Maxwell–Boltzmann distributionFrom

Maxwell–Boltzmann distribution
From Wikipedia, the free encyclopedia
Maxwell–Boltzmann
Probability density function
Maxwell-Boltzmann distribution pdf.svg
Cumulative distribution function
Maxwell-Boltzmann distribution cdf.svg
Parameters a>0,
Support xin (0;infty)
PDF sqrt{frac{2}{pi}} frac{x^2 e^{-x^2/(2a^2)}}{a^3}
CDF extrm{erf}left(frac{x}{sqrt{2} a}
ight) -sqrt{frac{2}{pi}} frac{x e^{-x^2/(2a^2)}}{a} where erf is the Error function
Mean mu=2a sqrt{frac{2}{pi}}
Mode sqrt{2} a
Variance sigma^2=frac{a^2(3 pi - 8)}{pi}
Skewness gamma_1=frac{2 sqrt{2} (16 -5 pi)}{(3 pi - 8)^{3/2}}
Ex. kurtosis gamma_2=4frac{(-96+40pi-3pi^2)}{(3 pi - 8)^2}
Entropy ln(asqrt{2pi})+gamma-frac{1}{2}
Not to be confused with Maxwell–Boltzmann statistics.

In statistics the Maxwell–Boltzmann distribution is a particular probability distribution named after James Clerk Maxwell and Ludwig Boltzmann. It was first defined and used in physics (in particular in statistical mechanics) for describing particle speeds in idealized gases where the particles move freely inside a stationary container without interacting with one another, except for very brief collisions in which they exchange energy and momentum with each other or with their thermal environment. Particle in this context refers to gaseous particles (atoms or molecules), and the system of particles is assumed to have reached thermodynamic equilibrium.[1] While the distribution was first derived by Maxwell in 1860 on heuristic grounds,[2] Boltzmann later carried out significant investigations into the physical origins of this distribution.

A particle speed probability distribution indicates which speeds are more likely: a particle will have a speed selected randomly from the distribution, and is more likely to be within one range of speeds than another. The distribution depends on the temperature of the system and the mass of the particle.[3] The Maxwell–Boltzmann distribution applies to the classical ideal gas, which is an idealization of real gases. In real gases, there are various effects (e.g., van der Waals interactions, vortical flow, relativistic speed limits, and quantum exchange interactions) that make their speed distribution sometimes very different from the Maxwell–Boltzmann form. However, rarefied gases at ordinary temperatures behave very nearly like an ideal gas and the Maxwell speed distribution is an excellent approximation for such gases. Thus, it forms the basis of the kinetic theory of gases, which provides a simplified explanation of many fundamental gaseous properties, including pressure and diffusion.[4]

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

แมกซ์เวล – ยโบล์ทซแมนน์จากวิกิพีเดีย วิกิพีเดียตัวแมกซ์เวลล์โบลทซ์มานน์ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าเป็นPdf.svg แจกตัวแมกซ์เวลล์โบลทซ์มานน์ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมCdf.svg แจกตัวแมกซ์เวลล์โบลทซ์มานน์พารามิเตอร์การ > 0สนับสนุนซิ (0; infty)PDF sqrt { frac { 2 } {ปี} } frac { x ^ 2 e^{-x^2/(2a^2) } } {การ ^ 3 }CDF ซ้าย extrm {erf } (frac {x } { sqrt { 2 } เป็น}ight) - sqrt { frac { 2 } {ปี} } frac {x e^{-x^2/(2a^2) } } {} ตำแหน่ง erf คือ ฟังก์ชันข้อผิดพลาดหมายถึงหมู่ = 2a sqrt { frac { 2 } {ปี} }โหมด sqrt { 2 } เป็นซิกม่าต่าง ^ 2 = frac {ตัว ^ 2 (3 pi - 8) } {pi }Gamma_1 ความเบ้ = frac { 2 sqrt { 2 } (16 -5 pi) } { (3 pi - 8) ^ {3/2 } }เช่นสเชิง gamma_2=4frac{(-96+40pi-3pi^2) } { (3 pi - 8) ^ 2 }Ln entropy (asqrt {2pi }) + แกมมา-frac { 1 } { 2 }ไม่ให้สับสนกับสถิติตัวแมกซ์เวลล์โบลทซ์มานน์ในสถิติ Maxwell – ตัวโบลทซ์มานน์ กระจายเป็นการกระจายความน่าเป็นเฉพาะที่ตั้งชื่อตามเจมส์เคลิร์กแมกซ์เวลล์และลุดวิกตัวโบลทซ์มานน์ มันก่อนกำหนด และใช้ฟิสิกส์เฉพาะในกลศาสตร์สถิติ) ความเร็วของอนุภาคในก๊าซอุดมคติที่อนุภาคเคลื่อนที่ได้อย่างอิสระภายในภาชนะที่อยู่นิ่งโดยไม่มีปฏิสัมพันธ์กับคนอื่น ยกเว้นชนสั้น ๆ ที่พวกเขาแลกเปลี่ยนพลังงานและโมเมนตัม กับแต่ละอื่น ๆ หรือสภาพแวดล้อมความร้อน อนุภาคในบริบทนี้หมายถึงก๊าซอนุภาค (อะตอมหรือโมเลกุล), และระบบของอนุภาคจะสันนิษฐานไปถึงสมดุลทางอุณหพลศาสตร์ [1] ในขณะที่การกระจายครั้งแรกมา โดยแมกซ์เวลล์ใน 1860 ในพฤติกรรมบริเวณ, [2] ตัวโบลทซ์มานน์ภายหลังดำเนินการสืบสวนอย่างมีนัยสำคัญเป็นต้นกำเนิดทางกายภาพการกระจายนี้ความเร็วซึ่งมีแนวโน้มบ่งชี้ว่า การกระจายความน่าเป็นความเร็วของอนุภาค: อนุภาคจะมีความเร็วที่เลือกสุ่มจากการกระจาย และมีแนวโน้มอยู่ในช่วงหนึ่งความเร็วกว่าอีก การกระจายขึ้นอยู่กับอุณหภูมิของระบบและมวลของอนุภาค [3] Maxwell – ยโบล์ทซแมนน์ใช้กับแก๊สอุดมคติคลาสสิก ซึ่งเป็นการ idealization ของก๊าซจริง ก๊าซจริง มีผลต่าง ๆ (เช่น van der Waals โต้ ไหล vortical, relativistic จำกัดความเร็ว และควอนตัมแลกเปลี่ยนโต้ตอบ) ที่ทำให้การกระจายความเร็วของพวกเขาบางครั้งแตกต่างจากแบบฟอร์มตัวแมกซ์เวลล์โบลทซ์มานน์ อย่างไรก็ตาม อย่างก๊าซที่อุณหภูมิปกติที่ทำงานมากเกือบเหมือนเป็นก๊าซอุดมคติ และการกระจายความเร็วของแมกซ์เวลล์เป็นการประมาณที่ดีเยี่ยมสำหรับก๊าซดังกล่าว ดังนั้น มันเป็นพื้นฐานของทฤษฎีจลน์ของแก๊ส ซึ่งมีคำอธิบายง่ายหลายพื้นฐานก๊าซคุณสมบัติ รวมทั้งความดันและการกระจาย [4]

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

กระจาย Maxwell-Boltzmann
จากวิกิพีเดีย
แมกซ์เวล-Boltzmann
หนาแน่นเป็นฟังก์ชัน
Maxwell-Boltzmann กระจาย pdf.svg
ฟังก์ชั่นการแจกแจงสะสม
Maxwell-Boltzmann กระจาย cdf.svg
พารามิเตอร์> 0,
สนับสนุนซิน (0; infty)
รูปแบบไฟล์ PDF sqrt {frac { 2} {Pi}} frac {x ^ 2 E ^ {- x ^ 2 / (2a ^ 2)}} {a ^ 3}
CDF extrm {ERF} ซ้าย (frac {x} {sqrt {2} A}
ight ) -sqrt {frac {2} {}} Pi frac {XE ^ {- x ^ 2 / (2a ^ 2)}} {A} ที่ ERF เป็นฟังก์ชั่นข้อผิดพลาด
หมายถึงหมู่ = 2a sqrt {frac {2} {Pi }}
โหมด sqrt {2} ก
ซิกแปรปรวน ^ 2 = frac {a ^ 2 (3 Pi - 8) {}} Pi
Skewness gamma_1 = frac {2 sqrt {2} (16 -5 PI)} {(3 Pi - 8) ^ {3/2}}
อดีต โด่ง gamma_2 = 4frac {(- 96 + 40pi-3pi ^ 2)} {(3 Pi - 8) ^ 2}
เอนโทรปี LN (asqrt {2pi}) + แกมมา frac {1} {2}
เพื่อไม่ให้สับสนกับแมกซ์เวล สถิติ -Boltzmann.

ในสถิติการกระจาย Maxwell-Boltzmann เป็นกระจายโดยเฉพาะอย่างยิ่งการตั้งชื่อตามเจมส์ Clerk Maxwell และลุดวิก Boltzmann มันเป็นครั้งแรกที่กำหนดไว้และนำมาใช้ในทางฟิสิกส์ (โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกลศาสตร์สถิติ) สำหรับการอธิบายความเร็วอนุภาคก๊าซอุดมคติที่อนุภาคเคลื่อนที่ได้อย่างอิสระภายในภาชนะนิ่งโดยไม่ต้องมีปฏิสัมพันธ์กับคนอื่นยกเว้นสำหรับการชนกันสั้นมากในการที่พวกเขาแลกเปลี่ยนพลังงานและโมเมนตัมกับ แต่ละอื่น ๆ หรือกับสภาพแวดล้อมของพวกเขาระบายความร้อน อนุภาคในบริบทนี้หมายถึงอนุภาคก๊าซ (อะตอมหรือโมเลกุล) และระบบการทำงานของอนุภาคจะถือว่ามีรายได้ถึงความสมดุลทางอุณหพลศาสตร์. [1] ในขณะที่การจัดจำหน่ายที่ได้มาครั้งแรกโดยแมกซ์เวลในปี 1860 ในพื้นที่แก้ปัญหา [2] Boltzmann ภายหลังดำเนินการสืบสวนอย่างมีนัยสำคัญเข้าสู่ต้นกำเนิดทางกายภาพของการกระจายนี้.

กระจายความน่าจะเป็นความเร็วอนุภาคบ่งบอกถึงความเร็วที่มีแนวโน้มมากขึ้น: อนุภาคจะมีความเร็วที่เลือก สุ่มจากการกระจายและมีแนวโน้มที่จะอยู่ในช่วงหนึ่งของความเร็วกว่าที่อื่น การกระจายขึ้นอยู่กับอุณหภูมิของระบบและมวลของอนุภาคได้. [3] การกระจาย Maxwell-Boltzmann นำไปใช้กับแก๊สอุดมคติคลาสสิกซึ่งเป็นอุดมการณ์ของก๊าซที่แท้จริง ก๊าซจริงมีผลกระทบต่างๆ (เช่นแวนเดอร์ Waals ปฏิสัมพันธ์ไหล vortical จำกัด ความเร็วความสัมพันธ์และการมีปฏิสัมพันธ์แลกเปลี่ยนควอนตัม) ที่ทำให้การกระจายความเร็วของพวกเขาบางครั้งความแตกต่างจากรูปแบบ Maxwell-Boltzmann อย่างไรก็ตามก๊าซซึ่งได้ทำให้บริสุทธิ์ที่อุณหภูมิสามัญประพฤติมากเกือบเหมือนแก๊สอุดมคติและการกระจายความเร็วแมกซ์เวลคือการประมาณการที่ดีเยี่ยมสำหรับก๊าซดังกล่าว ดังนั้นจึงเป็นรูปแบบพื้นฐานของทฤษฎีการเคลื่อนไหวของก๊าซซึ่งมีคำอธิบายที่เรียบง่ายของหลายคุณสมบัติพื้นฐานก๊าซรวมทั้งความดันและการแพร่กระจาย. [4]

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

แมกซ์เวลล์โบลทซ์มันน์และการกระจายจากวิกิพีเดีย , สารานุกรมฟรีแมกซ์เวลล์ - Boltzmannฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นpdf.svg กระจายแมกซ์เวลล์โบลทซ์มันน์ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมcdf.svg กระจายแมกซ์เวลล์โบลทซ์มันน์ค่า > 0ซินสนับสนุน ( 0 ; infty )PDF SQRT { frac { 2 } { พาย } } frac { x ^ 2 E ^ { - x ^ 2 / ( 2a ^ 2 ) ^ 3 } } } { เป็นextrm ERF } { CDF ซ้าย ( frac { x } { { 2 } } SQRTight ) - SQRT { frac { 2 } { พาย } } frac { x e ^ { - x ^ 2 / ( 2a ^ 2 } } { } ที่ TAN เป็นฟังก์ชันข้อผิดพลาดหมายถึง มู = 2A SQRT { frac { 2 } { พาย } }โหมด SQRT { 2 }ความแปรปรวนของ Sigma ^ 2 = frac { ^ 2 ( 3 พี - 8 ) } { พาย }เบ้ gamma_1 = { 2 { 2 } frac SQRT ( 16 - 5 ปี่ ) } { ( 3 พี - 8 ) ^ 2 } { 3 }เช่น ความ 4frac gamma_2 = { ( - 96 + 40pi-3pi ^ 2 } { 3 พี - 8 ) ^ 2 }เอนโทรปีใน ( asqrt { 2pi } ) + ( { 1 } { 2 } fracไม่ต้องวุ่นวายกับ Maxwell - Boltzmann สถิติในสถิติ แมกซ์เวลล์โบลทซ์มันน์และการกระจายความน่าจะเป็นโดยตั้งชื่อตามเจมส์ เคลิร์ก แมกซ์เวลล์ และลุดวิกโบลทซ์มันน์ . มันเป็นครั้งแรกที่กำหนดและใช้ในวิชาฟิสิกส์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกลศาสตร์สถิติ ) อธิบายอนุภาคในแก๊สอุดมคติที่ความเร็วอนุภาคย้ายได้อย่างอิสระภายในภาชนะนิ่งไม่มีการโต้ตอบกับคนอื่น ยกเว้นการชนที่สั้นมากในการที่พวกเขาแลกเปลี่ยนพลังงานและโมเมนตัมกับแต่ละอื่น ๆหรือความร้อนกับสภาพแวดล้อมของพวกเขา อนุภาคในบริบทนี้หมายถึงอนุภาค ( อะตอมหรือโมเลกุลก๊าซ ) และ ระบบอนุภาค คือ สันนิษฐานว่ามีถึงภาวะสมดุลทางอุณหพลศาสตร์ [ 1 ] ในขณะที่การกระจายเป็นครั้งแรกที่ได้มาโดยแมกซ์เวลล์ในปี 1860 ในการแก้ปัญหาพื้นที่ [ 2 ] ต่อมาดำเนินการสอบสวนรวมสําคัญในการกำเนิดทางกายภาพของการกระจายนี้อนุภาคความเร็วการแจกแจงความน่าจะเป็นที่บ่งบอกซึ่งความเร็วมีโอกาส : อนุภาคจะมีความเร็วที่เลือกโดยการสุ่มจากการแจกแจง และมีแนวโน้มที่จะเป็นในช่วงหนึ่งจะเร็วกว่าอีก การกระจายขึ้นอยู่กับอุณหภูมิของระบบและมวลของอนุภาค . [ 3 ] การกระจายแมกซ์เวลล์โบลทซ์มันน์เพื่อใช้กับก๊าซในอุดมคติคลาสสิกซึ่งเป็นแหลกละเอียดของแก๊สจริง ในก๊าซที่แท้จริง มีลักษณะต่างๆ ( เช่น แวนเดอวาลส์ ปฏิสัมพันธ์ ไหลวนจำกัด ความเร็วเชิงสัมพัทธภาพและควอนตัมของตรา ) ที่ทำให้การกระจายความเร็วของพวกเขาบางครั้งแตกต่างจากรูปแบบของแมกซ์เวลล์โบลทซ์มันน์และ . แต่ก๊าซที่อุณหภูมิปกติทำตัว rarefied มากเกือบเหมือนแก๊สอุดมคติและ Maxwell ความเร็วกระจายเป็นประมาณที่ยอดเยี่ยมสำหรับก๊าซดังกล่าว ดังนั้นจึงเป็นพื้นฐานของทฤษฎีจลน์ของก๊าซ ซึ่งมีตัวย่อคำอธิบายคุณสมบัติของก๊าซพื้นฐานมากมาย รวมถึงความดันและการแพร่กระจาย [ 5 ]