contribute a factor of:(1 + x2)(1 +

contribute a factor of:
(1 + x
2
)(1 + x
4
)(1 + x
6
)· · ·
to the overall generating function.
The odd parts can be treated in the usual fashion. One contributes a factor of
1 + x + x
2 + · · · =
1
1 − x
.
Three contributes a factor of
1 + x
3 + x
6 + x
9 + · · · =
1
1 − x
3
.
And so on with the odd parts.
Thus the generating function for the number of partitions of a number into parts which have
at most one of each distinct even part is:
(1 + x
2
)(1 + x
4
)(1 + x
6
)· · ·
(1 − x)(1 − x
3)(1 − x
5)· · ·
.
The generating function for the number of partitions of a number in which each part can appear
at most three times is:
(1 + x + x
2 + x
3
)(1 + x
2 + x
4 + x
6
)(1 + x
3 + x
6 + x
9
)· · · =
(1 − x
4
)(1 − x
8
)(1 − x
12)· · ·
(1 − x)(1 − x
2)(1 − x
3)· · ·
.
We now wish to show that these two are equal, i.e.:
(1 + x
2
)(1 + x
4
)· · ·
(1 − x)(1 − x
3)· · ·
=
(1 − x
4
)(1 − x
8
)(1 − x
12)· · ·
(1 − x)(1 − x
2)(1 − x
3)· · ·
.
Common to the denominator on both sides is (1 − x)(1 − x
3
)· · · so we can cancel that out:
(1 + x
2
)(1 + x
4
)(1 + x
6
)· · · =
(1 − x
4
)(1 − x
8
)(1 − x
12)· · ·
(1 − x
2)(1 − x
4)(1 − x
6)· · ·
Now, using the fact that a
2 − b
2 = (a + b)(a − b) the (1 + x
2
)(1 + x
4
)(1 + x
6
)· · · cancels on the
right hand side. Thus we are left with:
(1 + x
2
)(1 + x
4
)(1 + x
6
)· · · = (1 + x
2
)(1 + x
4
)(1 + x
6
)· · · .
This is indeed true so we are done.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ปัจจัยของการมีส่วนร่วม:
(1 x
2
) (1 x
4
) (1 x
6
) ···
เพื่อสร้างฟังก์ชันได้โดยรวม
ส่วนคี่สามารถรักษาในแฟชั่นปกติได้ หนึ่งรวมตัวคูณของ
1 x x
2 ··· =
1
1 − x
.
สามก่อตัวของ
1 x
3 x
6 x
9 ··· =
1
1 − x
3
.
และ มีส่วนคี่
ดังนั้นฟังก์ชันสร้างจำนวนพาร์ติชันเป็นส่วนที่มีจำนวน
มากที่สุดของแต่ละส่วนได้หมดคือ:
(1 x
2
) (1 x
4
) (1 x
6
) ···
()(1 − x
3) x 1 − (1 − x
5) ···
.
ฟังก์ชันสร้างจำนวนพาร์ติชันของตัวเลขซึ่งแต่ละส่วนสามารถแสดง
มากที่สุด 3 ครั้งคือ:
(1 x x
2 x
3
) (1 x
2 x
4 x
6
) (1 x
3 x
6 x
9
) ··· =
(1 − x
4
)(1 − x
8
) (1 − x
12) ···
()(1 − x
2) x 1 − (1 − x
3) ···
.
ตอนนี้เราต้องการจะแสดงสองเท่า i.e.:
(1 x
2
)(1 x
4
) ···
(1 − x)(1 − x
3) ···
=
(1 − x
4
) (1 − x
8
) (1 − x
12) ···
()(1 − x
2) x 1 − (1 − x
3) ···
.
ร่วมตัวหารทั้งสองข้างเป็น (1 − x)(1 − x
3
) ···เพื่อให้เราสามารถยกเลิกการออก:
(1 x
2
) (1 x
4
) (1 x
6
) ··· =
(1 − x
4
) (1 − x
8
) (1 − x
12) ···
(1 − x
2) (1 − x
4) (1 − x
6) ···
ตอนความจริงที่เป็น
2 − b
2 = (b)(a − b) (1 x
2
) (1 x
4
) (1 x
6
) ···ยกเลิกบน
ขวามือ ดังนั้น เราจะเหลือไว้กับ:
(1 x
2
) (1 x
4
) (1 x
6
) ··· = (1 x
2
) (1 x
4
) (1 x
6
) ···.
นี้เป็นความจริงดังนั้นเราจะทำ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

นำปัจจัยจาก:
(1 + x
2
) (1 + x
4
) (1 + x
6
) ···
การสร้างฟังก์ชั่นโดยรวม
ชิ้นส่วนที่แปลกสามารถรักษาได้ในแฟชั่นปกติ หนึ่งในปัจจัยที่มีส่วนช่วยในการ
1 + x + x
2 + ··· =
1
1 - x
.
สามส่วนปัจจัยที่
1 + x
3 + x
6 x +
9 + ··· =
1
1 - x
3
.
และอื่น ๆ กับชิ้นส่วนที่แปลก
ดังนั้นฟังก์ชั่นที่ก่อให้เกิดจำนวนของพาร์ทิชันของตัวเลขเป็นส่วนที่มี
มากที่สุดคนหนึ่งของแต่ละส่วนที่แตกต่างได้คือ
(1 + x
2
) (1 + x
4
) (1 + x
6
) · ··
(1 - x) (1 - x
3) (1 - x
5) ···
.
ฟังก์ชั่นที่ก่อให้เกิดจำนวนของพาร์ทิชันของจำนวนที่แต่ละส่วนจะปรากฏ
ที่มากที่สุดสามครั้งคือ
(1 + x + x
2 + x
3
) (1 + x
2 + x
+ 4 x
6
) (1 + x
3 + x
6 + x
9
) ··· =
(1 - x
4
) (1 - x
8
) (1 - x
12) ···
(1 - x) (1 - x
2) (1 - x
3) ···
.
ตอนนี้เราต้องการที่จะแสดงให้เห็นว่าทั้งสองเท่ากันเช่น:
(1 + x
2
) (1 + x
4
) ···
(1 - x) (1 - x
3) ···
=
(1 - x
4
) (1 - x
8
) (1 - x
12) ···
(1 - x) (1 - x
2) (1 - x
3) ···
.
สามัญเพื่อหารทั้งสองด้านคือ (1 - x) (1 - x
3
) ···เพื่อให้เราสามารถยกเลิกการที่ออกมา:
(1 + x
2
) (1 + x
4
) (1 + x
6
) ··· =
(1 - x
4
) (1 - x
8
) (1 - x
12) ···
(1 - x
2) (1 - x
4) (1 - x
6) ···
ตอนนี้ใช้ความจริงที่ว่า
2 - ข
2 = (b +) (- ข) (1 + x
2
) (1 + x
4
) (1 + x
6
) ···ยกเลิก ใน
ด้านขวามือ ดังนั้นเราจะเหลือ:
(1 + x
2
) (1 + x
4
) (1 + x
6
) ··· = (1 + x
2
) (1 + x
4
) (1 + x
6
) ···
นี่คือความจริงแน่นอนดังนั้นเราจึงทำ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

สนับสนุนปัจจัย :
1 x
2
) ( 1 x
4
) ( 1 x
6
) · · ·
ไปโดยสร้างฟังก์ชัน .
ส่วนที่แปลกสามารถรักษาในแฟชั่นปกติ หนึ่งจัดสรรปัจจัย
1 x x
2 · · · =
1
1 − x
.
3 จัดสรรปัจจัย
1 x
3 x
6 x
9 · · · =
1
1 − x
3
.
และอื่น ๆ กับส่วนที่แปลก
ดังนั้นการสร้างฟังก์ชันสำหรับจำนวนของพาร์ทิชันของเลขที่เป็นส่วนซึ่งมี
ที่ที่สุดของแต่ละที่แตกต่างกันแม้ส่วนหนึ่งคือ :
1 x
2
) ( 1 x
4
) ( 1 x
6
) · · ·
( 1 − ( − 1 X ) x
3 ( − 1 ) x
5 ) · · ·
.
สร้างฟังก์ชันสำหรับจำนวนของพาร์ทิชันของจํานวน ซึ่งในแต่ละส่วนสามารถปรากฏ
มากที่สุดสามครั้ง :
1 x x
2 x
3
) ( 1 x
2 X
4 x
6
) 1 x
3 x
6 x
9
) · · · =
( x
4
1 − ( − 1 ) x (
8
) ( 1 − x

( 12 ) · · · 1 − ( − 1 X ) x
2 ) ( x
1 − 3 ) · · ·
.
ตอนนี้เราต้องการที่จะแสดงให้เห็นว่าทั้งสองจะเท่ากัน คือ :
( 1 x
2
) ( 1 x
4
) · · ·
( 1 − ( − 1 X ) x
3 ) · · ·
=
( x
4
1 − ( − 1 ) x (
8
) ( x
1 − 12 ) · · ·
( 1 − ( − 1 X ) x
2 ) ( x
1 − 3 ) · · ·
.
ทั่วไปตัวส่วนทั้งสองด้าน ( 1 − ( − 1 X ) x
3
) · · · ดังนั้นเราสามารถยกเลิกออก :
( x
2
1 ) ( 1 x
3
) ( 1 x
6
) · · · =
( 1 − 4

x) ( x
8
1 − ( − 1 ) x

( 12 ) · · · 1 − ( − 1 x
2 )
4 X ( x
1 − 6 ) · · ·
ตอนนี้ใช้ความจริงที่ว่า
2 − b
2 = ( b ) เป็น− B ) ( 1 x
2
) ( 1 x
4
) ( 1 x
6
) · · ·ยกเลิกบน
ทางด้านขวามือ ดังนั้นเราจะเหลือ :
1 x
2
) ( 1 x
4
) ( 1 x
6
) · · · = 1 x
2
) ( 1 x
4
) ( 1 x
6
) · · · .
นี่แน่นอนจริงดังนั้นเรา
เสร็จแล้ว