการดำรงอยู่ขอบเขตบนน้อยที่สุดที่แสดงข้างต้นเป็นข้อยกเว้นเท่านั้น (และหมายถึงสิ่งเดียวกันเกี่ยวกับขอบเขตล่างมากที่สุด)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

1 อย่างน้อยบนปก: ความหมายและ
ความจริง
ถ้าเป็นชุดของตัวเลขและ B เป็นจำนวนที่เราบอกว่า B เป็นขอบเขตบน
สำหรับ IFF สำหรับทุก x จำนวน∈เรามี x ≤ข.
ชุดที่มี บนผูกไว้กล่าวคือจะต้องกระโดดข้างต้น.
ผูกพันบนของ A ซึ่งเป็นของเป็นองค์ประกอบที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของ (หรือ
องค์ประกอบสูงสุด) สังเกตเห็นว่าจะมีเพียงองค์ประกอบหนึ่งที่ยิ่งใหญ่ที่สุด:
สมมติว่า b และ c เป็นองค์ประกอบที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของเอมันตามที่ข∈ A, C ∈ A, และ
สำหรับ X ใด ๆ ∈ A, B x ≤ x ≤และ C จากนี้มันตามที่ข≤ C และ C ≤ B,
ดังนั้น B = C.
เราให้คำจำกัดความสมมาตรสมบูรณ์ของ "ขอบเขตล่าง" และ "น้อย
องค์ประกอบ".
ถ้าเป็นชุดของตัวเลขและ B เป็นจำนวนที่เราบอกว่า B เป็นขอบเขตล่าง
สำหรับ IFF สำหรับทุก x จำนวน∈ A A เรามี x ≥ข.
ชุดที่มีขอบเขตที่ต่ำกล่าวคือจะต้องมีขอบเขตด้านล่าง.
ผูกพันที่ต่ำกว่าของ A ซึ่งเป็นของเป็นองค์ประกอบที่น้อยที่สุดของ A ( หรือ
องค์ประกอบขั้นต่ำ) สังเกตเห็นว่าจะมีเพียงน้อยองค์ประกอบ: สมมติว่า
b และ c เป็นองค์ประกอบที่น้อยที่สุดของ A. มันตามที่ข∈ A, C ∈ A, และสำหรับการใด ๆ
x ∈ A, X ≥ B และ C x ≥ จากนี้มันตามที่ข≥ C และ C ≥ B ดังนั้น B = C.
เนื่องจากเราได้กำหนดองค์ประกอบที่น้อยที่สุดของชุดเราสามารถกำหนดอย่างน้อยบน
ผูกพันของชุดเป็นองค์ประกอบที่น้อยที่สุดของชุดของขอบเขตบนของ A. ตั้งแต่
ชุดใด ๆ ที่มากที่สุดองค์ประกอบหนึ่งน้อยนี้แสดงให้เห็นว่าชุดมีเพียงหนึ่ง
อย่างน้อยบนปกถ้ามันมีใด ๆ เลย อย่างน้อยบนปกของนอกจากนี้ยัง
เรียกว่า supremum ของ A. มันสามารถเขียน SUP (A) หรือหลุบ (A).
ชุดที่ไม่มีขอบเขตบนไม่มีที่ถูกผูกไว้อย่างน้อยตอนบนของหลักสูตร
ชุดของตัวเลขทั้งหมดเป็นตัวอย่าง เซตว่างไม่เคยมีใครที่ถูกผูกไว้อย่างน้อยบน
เนื่องจากหมายเลขทุกเป็นขอบเขตบนสำหรับชุดที่ว่างเปล่า.
เราให้คำจำกัดความสมมาตรที่ยิ่งใหญ่ที่สุดที่ถูกผูกไว้ที่ต่ำกว่า.
เนื่องจากเราได้กำหนดองค์ประกอบที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของชุดเราสามารถกำหนดที่ยิ่งใหญ่ที่สุด
ผูกพันของการตั้งค่าที่ต่ำกว่า เป็นองค์ประกอบที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของชุดของขอบเขตล่างของเอ
ตั้งแต่ชุดใดที่มีองค์ประกอบที่มากที่สุดที่ยิ่งใหญ่ที่สุดคนหนึ่งแสดงให้เห็นว่าชุด A มี
1
เพียงหนึ่งที่ยิ่งใหญ่ที่สุดที่ถูกผูกไว้ที่ต่ำกว่าถ้ามันมีใด ๆ เลย ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดที่ถูกผูกไว้ที่ต่ำกว่า
ของจะเรียกว่า infimum ของ A. มันสามารถเขียน INF (A) หรือ GLB (ก).
ชุดที่ไม่มีขีด จำกัด ล่างไม่มีที่ยิ่งใหญ่ที่สุดขอบเขตล่างของหลักสูตร
ชุดของตัวเลขทั้งหมดเป็นตัวอย่าง เซตว่างไม่มีที่ยิ่งใหญ่ที่สุดที่ต่ำกว่าที่ถูกผูกไว้
เพราะตัวเลขทุกคนเป็นขีด จำกัด ล่างสำหรับชุดที่ว่างเปล่า.
อย่างเป็นบนความจริงที่ถูกผูกไว้บอกว่าข้อยกเว้นในการดำรงอยู่
ของขอบเขตบนน้อยแสดงข้างต้นเป็นข้อยกเว้นเท่านั้น (และหมายถึง
สิ่งเดียวกันเกี่ยวกับ ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดขอบเขตที่ต่ำกว่า)