2 Tools for Dealing With Partitions

2 Tools for Dealing With Partitions 2.1 Ferrers Diagrams
A Ferrers diagram is a way of visualizing partitions with dots. Each row represents one addend in the partition. The number of dots in a row represents the value of that total addend. For example, the partition of 10 into 5+3+1+1 is shown below.
5••••• 3•••
1•
1•
Example 1. Show that the number of partitions of an integer n into parts the largest of which is r is equal to the number of partitions of n into exactly r parts.
Solution. We are trying to find a way to relate two different types of partitions of n both in terms of r. Perhaps a Ferrers diagram could lead us in the right direction. So let us try some examples.
Suppose n = 10 and r = 3. Then one partition of n in which r is the largest part is 3+3+2+1+1. In a Ferrers diagram this looks like:
3••• 3••• 2•• 1•
1•
The numbers on the left side of the diagram are found by counting up the dots in the row next
to it. However, consider what would happen if we put numbers at the top and counted the dots in the columns. This would look like:

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

2 เครื่องมือสำหรับจัดการกับพาร์ติชัน 2.1 Ferrers ไดอะแกรม
A Ferrers ไดอะแกรมเป็นวิธีของพาร์ติชัน มีจุด แต่ละแถวแทน addend หนึ่งในพาร์ติชัน จำนวนจุดในแถวแสดงค่าของ addend ที่รวม ตัวอย่าง การแสดงพาร์จาก 10 เป็น 5 3 1 1 ด้านล่าง.
5••• 3•••
1•
1•
ตัวอย่าง 1 แสดงว่าหมายเลขพาร์ติชันของตัวเลขจำนวนเต็ม n เป็นส่วนใหญ่ที่สุดที่เป็น r เท่ากับจำนวนของพาร์ติชันของ n เข้าตรง r ส่วน.
โซลูชัน เรากำลังพยายามหาวิธีที่จะเชื่อมโยงสองประเภทของพาร์ติชันของ n ทั้งในแง่ของ r บางที Ferrers ไดอะแกรมอาจนำเราในทิศทางที่ถูก ดังนั้นให้เราลองตัวอย่างบางครั้ง
สมมติว่า n = 10 และ r = 3 แล้ว พาร์ติชันหนึ่งของ n r ซึ่งเป็นส่วนที่ใหญ่ที่สุดเป็น 3 3 2 1 1 ในไดอะแกรม Ferrers นี้มีลักษณะเหมือน:
3••• 3••• 2•• 1•
1•
พบหมายเลขทางด้านซ้ายมือของแผนภาพ โดยการนับค่าจุดในแถวถัดไป
จะ อย่างไรก็ตาม พิจารณาอะไรจะเกิดขึ้นถ้าเราใส่หมายเลขที่ด้านบน และนับจุดในคอลัมน์ นี้จะมีลักษณะเช่น:

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

2 เครื่องมือสำหรับการจัดการกับพาร์ติชัน 2.1 เฟอร์เรอแผนภาพ
แผนภาพเฟอร์เรอเป็นวิธีการแสดงพาร์ทิชันที่มีจุด แต่ละแถวเป็นหนึ่งในพาร์ทิชัน ADDEND จำนวนจุดในแถวหมายถึงค่าของที่ ADDEND ทั้งหมด ตัวอย่างเช่นพาร์ติชันจาก 10 เป็น 5 + 3 + 1 + 1 แสดงอยู่ด้านล่าง
5 ••••• 3 •••
1 •
1 •
ตัวอย่างที่ 1 แสดงให้เห็นว่าจำนวนของพาร์ทิชันของจำนวนเต็ม n เป็นส่วนที่ใหญ่ที่สุด ซึ่งเป็น r คือเท่ากับจำนวนของพาร์ทิชันของ n เป็นว่าอาร์ชิ้นส่วน
โซลูชั่น เราพยายามที่จะหาวิธีที่จะเกี่ยวข้องกับทั้งสองประเภทที่แตกต่างกันของพาร์ทิชันของ n ทั้งในแง่ของการวิจัย บางทีอาจจะเป็นแผนภาพเฟอร์เรอส์จะนำเราไปในทิศทางที่เหมาะสม เพื่อให้เราพยายามตัวอย่างบางส่วน
สมมติ n = 10 และ r = 3 จากนั้นหนึ่งพาร์ทิชันของ n ที่ r คือส่วนที่ใหญ่ที่สุดเป็น 3 + 3 + 2 + 1 + 1 ในแผนภาพเฟอร์เรอนี้ดูเหมือนว่า:
3 ••• 3 ••• 2 •• 1 •
1 •
ตัวเลขบนด้านซ้ายของแผนภาพจะพบได้โดยการนับจุดในแถวที่อยู่ถัด
ไป แต่พิจารณาสิ่งที่จะเกิดขึ้นถ้าเราใส่หมายเลขที่ด้านบนและนับจุดในคอลัมน์ นี้จะมีลักษณะ:

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

2 เครื่องมือในการจัดการกับพาร์ทิชัน 2.1 แผนภาพไดอะแกรม เฟอร์เรอร์ เฟอร์เรอร์
เป็นวิธีการแสดงพาร์ทิชันที่มีจุด แต่ละแถวแทนหนึ่งตัวบวกในฉาก จำนวนของจุดในแถวหมายถึงค่าของทั้งหมดที่ไขลาน . ตัวอย่างเช่น พาร์ 10 5 3 1 1 ที่แสดงอยู่ด้านล่าง ••••••••
3
5
1 1 - -
ตัวอย่าง 1แสดงให้เห็นว่าจำนวนของพาร์ทิชันของจำนวนเต็ม R เป็น N เป็นส่วนที่ใหญ่ที่สุดของซึ่งจะเท่ากับจำนวนพาร์ทิชันของ n ในส่วนตรง R .
โซลูชั่น เราพยายามที่จะหาวิธีที่จะเชื่อมโยงสองประเภทที่แตกต่างกันของพาร์ติชันของทั้งในแง่ของ บางที ไดอะแกรม เฟอร์เรอร์ จะพาเราไปในทิศทางที่ถูกต้อง ดังนั้นให้เราลองสมมติตัวอย่าง .
n = 10 และ r = 3จากนั้นหนึ่งพาร์ทิชันของ n ที่ R เป็นส่วนที่ใหญ่ที่สุดคือ 3 3 2 1 1 ในแผนภาพเฟอร์เรอร์นี้ดูเหมือน :
3 ••• 3 ••• 2 •• 1 1 - -

ตัวเลขบนด้านซ้ายของแผนภาพที่พบโดยนับถึงจุดในแถวถัดไป
มัน อย่างไรก็ตาม พิจารณาสิ่งที่จะเกิดขึ้นถ้าเราใส่ตัวเลขที่ด้านบนและนับจุดในคอลัมน์ นี้จะมีลักษณะเช่น :