Assumption AThe proof that mathemat

Assumption A
The proof that mathematicians publish as warrants for asserting theorems can, in principle, be translated into fully rigorous formal proofs.
The informal proofs that mathematicians publish are commonly flawed, and are
A Critique of Absolutist Philosophies
By no means wholly reliable (Davis, 1972). Translating them into fully rigorous formal proofs is a major, non-mechanical task. It requires human ingenuity to bridge gaps and to remedy errors. Since the total formalization of mathematics is unlikely to be carried out, what is the value of the claim that informal proofs can be translated into formal proof ‘in principle’? It is an unfulfilled promise, rather than grounds for certainty. Total rigor is an unattained ideal and not a practical reality. Therefore certainty cannot be claimed for mathematical proofs, even if the preceding criticisms are discounted.
Assumption B
Rigorous formal proof can be checked for correctness.
There are now humanly uncheckable informal proofs. Such as the Appel-Haken (1978) proof of the four colour theorem (Tymoczko, 1979). Translated into fully rigorous formal proofs these will be much longer. If these cannot possibly be surveyed by a mathematician, on what grounds can they be regarded as absolutely correct? If such proofs are checked by a computer what guarantees can be given that the software and hardware are designed absolutely flawlessly, and that the software runs perfectly in practice? Given the complexity of hardware and software it seems implausible that these can be checked by a single person. Furthermore, such checks involve an empirical element (i.e., does it run according to design?). if the checking of formal proofs cannot be carried out, or has an empirical element, then any claim of absolute certainty must be relinquished (tymoczko, 1979).
Assumption C
Mathematical theories can be validly translated into formal axiom sets.
The formalization of intuitive mathematical theories in the past hundred years (e.g., mathematical logic, number theory, set theory, analysis) has led to unanticipated deep problems, as the concepts and proofs come under ever more piercing scrutiny, during attempts to explicate and reconstruct them. The satisfactory formalization of the rest of mathematics cannot be assumed to be unproblematic. Until this formalization is carried out it is not possible to assert with certainty that it can be carried out validly. But until mathematics is formalized, its rigour, which is a necessary condition for certainty, falls far short of the ideal
Assumption D
The consistency of these representations (in assumption C) can be checked.
As we know from Godel’s incompleteness theorem, this adds significantly to the burden of assumptions underpinning mathematical knowledge. Thus there are no absolute guarantees of safety.
Each of these four assumption indicates where further problems in establishing certainty of mathematical knowledge may arise. These are not problems concerning

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

อัสสัมชัญ A
พิสูจน์ที่ mathematicians ประกาศเป็นใบสำคัญแสดงสิทธิสำหรับกรรมสิทธิ์ทฤษฎีสามารถ หลัก แปลอย่างเข้มงวดทั้งหมดเป็นหลักฐาน
ปรู๊ฟเป็นที่เผยแพร่ mathematicians บ่อย flawed และมี
A วิจารณ์ของปรัชญา Absolutist
ไม่ได้ทั้งหมดเชื่อถือได้ (Davis, 1972) แปลให้เป็นหลักฐานอย่างเป็นทางการอย่างเข้มงวดเป็นงานที่สำคัญ ไม่ใช่เครื่องกล ต้องมนุษย์ประดิษฐ์คิดค้นการช่องว่าง และ การแก้ไขข้อผิดพลาด ตั้งแต่ formalization รวมของคณิตศาสตร์ไม่น่าทำ ค่าเคลมว่า สามารถแปลเป็นหลักฐานเป็นหลักฐานอย่างเป็นทางการ 'ในหลัก' คืออะไร มันเป็นสัญญาไม่บรรลุผล มากกว่าเหตุผลแน่นอน Rigor รวมเป็นเหมาะ unattained และไม่ปฏิบัติจริง ดังนั้น แน่นอนไม่สามารถขอคืนสำหรับหลักฐานทางคณิตศาสตร์ แม้ว่าวิจารณ์ก่อนหน้านี้มีส่วนลด.
B อัสสัมชัญ
สามารถตรวจสอบหลักฐานอย่างเป็นทางการอย่างเข้มงวดในความถูกต้อง
ตอนนี้มีหลักฐานที่เป็นมนุษย์ธรรมดา uncheckable เช่นหลักฐาน Appel Haken (1978) ของทฤษฎีบทสี่สี (Tymoczko, 1979) แปลเป็นปรู๊ฟทางอย่างเข้มงวดทั้งหมดเหล่านี้จะมีความยาวมาก ถ้าเหล่านี้ไม่อาจจะสำรวจตามที่นักคณิตศาสตร์ ใดรองรับความสามารถพวกเขาถือเป็นอย่างถูกต้องหรือไม่ หากหลักฐานดังกล่าวจะตรวจสอบคอมพิวเตอร์สิ่งค้ำประกันได้ระบุว่าซอฟต์แวร์และฮาร์ดแวร์ออกแบบอย่างไม่มีที่ติ และซอฟต์แวร์ทำงานอย่างสมบูรณ์ในทางปฏิบัติ กำหนดความซับซ้อนของฮาร์ดแวร์และซอฟต์แวร์เหมือนไม่น่าเชื่อว่า เหล่านี้สามารถตรวจสอบ โดยบุคคลเดียว นอกจากนี้ การตรวจสอบดังกล่าวเกี่ยวข้องกับองค์ประกอบรวม (เช่น ไม่ก็ทำงานตามการออกแบบ) ถ้าตรวจสอบหลักฐานอย่างเป็นทางไม่สามารถดำเนิน หรือมีองค์รวม การเรียกร้องใด ๆ ของความแน่นอนสัมบูรณ์ต้อง relinquished (tymoczko, 1979) .
อัสสัมชัญ C
ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์สามารถ validly แปลชุดสัจพจน์อย่างเป็นทางการ
formalization ของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ง่ายในอดีตร้อยปี (เช่น ตรรกศาสตร์เชิงคณิตศาสตร์ ทฤษฎีจำนวน ทฤษฎีเซต วิเคราะห์) ได้นำไปสู่สภาวะปัญหาลึก เป็นแนวคิดและหลักฐานมาใต้เคยขึ้นเจาะ scrutiny ระหว่างความพยายามที่จะ explicate และสร้างเหล่านั้นได้ Formalization พอของคณิตศาสตร์ไม่สามารถทึกทักเอาเป็น unproblematic จนกระทั่งดำเนินการ formalization นี้ จะไม่สามารถยืนยันรูปกับความแน่นอนที่มันสามารถทำ validly แต่วิชาคณิตศาสตร์เป็นอย่างเป็นทาง จนกว่า เป็นนิตย์ซึ่งเป็นเงื่อนไขจำเป็นสำหรับความแน่นอน เด็ดขาดไกลกับ
อัสสัมชัญ D
สามารถตรวจสอบความสอดคล้องของการนำเสนอเหล่านี้ (ในอัสสัมชัญ C) .
เรารู้จากทฤษฎีบทของ Godel เกอเดล เพิ่มอย่างมีนัยสำคัญกับภาระของสมมติฐาน underpinning ความรู้ทางคณิตศาสตร์ได้ จึง มีการรับประกันคุณภาพไม่แน่นอนของความปลอดภัย
ของอัสสัมชัญ 4 เหล่านี้บ่งชี้ว่า อาจเกิดปัญหาต่อไปในการสร้างความแน่นอนของความรู้ทางคณิตศาสตร์ที่ เหล่านี้ไม่มีปัญหาเกี่ยวกับ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

สมมติฐาน
หลักฐานว่านักคณิตศาสตร์เผยแพร่หลักฐานยืนยันทฤษฎีบทสามารถในหลักการจะแปลเป็นอย่างเข้มงวดอย่างเป็นทางการปรู๊ฟ .
การพิสูจน์ทางการที่นักคณิตศาสตร์เผยแพร่มักมีข้อบกพร่องและ

ติชม Absolutist ปรัชญาโดยไม่หมายความว่าเชื่อถือได้ทั้งหมด ( Davis , 1972 ) แปลให้เป็นอย่างเข้มงวดอย่างเป็นทางการปรู๊ฟเป็นสาขางานเครื่องกลไม่มันต้องใช้ความฉลาดของมนุษย์เพื่อลดช่องว่างและแก้ไขข้อผิดพลาด ตั้งแต่ formalization คณิตศาสตร์ทั้งหมดไม่น่าจะทำ อะไรคือคุณค่าของอ้างว่าหลักฐานทางการสามารถแปลเป็นหลักฐานอย่างเป็นทางการ ' หลักการ ' มันเป็นสัญญาที่ไม่ได้ผล มากกว่าเหตุผลแน่นอน ศพทั้งหมดเป็น unattained อุดมคติและความเป็นจริงในทางปฏิบัติจึงยังไม่สามารถมั่นใจได้มีการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ แม้ว่าก่อนหน้านี้มีการวิพากษ์วิจารณ์ลดสมมติฐาน B .

อย่างเป็นทางการหลักฐานสามารถตรวจสอบความถูกต้อง
ตอนนี้มีมนุษย์ปุถุชน uncheckable ไม่เป็นทางการปรู๊ฟ . เช่นชื่อลูกจ้างชั่วคราว ( 1978 ) การพิสูจน์ของทฤษฎีบทสี่สี ทีม็ ซ์โก , 1979 ) แปลเป็นอย่างเข้มงวดอย่างเป็นทางการหลักฐานเหล่านี้จะนานกว่านี้หากเหล่านี้ไม่อาจจะสำรวจโดยนักคณิตศาสตร์ , ด้วยเหตุผลใดที่พวกเขาสามารถถือเป็นถูกต้อง ? หากหลักฐานดังกล่าวจะถูกตรวจสอบโดยคอมพิวเตอร์อะไรรับประกันสามารถระบุว่าซอฟต์แวร์และฮาร์ดแวร์ที่ถูกออกแบบมาอย่างไม่มีที่ติ และซอฟต์แวร์ทำงานอย่างสมบูรณ์แบบด้วยระบุความซับซ้อนของฮาร์ดแวร์และซอฟต์แวร์ที่ดูเหมือนว่าไม่น่าเชื่อว่าเหล่านี้สามารถถูกตรวจสอบโดยบุคคลเดียว นอกจากนี้ การตรวจสอบดังกล่าวเกี่ยวข้องกับองค์ประกอบเชิงประจักษ์ ( คือมันวิ่งตามการออกแบบ ? ถ้าการตรวจสอบหลักฐานที่เป็นทางการไม่สามารถดำเนินการหรือมีองค์ประกอบเชิงประจักษ์ แล้วเรียกร้องของความแน่นอนต้องปลด ( แน่นอน ทีม็ ซ์โก , 1979 )

( Cทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ที่สามารถแปลได้อย่างถูกต้องเป็นชุดสัจพจน์อย่างเป็นทางการ
formalization ของสัญชาตญาณทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีในรอบ 100 ปี ( เช่นคณิตศาสตร์ , ตรรกะ , ทฤษฎีทฤษฎีจำนวนวิเคราะห์ชุด ) ทำให้ปัญหาที่ลึกซึ่งผิดคาด เป็นแนวคิด และหลักฐานที่เคยคมเข้มขึ้นมาภายใต้การตรวจสอบในระหว่างการพยายามที่จะอธิบายและสร้างพวกเขาformalization เป็นที่พอใจของส่วนที่เหลือของคณิตศาสตร์จะไม่ได้ถือว่าเป็น unproblematic . จนกระทั่ง formalization นี้ออกมา มันเป็นไปไม่ได้ที่จะยืนยันด้วยความมั่นใจว่า จะสามารถดำเนินการได้อย่างถูกต้อง . แต่จนกว่าคณิตศาสตร์อย่างมีระเบียบแบบแผนของความรุนแรง ซึ่งเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับความแน่นอนตกอยู่ห่างไกลจากอุดมคติ
D
อัสสัมชัญความสอดคล้องของการเป็นตัวแทนเหล่านี้ ( ใน ( C ) สามารถตรวจสอบ ตามที่เราทราบจากเกอเดล
คือขาดความเชื่อ นี้จะเพิ่มอย่างมีนัยสำคัญกับภาระของสมมติฐานพื้นฐานความรู้ทางคณิตศาสตร์ จึงไม่มีแน่นอนรับประกันความปลอดภัย .
แต่ละเหล่านี้สี่สมมติฐานว่าปัญหาในการสร้างที่แน่นอนของความรู้ทางคณิตศาสตร์ที่อาจเกิดขึ้นพวกนี้ไม่ใช่ปัญหา