Dynamical systems theory and chaos

Dynamical systems theory and chaos theory deal with the long-term qualitative behavior of dynamical systems. Here, the focus is not on finding precise solutions to the equations defining the dynamical system (which is often hopeless), but rather to answer questions like "Will the system settle down to a steady state in the long term, and if so, what are the possible steady states?", or "Does the long-term behavior of the system depend on its initial condition?"

An important goal is to describe the fixed points, or steady states of a given dynamical system; these are values of the variable that don't change over time. Some of these fixed points are attractive, meaning that if the system starts out in a nearby state, it converges towards the fixed point.

Similarly, one is interested in periodic points, states of the system that repeat after several timesteps. Periodic points can also be attractive. Sharkovskii's theorem is an interesting statement about the number of periodic points of a one-dimensional discrete dynamical system.

Even simple nonlinear dynamical systems often exhibit seemingly random behavior that has been called chaos.[2] The branch of dynamical systems that deals with the clean definition and investigation of chaos is called chaos theory.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ระบบ dynamical ทฤษฎีและทฤษฎีความโกลาหลจัดการกับการทำงานเชิงคุณภาพระยะยาวระบบ dynamical ที่นี่ โฟกัสอยู่ไม่ตอบสนองแม่นยำสมการ กำหนดระบบ dynamical (ซึ่งมักจะสิ้นหวัง), แต่ค่อนข้างจะตอบคำถามเช่น "จะระบบปักไปยังสถานะที่มั่นคงในระยะยาว และถ้าเป็นเช่นนั้น คือรัฐที่มั่นคงเป็นไปได้" หรือ "ไม่ทำงานระยะยาวของระบบขึ้นอยู่ กับสภาพเริ่มต้นหรือไม่"เป้าหมายสำคัญคือการ อธิบายจุดคง หรือ dynamical ระบบ รัฐมั่นคง เหล่านี้เป็นค่าของตัวแปรที่ไม่เปลี่ยนแปลงตลอดเวลา การแก้ไขจุดน่าสนใจ ซึ่งหมายความ ว่า ถ้าระบบเริ่มออกในรัฐใกล้เคียง มันแร็คต่อจุดถาวรในทำนองเดียวกัน หนึ่งสนใจจุดประจำงวด สถานะของระบบที่ทำซ้ำหลังจาก timesteps หลาย จุดเป็นระยะ ๆ ได้อย่างน่าสนใจ ทฤษฎีบทของ Sharkovskii เป็นคำสั่งที่น่าสนใจเกี่ยวกับจำนวนคะแนนประจำงวดระบบ dynamical one-dimensional แยกกันระบบ dynamical ไม่เชิงเส้นที่เรียบง่ายมักจะมีลักษณะการสุ่มดูเหมือนที่ถูกเรียกว่าความโกลาหล [2] สาขาระบบ dynamical ที่กับคำจำกัดความสะอาดและตรวจสอบของความวุ่นวาย เรียกว่าทฤษฎีความอลวน

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ทฤษฎีระบบพลวัตและการจัดการทฤษฎีความโกลาหลกับพฤติกรรมเชิงคุณภาพในระยะยาวของระบบ dynamical นี่โฟกัสไม่ได้อยู่ในการหาโซลูชั่นที่แม่นยำสมการกำหนดพลังของระบบ (ซึ่งมักจะเป็นความหวัง) แต่ค่อนข้างที่จะตอบคำถามเช่น "ระบบจะปักหลักกับความมั่นคงของรัฐในระยะยาวและหากดังนั้นสิ่งที่ มีความเป็นไปได้ที่มั่นคงรัฐ? "หรือ" ไม่พฤติกรรมในระยะยาวของระบบขึ้นอยู่กับสภาวะเริ่มต้นหรือไม่? "

เป้าหมายที่สำคัญคือการอธิบายจุดคงที่หรือรัฐคงที่ของพลังของระบบได้รับ; เหล่านี้เป็นค่าของตัวแปรที่ไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเวลาผ่านไป บางจุดเหล่านี้คงเป็นที่น่าสนใจซึ่งหมายความว่าถ้าระบบเริ่มออกมาในสภาพที่อยู่บริเวณใกล้เคียงก็ลู่ไปสู่จุดคงที่

ในทำนองเดียวกัน หนึ่งมีความสนใจในจุดระยะรัฐของระบบที่ทำซ้ำหลังจากหลาย timesteps จุดเป็นระยะ ๆ นอกจากนี้ยังสามารถที่น่าสนใจ ทฤษฎีบท Sharkovskii เป็นคำสั่งที่น่าสนใจเกี่ยวกับจำนวนของจุดระยะหนึ่งมิติพลังของระบบที่ไม่ต่อเนื่อง

ง่ายแม้ระบบ dynamical ไม่เชิงเส้นมักจะแสดงพฤติกรรมสุ่มดูเหมือนว่าได้รับการเรียกความวุ่นวาย. [2] สาขาของระบบ dynamical ที่เกี่ยวข้องกับคำนิยามของการทำความสะอาดและการตรวจสอบของความสับสนวุ่นวายที่เรียกว่าทฤษฎีความโกลาหล ง่ายแม้ระบบ dynamical ไม่เชิงเส้นมักจะแสดงพฤติกรรมสุ่มดูเหมือนว่าได้รับการเรียกความวุ่นวาย. [2] สาขาของระบบ dynamical ที่เกี่ยวข้องกับคำนิยามของการทำความสะอาดและการตรวจสอบของความสับสนวุ่นวายที่เรียกว่าทฤษฎีความโกลาหล ง่ายแม้ระบบ dynamical ไม่เชิงเส้นมักจะแสดงพฤติกรรมสุ่มดูเหมือนว่าได้รับการเรียกความวุ่นวาย. [2] สาขาของระบบ dynamical ที่เกี่ยวข้องกับคำนิยามของการทำความสะอาดและการตรวจสอบของความสับสนวุ่นวายที่เรียกว่าทฤษฎีความโกลาหล

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ทฤษฎีระบบทฤษฎีโกลาหลและจัดการกับพฤติกรรมเชิงคุณภาพระยะยาวของระบบเชิงพลวัต นี่ โฟกัสไม่แม่นในการหาโซลูชั่นสมการกำหนดระบบพลวัต ( ซึ่งมักจะเป็นสิ้นหวัง แต่แทนที่จะตอบคำถามเช่น " จะระบบปักหลักกับสภาพมั่นคงในระยะยาว และหากดังนั้นสิ่งที่จะเป็นไปได้คงที่รัฐ ? หรือ " พฤติกรรมในระยะยาวของระบบขึ้นอยู่กับสภาพเริ่มต้น ?เป้าหมายที่สำคัญคือการอธิบายจุดคงที่หรือคงที่ให้รัฐของระบบพลวัต เหล่านี้เป็นค่าของตัวแปรที่ไม่เปลี่ยนแปลงตลอดเวลา บางส่วนของเหล่านี้จุดคงที่จะน่าสนใจ หมายความ ว่า ถ้า ระบบจะเริ่มออกในรัฐใกล้เคียง มันหาทางแก้ไขจุดในทํานองเดียวกัน หนึ่งคือสนใจในจุดๆ รัฐของระบบที่พูดตามหลาย timesteps . จุดเป็นระยะๆ ยังสามารถเป็น ที่น่าสนใจ ทฤษฎีบทของ sharkovskii น่าสนใจงบเกี่ยวกับจำนวนของจุดระยะของมิติต่อเนื่องพลังระบบง่ายแม้พลวัตแบบไม่เชิงเส้นระบบมักจะแสดงพฤติกรรมที่สุ่มปรากฏอยู่นั้นถูกเรียก Chaos [ 2 ] สาขาของระบบพลวัต ที่เกี่ยวข้องกับการทำความสะอาดและตรวจสอบความนิยามเรียกว่าทฤษฎีความอลวน