Then pointwise convergence means th

Then pointwise convergence means that for each xx and ϵϵ you can find an NN such that (bla bla bla). Here the NN is allowed to depend both on xx and ϵϵ.

In uniform convergence the requirement is strengthened. Here for each ϵϵ you need to be able to find an NN such that (bla bla bla) for all xx in the domain of the function. In other words NN can depend on ϵϵ but not on xx.

The latter is a stronger condition, because if you have only pointwise convergence, it may be that some ϵϵ will require arbitrarily large NN for some xxs.

For example, the functions fn(x)=xnfn(x)=xn converge pointwise to the zero function on RR, but do not converge uniformly. For example, if we choose ϵ=1ϵ=1, then the convergence condition boils down to N>|x|N>|x|. For each x∈Rx∈R we can find such an NN easily, but there's no NN that works simultaneously for every xx.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

แล้วบรรจบกัน pointwise หมายความ ว่า สำหรับแต่ละ xx และϵϵ คุณสามารถค้นหา NN เป็นเช่นนั้น (bla bla bla) นี่ NN ที่ได้ขึ้นอยู่ทั้ง ในϵϵและ xxความต้องการที่มีความแข็งในรูปแบบร่วมกัน ที่นี่สำหรับϵϵแต่ละ คุณต้องสามารถหา NN เป็นเช่นนั้น (bla bla bla) สำหรับ xx ทั้งหมดในโดเมนของฟังก์ชัน กล่าว NN สามารถขึ้นอยู่ ในϵϵ แต่ไม่ xxหลังเป็นสภาพแข็งแกร่ง เพราะถ้าคุณมีเพียง pointwise บรรจบกัน มันอาจจะว่า บางϵϵจะต้องใหญ่โดย NN สำหรับบาง xxsฟังก์ชันตัวอย่าง fn (x) = xnfn (x) = xn จึงทำให้ฟังก์ชันเป็นศูนย์ใน RR pointwise แต่ไม่มาบรรจบกันสม่ำเสมอเมื่อเทียบเคียง ตัวอย่าง ถ้าเราเลือกϵ = 1ϵ = 1 แล้วเงื่อนไขบรรจบกันเดือดลง N > |x| N > |x| สำหรับแต่ละ x∈Rx∈R เราสามารถค้นหา NN เป็นง่าย แต่มีไม่ NN ที่ทำงานร่วมกันสำหรับทุก xx

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

จากนั้นบรรจบ pointwise หมายความว่าแต่ละ XX และεεคุณสามารถหาดังกล่าวว่า NN (BLA บลาบลา) นี่ NN ได้รับอนุญาตให้ขึ้นทั้งในและ XX εε. ในเครื่องแบบบรรจบความต้องการที่มีความเข้มแข็ง ที่นี่สำหรับแต่ละεεคุณจะต้องสามารถที่จะหาเช่น NN ที่ (บลาบลา BLA) สำหรับทุก XX ในโดเมนของฟังก์ชัน ในคำอื่น ๆ NN สามารถขึ้นอยู่กับεε แต่ไม่ได้อยู่ใน XX. หลังเป็นภาวะที่แข็งแกร่งเพราะถ้าคุณมีเพียงการบรรจบ pointwise ก็อาจเป็นไปได้ว่าεεบางส่วนจะต้องมีขนาดใหญ่โดยพล NN สำหรับ XXS บาง. ตัวอย่างเช่นฟังก์ชั่น fn ( x) = xnfn (x) = xn pointwise บรรจบกับฟังก์ชั่นในศูนย์ RR แต่ไม่ได้มาบรรจบกัน ตัวอย่างเช่นถ้าเราเลือกε = 1ε = 1 แล้วสภาพลู่เดือดลงไป N> | x | N> | x | สำหรับx∈Rx∈Rที่เราสามารถหาได้ง่ายเช่น NN แต่มี NN ที่ทำงานพร้อมกันทุก XX ไม่มี

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

แล้วลู่การจัดการหมายความว่าสำหรับแต่ละและคุณสามารถค้นหาϵϵ xx nn เช่น ( Bla Bla Bla ) ที่นี่ไม่อนุญาตให้ขึ้นทั้งบน และϵϵ X%

ในการลู่เข้าเอกรูปความต้องการคือความเข้มแข็ง ที่นี่สำหรับแต่ละϵϵคุณต้องสามารถที่จะหา nn เช่น ( Bla Bla Bla ) XX ทั้งหมดในโดเมนของฟังก์ชัน ในคำอื่น ๆไม่สามารถพึ่งϵϵแต่ไม่ X .

หลังเป็นเงื่อนไขที่แข็งแกร่ง เพราะถ้าคุณมีเพียงเฉพาะจุดที่บรรจบกัน มันอาจจะเป็นเรื่องที่ต้องϵϵโดยพล NN ขนาดใหญ่บาง xxs

ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันฟังก์ชัน ( ( X ) = xnfn ( X ) = คริสเตียนบรรจบการจัดการกับศูนย์การทำงานใน RR แต่ไม่บรรจบอย่างสม่ำเสมอ . ตัวอย่างเช่น ถ้าเราเลือกϵ = 1 ϵ = 1 แล้วบรรจบสภาพ boils ลงเพื่อ n > | x | N > | x | .สำหรับแต่ละ x ∈ RX ∈ R เราสามารถค้นหาเช่นการ nn nn ได้อย่างง่ายดาย แต่ไม่มี ทำงานพร้อมกันทุก xx .