(1.5)The Binet’s formula for k-Fibo

(1.5)
The Binet’s formula for k-Fibonacci and k-Lucas numbers are given by
(1.6)
(1.7)
In (1.6) & (1.7), .
Also, ;
; ;
and .

In [10], new generalized k-Fibonacci sequences have been introduced and studied. Many of the properties of these sequences are proved by simple matrix algebra. This study has been motivated by the arising of two complex valued maps to represent the two antecedents in an specific four-triangle partition. In [12], Falcon and Plaza k- Fibonacci sequence generalizes, between others, both the classical Fibonacci sequence and the Pell sequence. In this paper many properties of these numbers are deduced and related with the so-called Pascal 2-triangle. New generalized k-Fibonacci sequences have been introduced and studied. Several properties of these numbers are deduced and related with the so-called Pascal 2-triangle. In addition, the generating functions for these k-Fibonacci sequences have been given. [9], Falcon present Lucas triangle and its relationship with the k-Lucas numbers, combinatorial formula for k-Lucas numbers, generating function and defined Properties of the diagonals of the Lucas triangle and the rows of the Lucas triangle. In [8], S. Falcon, study the properties of the k-Lucas numbers and will prove these properties will be related with the k-Fibonaci numbers. From a special sequence of squares of k-Fibonacci numbers, the k-Lucas sequences are obtained in a natural form. S. Falcon, examine some of the interesting properties of the k-Lucas numbers themselves as well as looking at its close relationship with the k-Fibonacci numbers. The k-Lucas numbers have lots of properties, similar to those of k-Fibonacci numbers and often occur in various formulae simultaneously with latter. In [13], Yazlik, Yilmaz and Taskara, investigate some proporties additive of k-Fibonacci and k-Lucas sequences and obtain new identities on sums of powers these sequences and obtain the recurrence relations for powers of k-Fibonacci and k-Lucas sequences. Also they will be given new formulas for the powers of k-Fibonacci and k-Lucas sequences. Clary and Hemenway [7] discovered factored closed-form expressions for all sums of the form where r is an integer. In [4], Jennings presented some remarkable elementary identities for sums of powers of reciprocals of Fibonacci and Lucas numbers. In [6], Melham proved a theorem involving a sum of products of Fibonacci numbers and corresponding theorem for Lucas numbers. In [1], Alex and Hongwei obtained formula which gave powers of Fibonacci numbers by using the generating functions. In this paper, we present the sum of consecutive members of k-Fibonacci numbers and the same thing for even and for odd k-Fibonacci numbers.

2. Preliminary notes
In [16], Rajesh and Leversha define some properties of Fibonacci numbers in odd terms. In [19], Zvonko Čerin defines some sums of squares of odd and even terms of Lucas sequence. In [20], Zvonko Čerin improves some results on sums of squares of odd terms of the Fibonacci sequence by Rajesh and Leversha. In [5], H. Belbachir and F. Bencherif recover and extend all result of Zvonko Čerin [18, 2005] and Zvonko Čerin and Gianella [22, 2006]. In [21] Zvonko Čerin and Gianella defines sums of Pell numbers. In this paper we define sum of consecutive members of k-Fibonacci numbers.

3. Main Results
In this section, we prove some formulas for sums of a finite number of consecutive terms of the Fibonacci-Like numbers. First we find the formula for the when and are integers.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

(1.5)สูตรของ Binet เลขฟีโบนัชชี k และ k-Lucas ได้โดย (1.6) (1.7)ใน (1.6) และ (1.7),ยัง,, ; ; และใน [10], ลำดับ Fibonacci k เมจแบบทั่วไปใหม่ได้รับการแนะนำ และศึกษา หลายคุณสมบัติของลำดับเหล่านี้จะพิสูจน์ โดยเรื่องเมตริกซ์พีชคณิต ได้รับแรงจูงใจศึกษานี้ โดยเกิดสองแผนที่บริษัทซับซ้อนถึง antecedents สองในพาร์ติชันสี่เหลี่ยมเฉพาะ ใน [12], เหยี่ยวและพลาซ่า k-ลำดับ Fibonacci generalizes ระหว่างผู้อื่น ลำดับ Fibonacci คลาสสิกและลำดับ Pell ในเอกสารนี้ คุณสมบัติมากมายของตัวเลขเหล่านี้คือ deduced และเกี่ยวข้องกับการเรียกว่าปาสกาล 2-สามเหลี่ยม มีการแนะนำ และศึกษาลำดับ Fibonacci k เมจแบบทั่วไปใหม่ คุณสมบัติต่าง ๆ ของตัวเลขเหล่านี้คือ deduced และเกี่ยวข้องกับการเรียกว่าปาสกาล 2-สามเหลี่ยม นอกจากนี้ ฟังก์ชันสร้างลำดับ k Fibonacci เหล่านี้ได้รับการ [9], เหยี่ยวนำเสนอ Lucas สามเหลี่ยมและความหมายเลข k Lucas สูตรปัญหา Lucas k ตัว เลข การสร้างฟังก์ชัน และคุณสมบัติของเส้นทแยงมุมของรูปสามเหลี่ยม Lucas และแถวสามเหลี่ยม Lucas ที่กำหนด ใน [8], S. เหยี่ยว ศึกษาคุณสมบัติของ Lucas k และจะพิสูจน์คุณสมบัติเหล่านี้จะเกี่ยวข้องกับหมายเลข k Fibonaci จากลำดับพิเศษยกกำลังสองของเลขฟีโบนัชชี k, k-Lucas ลำดับที่จะได้รับในรูปแบบธรรมชาติ S. เหยี่ยว ตรวจสอบบางอย่างน่าสนใจคุณสมบัติของ Lucas k ตัวเองเป็นของความสัมพันธ์กับเลขฟีโบนัชชี k หมายเลข k Lucas มีคุณสมบัติ คล้ายกับจำนวนฟีโบนัชชี k มากมาย และเกิดขึ้นบ่อยครั้งในสูตรต่าง ๆ พร้อมกันกับหลัง [13], Yazlik, Yilmaz และ Taskara ตรวจสอบการบวกบาง proporties ของ k Fibonacci และ k Lucas ลำดับ และได้รับรหัสประจำตัวใหม่ในผลของอำนาจลำดับเหล่านี้ และได้รับความสัมพันธ์ที่เกิดขึ้นประจำสำหรับอำนาจลำดับ k Fibonacci และ k-Lucas นอกจากนี้ พวกเขาจะได้รับสูตรใหม่สำหรับอำนาจลำดับ k Fibonacci และ k-Lucas Clary และ Hemenway [7] ค้นพบการแยกตัวประกอบนิพจน์แบบปิดสำหรับผลรวมทั้งหมดของแบบฟอร์มซึ่งจะเป็นจำนวนเต็ม [4], Jennings แสดงประจำประถมบางโดดเด่นสำหรับผลรวมของอำนาจคือเลขฟีโบนัชชีและ Lucas ใน [6], Melham พิสูจน์ทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องกับจำนวนของเลขฟีโบนัชชีและทฤษฎีบทที่สอดคล้องกันสำหรับหมายเลข Lucas ใน [1], Hongwei และ Alex ได้รับสูตรซึ่งให้อำนาจของเลขฟีโบนัชชี โดยใช้ฟังก์ชันสร้าง ในเอกสารนี้ เรานำผลรวมของเลขฟีโบนัชชี k และสิ่งเดียวกันสำหรับสมาชิกติดต่อกันได้ และเลขคี่ k ฟีโบนัชชี 2. หมายเหตุเบื้องต้นใน [16], Rajesh และ Leversha กำหนดคุณสมบัติบางอย่างของเลขฟีโบนัชชีในข้อคี่ [19], Zvonko Čerin กำหนดบางผลรวมของกำลังสองของหน้าคี่ และแม้แต่เงื่อนไขของ Lucas ลำดับ Zvonko Čerin ปรับปรุงผลลัพธ์บางอย่างในผลรวมของกำลังสองของเงื่อนไขลำดับ Fibonacci โดย Rajesh Leversha คี่ใน [20], ใน [5], H. Belbachir และ F. Bencherif กู้คืน และขยายผลทั้งหมด Čerin Zvonko [18, 2005] Zvonko Čerin และ Gianella [22, 2006] ใน [21] Zvonko Čerin และ Gianella กำหนดผลรวมของเลข Pell ในเอกสารนี้ เรากำหนดจำนวนสมาชิกหมายเลขฟีโบนัชชี k 3 ผลลัพธ์หลักในส่วนนี้ เราพิสูจน์บางสูตรสำหรับผลรวมของจำนวนจำกัดวาระของเลขฟีโบนัชชีเหมือน ครั้งแรกเราหาสูตรสำหรับเมื่อ และเป็นจำนวนเต็ม

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

(1.5)
สูตร Binet สำหรับ k-Fibonacci และหมายเลข k-ลูคัสจะได้รับจาก
(1.6)
(1.7)
ใน (1.6) และ (1.7).
นอกจากนี้;
; ;
. และใน [10] ลำดับ k-Fibonacci ทั่วไปใหม่ได้รับการแนะนำและการศึกษา หลายคุณสมบัติของลำดับเหล่านี้ได้รับการพิสูจน์โดยพีชคณิตเมทริกซ์ที่เรียบง่าย การศึกษาครั้งนี้ได้รับแรงบันดาลใจจากที่เกิดขึ้นของทั้งสองแผนที่มูลค่าที่ซับซ้อนในการเป็นตัวแทนของสองบุคคลในพาร์ทิชันที่สี่รูปสามเหลี่ยมที่เฉพาะเจาะจง ใน [12], เหยี่ยวและพลาซ่า k- ลำดับฟีโบนักชี generalizes ระหว่างคนอื่น ๆ ทั้งในลำดับฟีโบนักชีคลาสสิกและลำดับเพลล์ ในบทความนี้คุณสมบัติหลายอย่างของตัวเลขเหล่านี้จะไม่มีที่ติและที่เกี่ยวข้องกับสิ่งที่เรียกว่าปาสคาล 2 รูปสามเหลี่ยม ใหม่ทั่วไปลำดับ k-Fibonacci ได้รับการแนะนำและการศึกษา คุณสมบัติหลาย ๆ อย่างของตัวเลขเหล่านี้จะไม่มีที่ติและที่เกี่ยวข้องกับสิ่งที่เรียกว่าปาสคาล 2 รูปสามเหลี่ยม นอกจากนี้ยังมีฟังก์ชั่นที่สร้างสำหรับลำดับ k-Fibonacci เหล่านี้ได้รับ [9] เหยี่ยวปัจจุบันสามเหลี่ยมลูคัสและความสัมพันธ์กับตัวเลข k-ลูคัส, สูตร combinatorial หมายเลข k-ลูคัส, การสร้างการทำงานและกำหนดคุณสมบัติของเส้นทแยงมุมของรูปสามเหลี่ยมลูคัสและแถวของลูคัสสามเหลี่ยม ใน [8], S. เหยี่ยวศึกษาคุณสมบัติของหมายเลข k-ลูคัสและจะพิสูจน์คุณสมบัติเหล่านี้จะเกี่ยวข้องกับหมายเลข k-Fibonaci จากลำดับพิเศษของสี่เหลี่ยมของตัวเลข k-Fibonacci, ลำดับ k-ลูคัสจะได้รับในรูปแบบธรรมชาติ S. เหยี่ยวตรวจสอบบางส่วนของคุณสมบัติที่น่าสนใจของหมายเลข k-ลูคัสของตัวเองเช่นเดียวกับการมองไปที่ความสัมพันธ์ใกล้ชิดกับหมายเลข k-ฟีโบนักชี หมายเลข k-ลูคัสมีจำนวนมากของคุณสมบัติคล้ายกับที่ของตัวเลข k-Fibonacci และมักจะเกิดขึ้นในสูตรต่างๆไปพร้อม ๆ กันกับหลัง ใน [13], Yazlik, Yilmaz และ Taskara ตรวจสอบสารเติมแต่งบาง proporties ของลำดับฟีโบนักชี-k และ k-ลูคัสและได้รับตัวตนใหม่ในผลรวมของอำนาจลำดับเหล่านี้และได้รับความสัมพันธ์ที่เกิดขึ้นอีกสำหรับอำนาจของ k-Fibonacci และลำดับ k-ลูคัส . นอกจากนี้พวกเขาจะได้รับสูตรใหม่สำหรับอำนาจของ k-Fibonacci และลำดับ k-ลูคัส งวงช้างและ Hemenway [7] ค้นพบปัจจัยการแสดงออกรูปแบบปิดสำหรับผลรวมทั้งหมดของรูปแบบที่ r เป็นจำนวนเต็ม ใน [4], เจนนิงส์นำเสนอบางส่วนอัตลักษณ์ที่โดดเด่นระดับประถมศึกษาสำหรับผลรวมของอำนาจของส่วนกลับของตัวเลข Fibonacci และลูคัส ใน [6] Melham ได้รับการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องกับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของตัวเลข Fibonacci และทฤษฎีบทที่สอดคล้องสำหรับตัวเลขที่ลูคัส ใน [1], อเล็กซ์และ Hongwei ได้สูตรที่ให้อำนาจของตัวเลข Fibonacci โดยใช้การสร้างฟังก์ชั่น ในบทความนี้เราจะนำเสนอผลรวมของสมาชิกติดต่อกันของตัวเลข k-Fibonacci และสิ่งเดียวกันสำหรับแม้แต่และสำหรับตัวเลข k-Fibonacci แปลก. 2 บันทึกเบื้องต้นใน [16], ราเจและ Leversha กำหนดคุณสมบัติบางส่วนของตัวเลขฟีโบนักชีในแง่แปลก ใน [19], Zvonko cERIN กำหนดบางผลบวกของกำลังสองของแปลกและแม้แง่ของลำดับลูคัส ใน [20], Zvonko cERIN ช่วยเพิ่มผลบางประการเกี่ยวกับผลรวมของสี่เหลี่ยมของคำแปลกของลำดับฟีโบนักชีโดยราเจและ Leversha ใน [5], เอชและเอฟ Belbachir Bencherif ฟื้นตัวและขยายผลทั้งหมด Zvonko cERIN [18, 2005] และ Zvonko cERIN และ Gianella [22, 2006] ใน [21] Zvonko cERIN และ Gianella กำหนดผลรวมของตัวเลขเพลล์ ในบทความนี้เรากำหนดผลรวมของสมาชิกติดต่อกันของตัวเลข k-Fibonacci. 3 ผลการหลักในส่วนนี้เราพิสูจน์สูตรบางอย่างสำหรับผลบวกของจำนวน จำกัด ของวาระติดต่อกันของตัวเลข Fibonacci ชอบ ครั้งแรกที่เราพบสูตรสำหรับเวลาและเป็นจำนวนเต็ม

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

( 1.5 )
สูตรสำหรับ k-fibonacci k-lucas บิเนต์และตัวเลขจะได้รับโดย
( 1.6 )
( 1.7 )
( 1.6 ) & ( 1.7 ) .
, ;
;
.

[ 10 ] ลำดับ k-fibonacci ใหม่ทั่วไปได้รับการแนะนำและการศึกษา หลายคุณสมบัติของลำดับเหล่านี้จะพิสูจน์โดยพีชคณิตเมทริกซ์ง่ายๆการศึกษานี้ได้รับแรงจูงใจจากที่เกิดขึ้นสองที่ซับซ้อนมูลค่าแผนที่แสดงสองบุคคลในเฉพาะสี่เหลี่ยม ฉากกั้นห้อง ใน [ 12 ] , นกเหยี่ยวและพลาซ่า K - ลำดับ Fibonacci เช่นนี้ได้ขยายระหว่างผู้อื่น ทั้งคลาสสิกและเพล Fibonacci ลำดับลำดับ ในกระดาษนี้ คุณสมบัติมากมายของตัวเลขเหล่านี้ได้และที่เกี่ยวข้องกับ 2-triangle ปาสกาล ที่เรียกว่าลำดับทั่วไป k-fibonacci ใหม่ได้รับการแนะนำและการศึกษา หลายคุณสมบัติของตัวเลขเหล่านี้ได้และที่เกี่ยวข้องกับ 2-triangle ปาสกาล ที่เรียกว่า นอกจากนี้ การสร้างฟังก์ชันสำหรับลำดับ k-fibonacci เหล่านี้ได้รับ [ 9 ] , ฟอลคอนปัจจุบัน ลูคัส สามเหลี่ยม และความสัมพันธ์กับ k-lucas ตัวเลข สูตรสำหรับ k-lucas เชิงตัวเลขสร้างฟังก์ชันและกำหนดสมบัติของเส้นทแยงมุมของสามเหลี่ยม ลูคัส กับ แถวสามเหลี่ยม ลูคัส [ 8 ] , S . ฟอลคอน ศึกษาคุณสมบัติของ k-lucas ตัวเลขและจะพิสูจน์คุณสมบัติเหล่านี้จะเกี่ยวข้องกับ k-fibonaci ตัวเลข จากลำดับของตัวเลข k-fibonacci พิเศษ , k-lucas ลำดับจะได้รับในรูปแบบธรรมชาติ เอส. ฟอลคอนตรวจสอบบางส่วนของคุณสมบัติที่น่าสนใจของ k-lucas ตัวเลขเอง รวมทั้งมองความสัมพันธ์ใกล้ชิดกับ k-fibonacci ตัวเลข การ k-lucas ตัวเลขมีจำนวนมากจากคุณสมบัติคล้ายกับบรรดาของตัวเลข k-fibonacci และมักจะเกิดขึ้นในสูตรผสมต่างๆ พร้อมกันกับที่หลัง ใน [ 13 ] yazlik ô taskara , และ ,สืบ proporties เติม k-fibonacci k-lucas และลำดับและได้รับชื่อใหม่ในผลรวมของพลังลำดับเหล่านี้และได้รับการประชาสัมพันธ์และพลังของ k-fibonacci k-lucas ลำดับ นอกจากนี้พวกเขาจะได้รับสูตรใหม่สำหรับอำนาจของ k-fibonacci k-lucas และลำดับแคลรี่ และเ มนเวย์ [ 7 ] ค้นพบประกอบปิดแบบฟอร์มการแสดงออกสำหรับผลรวมทั้งหมดของแบบฟอร์มที่ R เป็นจำนวนเต็ม ใน [ 4 ] , เจนนิงส์ที่นำเสนอตัวตนประถมที่ไม่ธรรมดาสำหรับผลรวมของพลังแห่ง reciprocals ของ Fibonacci และลูคัส ตัวเลข ใน [ 6 ] , melham พิสูจน์ทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องกับจำนวนของผลิตภัณฑ์ของตัวเลข Fibonacci และสอดคล้องของลูคัส ตัวเลข ใน [ 1 ]อเล็กซ์และ Hongwei ได้รับสูตรที่ให้พลังของตัวเลข Fibonacci โดยใช้การสร้างฟังก์ชัน ในกระดาษนี้เราเสนอผลรวมของหมายเลขสมาชิกติดต่อกัน k-fibonacci และสิ่งเดียวกัน แม้ และตัวเลข k-fibonacci คี่

2
โน้ตเบื้องต้น [ 16 ] , ราเยส leversha นิยามและสมบัติบางประการของตัวเลข Fibonacci ในแง่ที่แปลก ใน [ 19 ]zvonko ชา Erin กำหนดบางผลรวมของกำลังสองของแปลกและแง่ของลูคัสลำดับ ใน [ 20 ] , zvonko ชา Erin ปรับปรุงผลลัพธ์บางอย่างบนผลรวมของสี่เหลี่ยมรูปคี่ของ Fibonacci ลำดับโดย ราเยส และ leversha . ใน [ 5 ] , h belbachir และ f . บองเชคริฟกู้และขยายทั้งหมด ผลของ zvonko ชา Erin [ 18 ปี ] และ zvonko ชาเอริน และ gianella [ 22 , 2006 ]ใน [ 21 ] zvonko ชาและผลรวมของตัวเลขที่กำหนด เอริน gianella เพล ในกระดาษนี้เรากำหนดผลรวมของตัวเลข k-fibonacci ติดต่อกันของสมาชิก .

3
ผลหลักในส่วนนี้ เราพิสูจน์สูตรบางสูตรสำหรับผลรวมของจำนวนที่จำกัดของเงื่อนไขการติดต่อกันของ Fibonacci ชอบตัวเลข ก่อนอื่นเราหาสูตรสำหรับเวลาและเป็นจำนวนเต็ม .