Set theory begins with a fundamenta

Set theory begins with a fundamental binary relation between an object o and a set A. If o is a member (or element) of A, write o ∈ A. Since sets are objects, the membership relation can relate sets as well.
A derived binary relation between two sets is the subset relation, also called set inclusion. If all the members of set A are also members of set B, then A is a subset of B, denoted A ⊆ B. For example, {1,2} is a subset of {1,2,3} , but {1,4} is not. From this definition, it is clear that a set is a subset of itself; for cases where one wishes to rule out this, the term proper subset is defined. A is called a proper subset of B if and only if A is a subset of B, but B is not a subset of A.
Just as arithmetic features binary operations on numbers, set theory features binary operations on sets. The:
Union of the sets A and B, denoted A ∪ B, is the set of all objects that are a member of A, or B, or both. The union of {1, 2, 3} and {2, 3, 4} is the set {1, 2, 3, 4} .
Intersection of the sets A and B, denoted A ∩ B, is the set of all objects that are members of both A and B. The intersection of {1, 2, 3} and {2, 3, 4} is the set {2, 3} .
Set difference of U and A, denoted U A, is the set of all members of U that are not members of A. The set difference {1,2,3} {2,3,4} is {1} , while, conversely, the set difference {2,3,4} {1,2,3} is {4} . When A is a subset of U, the set difference U A is also called the complement of A in U. In this case, if the choice of U is clear from the context, the notation Ac is sometimes used instead of U A, particularly if U is a universal set as in the study of Venn diagrams.
Symmetric difference of sets A and B, denoted A △ B or A ⊖ B, is the set of all objects that are a member of exactly one of A and B (elements which are in one of the sets, but not in both). For instance, for the sets {1,2,3} and {2,3,4} , the symmetric difference set is {1,4} . It is the set difference of the union and the intersection, (A ∪ B) (A ∩ B) or (A B) ∪ (B A).
Cartesian product of A and B, denoted A × B, is the set whose members are all possible ordered pairs (a,b) where a is a member of A and b is a member of B. The cartesian product of {1, 2} and {red, white} is {(1, red), (1, white), (2, red), (2, white)}.
Power set of a set A is the set whose members are all possible subsets of A. For example, the power set of {1, 2} is { {}, {1}, {2}, {1,2} } .
Some basic sets of central importance are the empty set (the unique set containing no elements), the set of natural numbers, and the set of real numbers.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ตั้งทฤษฎีเริ่มต้นด้วยฐานความสัมพันธ์พื้นฐานระหว่างวัตถุ o และชุด ถ้า o เป็นสมาชิก (หรือองค์ประกอบ) จากการเขียน o ∈ ตั้งแต่ชุดเป็นวัตถุสมาชิกสัมพันธ์สามารถเชื่อมโยงชุดเช่นกัน.
ฐานความสัมพันธ์ที่ได้มาระหว่างสองชุดคือความสัมพันธ์ส่วนย่อยที่เรียกว่าการรวมตั้ง ถ้าสมาชิกทั้งหมดของชุดยังเป็นสมาชิกของ B ภาพถ่ายชุดนั้นเป็นชุดย่อยของ b, b ⊆แทนสำหรับตัวอย่างเช่น {1,2} เป็นส่วนย่อยของ {1,2,3}, {1,4 แต่} ไม่ได้เป็น จากคำนิยามนี้เป็นที่ชัดเจนว่าชุดเป็นชุดย่อยของตัวเอง; สำหรับกรณีที่หนึ่งมีความประสงค์จะออกกฎนี้ชุดย่อยที่เหมาะสมในระยะที่กำหนดไว้ จะเรียกว่าเซตย่อยที่เหมาะสมของขถ้าหากว่าเป็นส่วนย่อยของข แต่ขไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของ.
เช่นเดียวกับการดำเนินงานของไบนารีคุณสมบัติเลขคณิตเมื่อตัวเลขกำหนดคุณลักษณะทฤษฎีฐานปฏิบัติการชุด :
สหภาพของชุด A และ B เขียนแทน∪ B, ชุดของวัตถุทั้งหมดที่เป็นสมาชิกของหรือ b หรือทั้งสองอย่างคือ สหภาพ {1, 2, 3} และ {2, 3, 4} คือชุด {1, 2, 3, 4}.
จุดตัดของชุด A และ B เขียนแทน∩ b เป็นชุดของทั้งหมด วัตถุที่เป็นสมาชิกของทั้ง A และ B จุดตัดของ {1, 2, 3} และ {2, 3, 4} คือชุด {2, 3}.
กำหนดความแตกต่างของ U และชี้แนะ U เป็นชุดของสมาชิกทุกคนของ U ที่ไม่ได้เป็นสมาชิกของ ความแตกต่างของชุด {1,2,3} {2,3,4} คือ {1} ในขณะที่ตรงกันข้ามความแตกต่างชุด {2,3,4} {1,2,3} คือ {4} เมื่อเป็นส่วนย่อยของ U ชุดแตกต่าง U จะเรียกว่าส่วนประกอบของใน U ในกรณีนี้ถ้าเลือกของ U เป็นที่ชัดเจนจากบริบท,สัญกรณ์ ac บางครั้งใช้แทน U โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าหากเป็นชุดที่เป็นสากลในการศึกษาแผนภาพเวนน์.
สมมาตรความแตกต่างของชุด A และ B เขียนแทน△หรือ b ⊖ b เป็นชุดของทั้งหมด วัตถุที่เป็นสมาชิกของหนึ่งของ a และ b (องค์ประกอบที่อยู่ในชุดใดชุดหนึ่ง แต่ไม่ได้อยู่ในทั้งสอง) ตัวอย่างเช่นสำหรับชุด {1,2,3} และ {2,3,4}ชุดความแตกต่างสมมาตรคือ {1,4} มันเป็นความแตกต่างที่ชุดของสหภาพและสี่แยก, (∪ข) (∩ข) หรือ ( b) ∪ (b ).
ผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนของ a และ b แทนข×เป็น ชุดที่มีสมาชิกทุกคู่สั่งเป็นไปได้ (A, B) ในกรณีที่เป็นสมาชิกของ A และ B เป็นสมาชิกของข ผลิตภัณฑ์ Cartesian ของ {1, 2} และ {สีแดงสีขาว} คือ {(1, สีแดง), (1, สีขาว), (2, สีแดง), (2, สีขาว)}.
ชุดพลังของชุดคือชุดมีสมาชิกเป็นย่อย ๆ ทั้งหมดที่เป็นไปได้ ตัวอย่างเช่นพลังงานชุด {1, 2} เป็น {{}, {1}, {2}, {1,2}}.
บางชุดพื้นฐานของความสำคัญกลางเซตว่าง (ชุดไม่ซ้ำกันที่มีองค์ประกอบไม่ ), ชุดของตัวเลขธรรมชาติและชุดของตัวเลขจริง

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ทฤษฎีเซตเริ่มต้น ด้วยความสัมพันธ์ไบนารีพื้นฐานระหว่างการ o วัตถุและชุดอ. ถ้า o เป็นสมาชิก (หรือองค์ประกอบ) ของ A, o ∈อ.เขียน ตั้งแต่ชุดวัตถุ ความสัมพันธ์ที่สมาชิกสามารถเชื่อมโยงชุดเป็น
ความสัมพันธ์ไบนารีได้รับระหว่างสองชุดความสัมพันธ์ย่อย หรือที่เรียกว่าการตั้งค่าการรวมได้ หากสมาชิกทั้งหมดของกำหนดมีการยังสมาชิกของชุด B, A เป็นเซตย่อยของ B สามารถบุ⊆ B. ตัวอย่าง, { 1, 2 } เป็นเซตย่อยของ { 1,2,3 } แต่ { 1,4 } ไม่ จากคำนิยามนี้ เป็นที่ชัดเจนว่าชุดย่อยของตัวเอง ในกรณีที่ประสงค์จะออกนี้ มีกำหนดชุดย่อยระยะเหมาะสม A คือเซตย่อยของ B เหมาะสมถ้า และ A เป็น เซตย่อยของ B, B ไม่เป็นเซตย่อยของ A.
เพียงเป็นคณิตศาสตร์มีการดำเนินการฐานสองหมายเลข ทฤษฎีเซตคุณสมบัติไบนารีการดำเนินการบนชุด :
∪ความสามารถบุสหภาพชุด A และ B, B เป็นชุดของวัตถุทั้งหมดที่เป็นสมาชิกของ A หรือ B หรือทั้งสองอย่าง สหภาพของ {1, 2, 3 } และ {2, 3, 4 } เป็นเซ็ต {1, 2, 3, 4 } .
∩ความสามารถบุของชุด A และ B, B เป็นชุดของวัตถุทั้งหมดที่เป็นสมาชิกของทั้ง A และ b ของ {1, 2, 3 } และ {2, 3, 4 } เป็นชุด {2, 3 }
ตั้งค่าความแตกต่างของคุณ A, U สามารถบุ คือ ชุดของสมาชิกทั้งหมดของ U ที่ไม่ใช่สมาชิกของอ. ชุดความแตกต่าง { 1,2,3 } { 2,3,4 } เป็น {1} ขณะที่ ในทางกลับกัน ตั้งค่าต่าง { 2,3,4 } { 1,2,3 } {4} เป็น เมื่อ A เป็นเซตย่อยของ U, U ผลต่างตั้งค่า A จะเรียกว่าส่วนเติมเต็มของ A ในสหรัฐ ในกรณีนี้ ถ้าเลือก U ล้างจากบริบท สัญลักษณ์ Ac บางครั้งใช้แทน U A โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าเป็นชุดสากลในการศึกษาของเวนน์ไดอะแกรม
ชุด A และ B ผลต่างสมมาตรสามารถบุ△เป็น B หรือ B ⊖เป็นชุดของวัตถุทั้งหมดที่เป็นสมาชิกของ A ทุกประการหนึ่ง และ B (องค์ประกอบที่มีอยู่ในหนึ่งชุดแต่ไม่ทั้งสอง) สำหรับชุดตัวอย่าง { 1,2,3 } และ { 2,3,4 } ชุดผลต่างสมมาตรเป็น { 1,4 } จึงต่างตั้งสหภาพและสี่แยก, (แบบ∪ B) (การ∩ B) หรือ (A B) ∪ (B A)
คูณคาร์ทีเซียนของ A และ B สามารถซื้อเป็นบุ B เป็นชุดที่มีสมาชิกเป็นไปได้ทั้งหมดสั่งคู่ (a, b) ซึ่งการเป็นสมาชิกของ A และ b เป็นสมาชิกของบี ผลคูณคาร์ทีเซียนของ {1, 2 } และ {สีแดง สีขาว} คือ { (1 แดง), (1 สีขาว), (2 สีแดง), (2 สีขาว) } .
ชุดไฟชุด A เป็นชุดที่มีสมาชิกที่เป็นชุดย่อยได้ทั้งหมดของอ. ตัวอย่าง การตั้งค่าพลังงานของ {1, 2 } เป็น {{} , { 1 }, { 2 } { 1, 2 } } .
บางชุดพื้นฐานกลางสำคัญเซตว่าง (เฉพาะชุดที่ประกอบด้วยองค์ประกอบไม่), ชุดตัวเลขธรรมชาติ และชุดของตัวเลขจำนวนจริง

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ตั้งค่าทฤษฎีเริ่มต้นด้วยพื้นฐานความสัมพันธ์ระหว่างไบนารีที่วัตถุ o และที่ตั้ง a .หาก O เป็นสมาชิก(หรือส่วนของ,เขียน O ∈ A .เนื่องจากมีวัตถุ,การสมัครเข้าเป็นสมาชิกสามารถเชื่อมโยงความสัมพันธ์ชุดเป็นอย่างดี.
ที่มาไบนารีความสัมพันธ์ระหว่างสองชุดคือชุดย่อยความสัมพันธ์,หรือเรียกอีกอย่างว่าตั้งค่าการรวมเข้าไว้ด้วยกัน กรณีที่มีสมาชิกทั้งหมดของที่ตั้งค่าจะยังมีสมาชิกของ B ตั้งค่าแล้วที่เป็นชุดย่อยของ B ที่มีผู้อุทิศให้⊆ B . Aตัวอย่างเช่น{ 1,2 }เป็นคุณลักษณะย่อยใน{ 1,2,3 }{ 1,4 }แต่ไม่ได้ จากคำนิยามนี้เป็นที่ชัดเจนว่าตั้งค่าเป็นชุดย่อยของตัวมันเองสำหรับกรณีที่ต้องการจะกฎข้อที่ออกมานี้คำว่าบางส่วนมีการกำหนดอย่างถูกต้อง ที่มีชื่อว่าชุดย่อยที่เหมาะสมของ B หากและเฉพาะในกรณีที่มีชุดย่อยของ B แต่ B คือไม่ได้บางส่วนของ A .
อยู่เป็นธรรมดามีการไบนารีที่หมายเลขทฤษฎีตั้งค่าคุณลักษณะการทำงานไบนารีที่ตั้งค่า :
สหภาพ ของชุดและ B ที่มีผู้อุทิศให้ที่∪ B เป็นชุดที่ของออบเจกต์ทั้งหมดที่เป็นสมาชิกของหรือ B หรือทั้งสองอย่าง ที่ สหภาพ ของ{ 1 , 2 , 3 }และ{ 2 , 3 , 4 }เป็นที่ตั้งค่า{ 1 , 2 , 3 , 4 }
ทางแยกของชุด A และ B ,ที่มีผู้อุทิศให้ที่∩ B ,เป็นที่ตั้งของห้องพักทั้งหมดมีวัตถุที่เป็นสมาชิกของทั้งสองและพ.ที่ทางแยกของ{ 1 , 2 , 3 }และ{ 2 , 3 , 4 }เป็นที่ตั้งค่า{ 2 , 3 }
ตั้งค่าความแตกต่างของ U และที่ที่มีผู้อุทิศให้ U คือชุดของสมาชิกทั้งหมดของ U ที่ไม่ได้เป็นสมาชิกของ A .ความแตกต่างตั้งค่า{ 1,2,3 }{ 2,3,4 }มี{ 1 }ในขณะที่ในทางตรงกันข้ามความแตกต่างตั้งค่า{ 2,3,4 }{ 1,2,3 }{ 4 } เมื่อเป็นชุดย่อยของ U ตั้งค่าความแตกต่าง U ที่จะเพิ่มความสมบรูณ์แบบที่เรียกว่าของที่อยู่ในสหรัฐอเมริกาในกรณีนี้ถ้าเป็นทางเลือกของ U เป็นที่ชัดเจนจากบริบทที่ใช้รูปแบบ AC เป็นบางครั้งมีการใช้แทน U A ,โดยเฉพาะหาก U เป็นสากลตั้งค่าเป็นในการศึกษาของ venn แผนผัง.
สมมาตรความแตกต่างของชุด A และ B ,ที่มีผู้อุทิศให้ที่△ A หรือ B ⊖ B ,เป็นที่ตั้งของห้องพักทั้งหมดมีวัตถุที่เป็นสมาชิกของอย่างหนึ่งของ A และ B (องค์ประกอบที่อยู่ที่หนึ่งในที่ตั้งค่า,แต่ไม่ได้อยู่ในทั้งสอง ประเภท ) ตัวอย่างเช่นสำหรับตั้งค่า{ 1,2,3 }และ{ 2,3,4 }ความแตกต่างสมมาตรที่ตั้งไว้คือ{ 1,4 } โรงแรมคือที่ตั้งค่าความแตกต่างของสมาพันธ์และที่ทางแยก,(ที่∪ B )(ที่∩ B )หรือ( b )∪( b A )..
Decartes ผลิตภัณฑ์ ของ A และ B ,ที่มีผู้อุทิศให้ที่× B ,เป็นที่ตั้งค่าซึ่งมีสมาชิกอยู่ทั้งหมดได้สั่งซื้อคู่( A , B )ที่เป็นสมาชิกของ A และ B เป็นสมาชิกของพ. Decartes ผลิตภัณฑ์ ของ{ 1 , 2 }และ{สีแดง,สีขาว}{( 1 ,สีแดง),( 1 ,สีขาว),( 2 ,สีแดง),( 2 ,สีขาว)}}.
กำลังตั้งค่าของที่ตั้งค่าให้เป็นที่ตั้งค่าซึ่งมีสมาชิกอยู่ทั้งหมดเป็นไปได้ส่วนย่อยของ A .สำหรับตัวอย่างเช่นตั้งค่า{ 1 , 2 }{{},{ 1 },{ 2 },{ 1,2 }}
บางอย่างแบบเรียบง่ายตั้งค่าของส่วนกลางมีความสำคัญที่ไม่มีข้อมูลตั้งค่า(ที่ตั้งค่าประกอบด้วยไม่มีที่เป็นเอกลักษณ์เฉพาะองค์ประกอบ),ที่ตั้งของธรรมชาติตัวเลข,และที่ตั้งของจริงหมายเลข.