The next lemma is very important, and I'll often use it in showing that a given function is bijective.
Lemma. Let S and T be sets, and let f : S → T be a function. f is invertible if and only if f is both
injective and surjective.
Proof. (→) Suppose that f is both injective and surjective. I'll construct the inverse function f
−1
: T → S.
Take t ∈ T. Since f is surjective, there is an element s ∈ S such that f(s) = t. Moreover, s is unique:
If f(s) = t and f(s
′
) = t, then f(s) = f(s
′
). But f is injective, so s = s
′
.
Define
f
−1
(t) = s.
I have defined a function f
−1
: T → S. I must show that it is the inverse of f.
Let s ∈ S. By definition of f
−1
, to compute f
−1
(f(s)) I must find an element Moe ∈ S such that
f(Moe) = f(s). But this is easy — just take Moe = s. Thus, f
−1
(f(s)) = s.
Going the other way, let t ∈ T. By definition of f
−1
, to compute f (f
−1
(t)) I find an element s ∈ S
such that f(s) = t. Then f
−1
(t) = s, so
f (f
−1
(t)) = f(s) = t.
Therefore, f
−1
really is the inverse of f.
(←) Suppose f has an inverse f
−1
: T → S. I must show f is injective and surjective.
To show that f is surjective, take t ∈ T. Then f (f
−1
(t)) = t, so I've found an element of S — namely
f
−1
(t) — which f maps to t. Therefore, f is surjective.
To show that f is injective, suppose s
1
, s
2
∈ S and f(s
1
) = f(s
2
). Then
f
−1
(f(s
1
)) = f
−1
(f(s
2
)) , so s
1
= s
2
.
Therefore, f is injective.
The next lemma is very important, and I'll often use it in showing that a given function is bijective.Lemma. Let S and T be sets, and let f : S → T be a function. f is invertible if and only if f is bothinjective and surjective.Proof. (→) Suppose that f is both injective and surjective. I'll construct the inverse function f−1: T → S.Take t ∈ T. Since f is surjective, there is an element s ∈ S such that f(s) = t. Moreover, s is unique:If f(s) = t and f(s′) = t, then f(s) = f(s′). But f is injective, so s = s′.Definef−1(t) = s.I have defined a function f−1: T → S. I must show that it is the inverse of f.Let s ∈ S. By definition of f−1, to compute f−1(f(s)) I must find an element Moe ∈ S such thatf(Moe) = f(s). But this is easy — just take Moe = s. Thus, f−1(f(s)) = s.Going the other way, let t ∈ T. By definition of f−1, to compute f (f−1(t)) I find an element s ∈ Ssuch that f(s) = t. Then f−1(t) = s, sof (f−1(t)) = f(s) = t.Therefore, f−1really is the inverse of f.(←) Suppose f has an inverse f−1: T → S. I must show f is injective and surjective.To show that f is surjective, take t ∈ T. Then f (f−1(t)) = t, so I've found an element of S — namelyf−1(t) — which f maps to t. Therefore, f is surjective.To show that f is injective, suppose s1, s2∈ S and f(s1) = f(s2). Thenf−1(f(s1)) = f−1(f(s2)) , so s1= s2.Therefore, f is injective.
การแปล กรุณารอสักครู่..
ที่แทรกถัดไปเป็นสิ่งสำคัญมาก และฉันก็มักจะใช้มันในการแสดงที่ได้รับฟังก์ชันทั่วถึง .
พ . ให้ S และ T เป็นชุด ให้ F : S → keyboard - key - name ไม่ใช่ฟังก์ชัน F invertible ถ้าและเพียงถ้า f เป็นหนึ่งต่อหนึ่ง และทั่วถึงทั้ง
.
พิสูจน์ ( → keyboard - key - name ) สมมติว่า f เป็นหนึ่งต่อหนึ่ง และทั่วถึง . ฉันจะสร้างผกผันของฟังก์ชัน f
− 1
: T
T → keyboard - key - name . ใช้∈ต. ตั้งแต่ทั่วถึง f ,มีองค์ประกอบของ∈เช่นว่า F ( s ) = T . นอกจากนี้ , มีเอกลักษณ์ :
ถ้า F ( s ) = t และ F ( S
นั้น
) = t , F ( s ) = f ( S นั้น
) แต่ถ้าเป็นหนึ่งต่อหนึ่ง ดังนั้น S = S นั้น
.
นิยาม
f
− 1
( t ) = S .
ผมนิยามฟังก์ชัน f
− 1
: T → keyboard - key - name ฉันต้องแสดงให้เห็นว่ามันเป็นตรงกันข้ามของ F .
ให้∈ S . โดยนิยาม F − 1
คำนวณหา f
− 1
( F ( s ) ผมต้องหาองค์ประกอบโมเอะ∈ s เช่น
F ( โมเอะ ) = F ( s )แต่นี้เป็นเรื่องง่าย -- เพียงแค่ใช้โมเอะ = . ดังนั้น , f
− 1
( F ( s ) = S .
ไปทางอื่น ให้ T ∈ T . โดยนิยามของ− f
1
, ค่า F ( f
− 1
( t ) ) พบองค์ประกอบของ∈ s
เช่น F ( s ) = − 1 ที แล้ว f
( t ) = S ,
F ( f
− 1
( t ) = F ( s ) = T .
ดังนั้น F − 1
จริงๆ 3 F .
( ← ) สมมติว่า F มีผกผัน f
− 1
: T → keyboard - key - name ฉันต้องแสดง f
หนึ่งต่อหนึ่ง และทั่วถึง .เพื่อแสดงให้เห็นว่า F ทั่วถึง ใช้เวลาไม่∈ที แล้ว f ( f
− 1
( t ) = t , ดังนั้นฉันได้พบองค์ประกอบของ S - F )
− 1
( T ) F - ซึ่งแผนที่ ที ดังนั้น F ทั่วถึง .
แสดงว่า F เป็นหนึ่งต่อหนึ่ง สมมติว่า S
1
, s
2
∈ s และ f ( S
1
) = f ( S
3
) แล้ว
F − 1
( F ( S
1
) = − 1 f
( F ( S
3
) ) ดังนั้น S
1
= s
2
.
ดังนั้น F และ .
การแปล กรุณารอสักครู่..