Reasons for choosing G arguments. O

Reasons for choosing G arguments. Only four stu-
dents in the sample of 22 students chose the G argument
as more convincing than the EB argument, an expected
finding given that extant research shows that students
tend to have difficulties producing G arguments. Among
these four students, two categories of reasons for choos-
ing G arguments emerged: (a) examples insufficient
for general case and (b) G argument provides more
explanation.
Examples are insufficient to treat general case. Two of
the four students justified their choice of the G argument
by discussing how examples were not enough to explain
why the sum of three consecutive numbers is an odd
number for all consecutive numbers. The two responses
coded into this category are shown below.
S7: Because it doesn’t give a bunch of examples, it
just tells you, it explains why. It doesn’t give you
examples . . . because like I don’t know, because
there’s a million different numbers and you’d have to
show all of them to make sure it’s true (D2A11, Inter-
view, February 27, 2009).
S8: Because it’s explaining it, it’s like explaining it
other than response A which just picked random
numbers showing that it’s, that it works and B is
explaining what it means and how and why it’s like
that . . . because it could work for them and not work
for others (D2A07, Interview, February 27, 2009).
While S7’s response discusses how a “bunch” of
examples are insufficient, it also reveals the student’s
understanding of proof by exhaustion. The student has
determined that the domain to which the statement applies
is “a million different numbers,” and one could only show
such a statement to be true if it would work for all of those
numbers. This echoes the reasoning of S8, whose justifi-
cation reveals disbelief that examples can justify a state-
ment is true for the general case by saying “because it
could work for them and not work for others.” In both of
these responses, it is evident that students are aware of the
potential for counterexample and are arguing that logical
reasoning is necessary for a convincing argument.
G argument gives more explanation. For two of the
four students who chose the G response, it was clear in
their justifications that students understood both the limits
of just providing examples and the need for a justification
to explain, mathematically, why the statement is true:
Volume 114 (4)

Evaluations of Arguments
S9: What I learned is when I was going through math
and that in any odd and any even that you add will
always add up to an odd number. And they explain that
in this. Because it goes odd, even, odd, even through
all the numbers. And then this one, they just give you
examples. They don’t really explain that an odd, or
like any odd plus any even (D1B03, Interview, Febru-
ary 23, 2009).

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เหตุผลสำหรับการเลือกอาร์กิวเมนต์ G เฉพาะ 4 stu-dents ในตัวอย่างของนักเรียน 22 เลือกอาร์กิวเมนต์ Gเป็นที่น่าเชื่อถือมากขึ้นกว่าอาร์กิวเมนต์ EB ที่คาดว่าfinding ระบุว่างานวิจัยยังแสดงให้เห็นว่านักเรียนมักจะ มี difficulties ที่ผลิตอาร์กิวเมนต์ G ระหว่างนักเรียน 4 ประเภทสองประการสำหรับ choosอาร์กิวเมนต์ ing G เกิด: insufficient (a) ตัวอย่างสำหรับกรณีทั่วไปและ (b) G อาร์กิวเมนต์ให้มากขึ้นอธิบาย ตัวอย่างคือ insufficient ในการรักษากรณีทั่วไป สองjustified นักเรียน 4 การเลือกอาร์กิวเมนต์ Gโดยการอภิปรายวิธีตัวอย่างไม่เพียงพอที่จะอธิบายทำไมจึงเป็นผลรวมของตัวเลขติดกันสามอินหมายเลขสำหรับหมายเลขติดกันทั้งหมด คำตอบ 2มีกำหนดในประเภทนี้จะแสดงอยู่ด้านล่างS7: เนื่องจากมันไม่ให้กลุ่มตัวอย่าง มันเพียงบอกคุณ มันอธิบายเหตุ มันไม่ให้คุณตัวอย่าง...เนื่องจากต้องทราบว่า เนื่องจากมีเป็นล้านตัวเลขแตกต่างกัน และคุณจะต้องแสดงทั้งหมดให้แน่ใจว่ามันเป็นความจริง (D2A11 อินเตอร์ -ดู 27 กุมภาพันธ์)S8: เนื่องจากมันจะอธิบายมัน มันเป็นเหมือนอธิบายมันไม่ใช่ตอบสนอง ซึ่งเป็นเพียงเลือกสุ่มแสดงว่า มัน ที่ทำงานและ B เป็นตัวเลขอธิบายความหมายและวิธีการ และเหตุผลเป็นเช่นว่าเนื่องจากมันสามารถทำงานสำหรับพวกเขา และไม่ทำงานคน (D2A07 สัมภาษณ์ 27 กุมภาพันธ์ 2009) ในขณะที่การตอบสนองของ S7 อธิบายว่า "พวง" ของอย่าง insufficient นอกจากนี้ยังพบของนักเรียนทำความเข้าใจกันโดยผ่าน นักเรียนมีกำหนดที่โดเมนที่ใช้คำสั่งเป็น "ล้านแตกต่างเลข" และหนึ่งสามารถแสดงเฉพาะคำสั่งดังกล่าวจะเป็นจริงถ้ามันจะทำงานทั้งหมดของผู้หมายเลข นี้ echoes เหตุผลของ S8, justifi มี-cation พบว่า ตัวอย่างสามารถจัดสถานะเป็น - disbeliefติดขัดเป็นจริงสำหรับกรณีทั่วไปโดยบอกว่า "เพราะมันสามารถทำงานสำหรับพวกเขา และผู้อื่นได้" ในทั้งสองตอบสนองเหล่านี้ จึงเห็นได้ชัดว่า นักเรียนได้ตระหนักถึงการอาจ counterexample และจะโต้เถียงว่า ตรรกะเหตุผลเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับอาร์กิวเมนต์ที่น่าเชื่อถือ อาร์กิวเมนต์ G ให้คำอธิบายเพิ่มเติม สำหรับสองสี่นักเรียนเลือกคำตอบ G เป็นชัดเจนในjustifications ความว่า นักเรียนเข้าใจขีดจำกัดทั้งเพียงให้ตัวอย่างและต้องการ justificationอธิบาย mathematically ทำไมยอดเป็นจริง:เล่ม 114 (4) ประเมินของอาร์กิวเมนต์S9: ที่ฉันเรียนรู้เมื่อกำลังผ่านคณิตศาสตร์และที่คี่ใด ๆ และมีแม้กระทั่งที่คุณเพิ่มจะจะเพิ่มขึ้นไปเป็นเลขคี่ และจะอธิบายที่ในการนี้ เนื่องจากมันไปคี่ แม้ แปลก แม้ผ่านเลขทั้งหมด แล้ว คนนี้ พวกเขาเพียงให้คุณตัวอย่างการ พวกเขาจริง ๆ ไม่อธิบายที่อันคี่ หรือเช่นคี่ใด ๆ บวกใด ๆ แม้ (D1B03 สัมภาษณ์ Febru-ary 23, 2009)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เหตุผลที่เลือกข้อโต้แย้ง G เพียงสี่ stu-
บุบในกลุ่มตัวอย่างที่ 22 นักเรียนเลือกอาร์กิวเมนต์ G
เป็นที่น่าเชื่อถือมากกว่าอาร์กิวเมนต์ EB, คาดว่า
Fi Nding ที่ได้รับการวิจัยแสดงให้เห็นว่ายังหลงเหลืออยู่นักเรียน
มักจะมี culties Fi dif ผลิตข้อโต้แย้ง G ในบรรดา
สี่เหล่านี้นักเรียนสองประเภทของเหตุผลในการ choos-
ข้อโต้แย้งไอเอ็นจีจีโผล่ออกมา (ก) ตัวอย่าง insuf เพียงพอ Fi
สำหรับกรณีทั่วไปและ (ข) การโต้แย้ง G ให้มากขึ้น
คำอธิบาย.
ตัวอย่างมีเพียงพอ Fi insuf การรักษากรณีทั่วไป สอง
สี่นักเรียน Justi Fi ed ทางเลือกของการโต้แย้ง G
โดยการพูดคุยว่าตัวอย่างไม่เพียงพอที่จะอธิบาย
ว่าทำไมผลรวมของเลขสามติดต่อกันเป็นคี่
จำนวนหมายเลขติดต่อกันทั้งหมด สองคำตอบ
รหัสในประเภทนี้มีการแสดงด้านล่าง.
S7: เพราะมันไม่ได้ให้พวงของตัวอย่างก็
เพียงแค่จะบอกคุณก็อธิบายว่าทำไม มันไม่ได้ช่วยให้คุณ
ตัวอย่าง . . เพราะชอบผมไม่ทราบเพราะ
มีล้านตัวเลขที่แตกต่างกันและคุณจะต้อง
แสดงให้เห็นทั้งหมดของพวกเขาเพื่อให้แน่ใจว่ามันเป็นความจริง (D2A11, อินเตอร์
วิว, 27 กุมภาพันธ์ 2009).
S8: เพราะมันอธิบายมันก็ เช่นอธิบาย
อื่น ๆ นอกเหนือจากการตอบสนองที่เพิ่งหยิบสุ่ม
ตัวเลขแสดงให้เห็นว่ามันเป็นที่ทำงานและ B จะ
อธิบายสิ่งที่มันหมายถึงและวิธีการและเหตุผลมันก็เหมือน
ว่า . . เพราะมันสามารถทำงานสำหรับพวกเขาและไม่ทำงาน
สำหรับคนอื่น ๆ (D2A07 สัมภาษณ์, 27 กุมภาพันธ์ 2009).
ในขณะที่การตอบสนองของ S7 กล่าวถึงวิธีการ "พวง" ของ
ตัวอย่างเพียงพอ Fi insuf ก็ยังแสดงให้เห็นว่านักเรียน
เข้าใจการพิสูจน์จากความเหนื่อยล้า นักเรียนได้
กำหนดว่าโดเมนที่ใช้คำสั่ง
คือ "ล้านตัวเลขที่แตกต่าง" และเพียงคนเดียวที่สามารถแสดง
คำสั่งดังกล่าวจะเป็นจริงว่ามันจะทำงานสำหรับทุกคนที่
หมายเลข นี้สะท้อนเหตุผลของ S8 ซึ่ง Fi- Justi
ไอออนบวกแสดงให้เห็นว่าไม่เชื่อว่าตัวอย่างสามารถปรับ State-
ment เป็นจริงสำหรับกรณีทั่วไปโดยกล่าวว่า "เพราะมัน
สามารถทำงานสำหรับพวกเขาและไม่ทำงานสำหรับคนอื่น ๆ . "ในทั้งสอง
ตอบสนองเหล่านี้ เห็นได้ชัดว่านักเรียนมีความตระหนักใน
ศักยภาพในการขัดแย้งและการโต้เถียงที่ตรรกะ
เหตุผลเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการโต้แย้งที่น่าเชื่อ.
อาร์กิวเมนต์ G ให้คำอธิบายเพิ่มเติม สำหรับสองใน
สี่นักเรียนที่เลือกที่ตอบสนอง G มันก็ชัดเจนใน
ไพเพ Fi Justi ของพวกเขาที่นักเรียนเข้าใจทั้งข้อ จำกัด
เพียงการให้ตัวอย่างและความจำเป็นในการประจุบวก Fi Justi
ที่จะอธิบายทางคณิตศาสตร์ทำไมคำสั่งนี้เป็นจริง:
ปริมาณ 114 (4) การประเมินผลของข้อโต้แย้งS9: สิ่งที่ผมได้เรียนรู้คือเมื่อฉันกำลังจะผ่านคณิตศาสตร์และในแปลกและใดแม้กระทั่งว่าคุณเพิ่มจะเสมอเพิ่มขึ้นไปเป็นเลขคี่ และพวกเขาอธิบายว่าในเรื่องนี้ เพราะมันจะไปแปลกแม้กระทั่งแปลกแม้ผ่านตัวเลขทั้งหมด และจากนั้นหนึ่งนี้พวกเขาเพียงแค่ให้คุณตัวอย่าง พวกเขาไม่ได้จริงๆอธิบายว่าแปลกหรือเหมือนคี่บวกใด ๆ แม้กระทั่ง (D1B03 สัมภาษณ์ Febru- ary 23, 2009)

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เหตุผลในการเลือก จี อาร์กิวเมนต์ เพียงสี่สตู -
รอยจำนวน 22 คนเลือก G เป็นอาร์กิวเมนต์
เชื่อมากขึ้นกว่าความคิดเห็นโต้แย้ง คาดว่า
จึงหาที่ได้รับการวิจัยยังแสดงให้เห็นว่านักศึกษา
มักจะมีดิฟจึง culties การผลิต G อาร์กิวเมนต์ ระหว่าง
4 คน สองประเภทของเหตุผลสำหรับการเลือก --
g การชุมนุมไอเอ็นจี ( ) ตัวอย่าง insuf จึง cient
สำหรับกรณีทั่วไปและ ( b ) g อาร์กิวเมนต์ให้คำอธิบายมากกว่า
.
ตัวอย่าง insuf จึง cient เยียวยากรณีทั่วไป 2
4 นักเรียนเชียงรายจึงเอ็ดทางเลือกของ G อาร์กิวเมนต์
โดยพูดถึงว่าตัวอย่างไม่เพียงพอที่จะอธิบาย
ทำไมผลรวมของตัวเลขสามติดต่อกันเป็นเลขคี่
สำหรับตัวเลขติดต่อกันทั้งหมด 2 การตอบสนองในประเภทนี้จะแสดงรหัส

: S7 ด้านล่างเพราะมันไม่ได้ให้พวงของตัวอย่าง มัน
เพิ่งบอกคุณ มันอธิบายได้ว่าทำไม มันไม่ได้ให้คุณ
ตัวอย่าง . . . . . . . เพราะเหมือนไม่รู้ เพราะมันมีเป็นล้านๆ

ตัวเลขและคุณจะต้องแสดงทั้งหมดของพวกเขาเพื่อให้แน่ใจว่ามันเป็นเรื่องจริง ( d2a11 , Inter -
มุมมอง , 27 , กุมภาพันธ์ 2009 ) .
s8 : เพราะมันอธิบาย มันคงเหมือนกับอธิบาย
นอกจากตอบสนองซึ่งจะเลือกสุ่ม
ตัวเลขที่แสดงให้เห็นว่ามันเป็น ที่ทำงาน และ B คือ
อธิบายว่ามันหมายความว่าอะไร และอย่างไร และทำไมถึงชอบ
. . . . . . . . เพราะมันสามารถทำงานสำหรับพวกเขาและไม่ทำงานสำหรับคนอื่น ๆ (
d2a07 , สัมภาษณ์ , 27 กุมภาพันธ์ 2552 ) ในขณะที่ S7
การกล่าวถึงว่า " พวง "
ตัวอย่าง insuf จึง cient มันยังแสดงถึงความเข้าใจของการพิสูจน์โดย
นักเรียนซะอีก นักเรียน
พิจารณาว่าโดเมนที่จะแถลงกับ
" เป็นล้านๆตัวเลข " และหนึ่งสามารถแสดงเฉพาะ
เช่นข้อความเป็นจริง หากจะทำงานทั้งหมดของตัวเลขเหล่านั้น

นี้สะท้อนเหตุผลของ s8 ที่มีแค่ เผยไม่เชื่อว่า การถ่ายทอด -
-
ตัวอย่างสามารถปรับสภาพการเป็นจริงสำหรับกรณีทั่วไป โดยกล่าวว่า " เพราะมัน
สามารถทํางานให้เขาและไม่ทำงานสำหรับคนอื่น ๆ" ทั้ง
คำตอบเหล่านี้จะเห็นได้ว่า นักเรียนมีความตระหนักในศักยภาพ และมีการโต้เถียง counterexample

เหตุผลที่จำเป็นสำหรับอาร์กิวเมนต์ที่น่าเชื่อ .
g การโต้แย้งให้อธิบายเพิ่มเติม 2
4 นักเรียนที่เลือกในการตอบสนองมันก็ชัดเจนในตนเองจึงทำให้นักเรียนเชียงราย

เข้าใจทั้ง จำกัดเพียงให้ตัวอย่างและต้องการเป็นแค่การถ่ายทอด
อธิบายทางคณิตศาสตร์ ทำไมข้อความเป็นจริง

เล่ม 114 ( 4 ) การประเมินผลของอาร์กิวเมนต์
3 : สิ่งที่ฉันได้เรียนรู้เมื่อฉันผ่านคณิตศาสตร์
และที่แปลกและแม้แต่ในใด ๆที่คุณเพิ่มจะเพิ่ม
เสมอ ถึงเป็นเลขคี่ และพวกเขาอธิบายว่า
ในนี้ เพราะมันแปลกแม้คี่ แม้จะผ่าน
ตัวเลขทั้งหมดแล้วนี่ก็แค่ให้คุณ
ตัวอย่าง พวกเขาไม่ได้จริงๆอธิบายว่าแปลกหรือ
เหมือนคี่บวกใด ๆแม้กระทั่ง ( d1b03 , สัมภาษณ์ , febru -
อ้าย




23 , 2009 )