ExplanationMary showed that, assumi

Explanation
Mary showed that, assuming the original equation had a real solution, it
followed that the solution had to be −1. However, −1 turned out not to be a
solution. Therefore, the original equation has no real solution.
The false solution resulted from a nonreversible step. Combining equations
1 and 2 to get equation 3 is correct, but deducing equation 1 or equation 2
from equation 3 is not possible.
Comments
• Note that Mary’s last step (deducing that x = −1 from x3 = −1) involved
canceling a zero factor:
x3 = −1
⇒ x3 +1=0
⇒ (x + 1)(x2 − x + 1) = 0
⇒ x = −1, or x2 − x +1=0
(The latter equation in the last step is equivalent to the original equation.)
For more about canceling a zero factor, see Activity 1.
• Introducing false solutions by faulty algebraic manipulation is a very common
error. This activity illuminates this error and provides you with an opportunity
to focus students’ attention on the logic underlying the solution of equations.
In particular, the activity demonstrates the risk of applying a nonreversible
step when solving an equation.
Let’s take a careful look at the logic behind solving an equation. Suppose we start
with an equation of the form ƒ(x) = 0. Solving this equation involves applying a
number of different algebraic operations, such as cross-multiplying, transposing,
factoring, and so on. Our goal is to transform the equation to the form g(x) = 0,
from which solutions can be easily obtained.
For example, the equation x3 + 2x2 − x − 2 = 0 becomes, after factoring,
(x − 1)(x + 1)(x + 2) = 0, and the solutions are x = −1, x = 1, and x = −2.
Similarly, the trigonometric equation cos x + sin x = 0 becomes sin(x + 45) = 0,
giving solutions x = −45 + n180(n ∈ Z).

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

คำอธิบายแมรี่แสดงให้เห็นว่า สมมติว่า เดิมสมการได้แก้ปัญหาจริง มันตามที่การแก้ไขปัญหาก็จะเป็น− 1 อย่างไรก็ตาม − 1 เปิดออกจะมีการแก้ไขปัญหา ดังนั้น สมการเดิมมีแก้ปัญหาไม่จริงการแก้ปัญหาผิดที่เกิดจากขั้นตอน nonreversible รวมสมการ1 และ 2 จะได้สมการ 3 ถูกต้อง แต่ deducing เกี่ยวข้องหรือสมการ 2 สมการ 1จากสมการ 3 ไม่ได้ความคิดเห็น•หมายเหตุ:ขั้นตอนสุดท้ายที่แมรี่ (deducing เกี่ยวข้องที่ x =− 1 จาก x =− 1) เกี่ยวข้องยกเลิกตัวศูนย์:x 3 =− 1⇒ x 3 + 1 = 0⇒ (x + 1) (x 2 − x + 1) = 0⇒ x =− 1 หรือ x 2 − x + 1 = 0(สมการหลังในขั้นตอนสุดท้ายจะเท่ากับสมการเดิม)สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับการยกเลิกตัวศูนย์ ดูกิจกรรม 1•แนะนำการโซลูชั่นของเท็จ โดยจัดการพีชคณิตที่ชำรุดเป็นธรรมดามากข้อผิดพลาด กิจกรรมนี้ส่องข้อผิดพลาดนี้ และเปิดโอกาสให้คุณมุ่งเน้นความสนใจของนักเรียนบนตรรกะพื้นฐานการแก้ปัญหาของสมการโดยเฉพาะอย่างยิ่ง กิจกรรมแสดงความเสี่ยงของการใช้ nonreversible การขั้นตอนเมื่อแก้สมการลองมาดูระวังหลังแก้สมการตรรกะ สมมติว่า เราเริ่มต้นมีสมการของ ƒ(x) แบบฟอร์ม = 0 แก้สมการนี้เกี่ยวข้องกับการใช้การหมายเลขการดำเนินการทางพีชคณิตที่แตกต่างกัน เช่น cross-multiplying, transposingแฟคตอริ่ง และอื่น ๆ เป้าหมายของเราคือการ แปลงสมการในการ g(x) แบบฟอร์ม = 0ซึ่งวิธีแก้ไขปัญหาจะง่ายได้ตัวอย่างเช่น สมการ x 3 + 2 x 2 − x − 2 = 0 จะ หลังแฟคตอริ่ง(x − 1) (x + 1) (x + 2) = 0 และโซลูชั่น x =− 1, x = 1 และ x = −2ในทำนองเดียวกัน สมการตรีโกณมิติเป็น cos x + sin x = 0 กลายเป็น บาป (x + 45) = 0ให้โซลูชั่น x = −45 + n180 (n ∈ Z)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

คำอธิบาย
แมรี่พบว่าสมมติว่าสมการเดิมมีวิธีการแก้ปัญหาจริงมัน
ตามมาว่าการแก้ปัญหาจะต้อง -1 อย่างไรก็ตาม -1 เปิดออกไม่ได้จะเป็น
วิธีการแก้ปัญหา ดังนั้นสมการเดิมไม่มีทางออกที่แท้จริง.
การแก้ปัญหาที่ผิดพลาดเกิดจากขั้นตอน nonreversible สมการรวม
1 และ 2 จะได้รับสมการ 3 ถูกต้อง แต่ deducing สมการที่ 1 หรือ 2 สมการ
จากสม 3 เป็นไปไม่ได้.
คอมเมนต์
•โปรดทราบว่าขั้นตอนสุดท้ายของแมรี่ (อนุมานว่า x = -1 จาก X3 = -1) ที่เกี่ยวข้องกับการ
ยกเลิกการเป็นศูนย์ ปัจจัยที่:
X3 = -1
⇒ X3 + 1 = 0
⇒ (x + 1) (X2 - x + 1) = 0
⇒ x = -1 หรือ X2 - x + 1 = 0
(สมหลังในขั้นตอนสุดท้ายคือ เทียบเท่ากับสมการเดิม.)
สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับการยกเลิกเป็นปัจจัยศูนย์ดูกิจกรรม 1.
•แนะนำการแก้ปัญหาที่ผิดพลาดโดยการจัดการเกี่ยวกับพีชคณิตผิดพลาดเป็นเรื่องธรรมดามาก
ข้อผิดพลาด กิจกรรมนี้สว่างข้อผิดพลาดนี้และให้คุณมีโอกาสที่
จะมุ่งเน้นความสนใจของนักเรียนในตรรกะพื้นฐานการแก้ปัญหาของสม.
โดยเฉพาะอย่างยิ่งกิจกรรมที่แสดงให้เห็นถึงความเสี่ยงของการใช้ nonreversible
ขั้นตอนเมื่อการแก้สมการ.
ลองมาดูอย่างรอบคอบที่ ตรรกะที่อยู่เบื้องหลังการแก้สมการ สมมติว่าเราเริ่มต้น
ด้วยสมการของƒรูปแบบ (x) = 0 แก้สมการนี้เกี่ยวข้องกับการใช้หนึ่ง
จำนวนของการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตที่แตกต่างกันเช่นสกี Cross-คูณ transposing,
แฟและอื่น ๆ เป้าหมายของเราคือการแปลงสมกับ G แบบฟอร์ม (x) = 0
. จากการที่การแก้ปัญหาที่สามารถรับได้อย่างง่ายดาย
ตัวอย่างเช่น X3 สมการ + 2x2 - X - 2 = 0 จะกลายเป็นหลังจากที่แฟ
(x - 1) ( x + 1) (x + 2) = 0, และการแก้ปัญหาที่มี x = -1, x = 1 และ x = -2.
ในทำนองเดียวกัน cos สมการตรีโกณมิติ x + sin x = 0 จะกลายเป็นบาป (x + 45) = 0
ให้โซลูชั่น x = -45 + n180 (n ∈ Z)

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

คำอธิบายแมรี่พบว่าสมมติว่าสมการเดิมมีวิธีแก้ปัญหาที่แท้จริง มันตามว่า การแก้ปัญหาต้องเป็น− 1 อย่างไรก็ตาม , − 1 ออกมาไม่เป็นโซลูชั่น ดังนั้น สมการเดิมไม่ได้แก้ปัญหาจริงโซลูชั่นเท็จที่เกิดจากขั้นตอนนอนรีเวอร์ซิเบิล . การรวมสมการ1 และ 2 จะได้สมการที่ 3 ถูกต้อง แต่เมื่อพิจารณาสมการ 1 สมการที่ 2 หรือจากสมการที่ 3 ไม่ได้แสดงความคิดเห็น- ทราบว่าขั้นตอนสุดท้ายของแมรี่ ( เมื่อพิจารณาที่ x = − 1 จาก X3 = − 1 ) เกี่ยวข้องกับยกเลิกศูนย์ .X3 = − 1⇒ x3 + 1 = 0⇒ ( x + ( − 1 ) X2 x + 1 ) = 0⇒ x = − 1 , − 1 = 0 + X2 x( สมการหลังในขั้นตอนสุดท้าย เทียบเท่ากับ สมการ ต้นฉบับ )สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับการยกเลิกศูนย์ปัจจัย เห็นกิจกรรมที่ 1- แนะนำโซลูชั่นการจัดการผิดพลาดเป็นเท็จโดยพีชคณิตทั่วไปมากข้อผิดพลาด กิจกรรมนี้ให้แสงสว่างกับข้อผิดพลาดนี้ และจะ มี โอกาสเพื่อเน้นความสนใจของนักเรียนต่อตรรกะพื้นฐานการแก้ไขสมการโดยเฉพาะ กิจกรรมที่แสดงให้เห็นถึงความเสี่ยงของการใช้นอนรีเวอร์ซิเบิลขั้นตอนการแก้สมการขอใช้เวลาดูระวังที่ตรรกะที่อยู่เบื้องหลังการแก้สมการ สมมติว่าเราเริ่มกับสมการของแบบฟอร์มƒ ( x ) = 0 การแก้สมการนี้เกี่ยวข้องกับการประยุกต์ใช้จำนวนของการดำเนินการพีชคณิตที่แตกต่างกัน เช่น การย้ายข้าม , การคูณ ,แฟคตอริ่ง และอื่น ๆ เป้าหมายของเราคือการ แปลงสมการรูปแบบ g ( x ) = 0ซึ่งโซลูชั่นที่สามารถหาได้ง่ายตัวอย่างเช่นสมการ x3 + 2 x 2 x 2 = −− 0 กลายเป็นหลังจากแฟคตอริ่ง ,( X ( − 1 ) ( x + 2 ) ( x + 2 ) = 0 และโซลูชั่น X = − 1 , x = 1 และ X = − 2ส่วนตรีโกณมิติสมการ cos x + x = 0 กลายเป็นบาป sin ( x + 45 ) = 0ให้โซลูชั่น X = − 45 + n180 ( N ∈ Z )