Just as the definite integral of a

Just as the definite integral of a positive function of one variable represents the area of the region between the graph of the function and the x-axis, the double integral of a positive function of two variables represents the volume of the region between the surface defined by the function (on the three-dimensional Cartesian plane where z = f(x, y)) and the plane which contains its domain. (The same volume can be obtained via the triple integral—the integral of a function in three variables—of the constant function f(x, y, z) = 1 over the above-mentioned region between the surface and the plane.)[1] If there are more variables, a multiple integral will yield hypervolumes of multi-dimensional functions.

Multiple integration of a function in n variables: f(x1, x2, ..., xn) over a domain D is most commonly represented by nested integral signs in the reverse order of execution (the leftmost integral sign is computed last), followed by the function and integrand arguments in proper order (the integral with respect to the rightmost argument is computed last). The domain of integration is either represented symbolically for every argument over each integral sign, or is abbreviated by a variable at the rightmost integral sign:[2]

int cdots int_mathbf{D};f(x_1,x_2,ldots,x_n) ;dx_1 !cdots dx_n
Since the concept of an antiderivative is only defined for functions of a single real variable, the usual definition of the indefinite integral does not immediately extend to the multiple integral.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เช่นเดียวกับปริพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งบวกแสดงพื้นที่ของภูมิภาคระหว่างแกน x และกราฟของฟังก์ชัน สถาปนิกคู่ของฟังก์ชันบวกของสองตัวแปรแสดงระดับภูมิภาคระหว่างพื้นผิวที่กำหนด โดยฟังก์ชัน (บนเครื่องบินคาร์ทีเซียนสามมิติที่ z = f (x, y)) และเครื่องบินซึ่งประกอบด้วยโดเมนของ (ไดรฟ์ข้อมูลเดียวกันสามารถได้รับผ่านสามหนึ่ง — สำคัญของฟังก์ชันในตัวแปรที่สาม — ของตัวคงฟังก์ชัน f (x, y, z) = 1 เหนือภูมิภาคระหว่างพื้นผิวและเครื่องบินดังกล่าวข้างต้นได้) [1] หากมีตัวแปรเพิ่มเติม สำคัญหลายจะทำให้ hypervolumes ของฟังก์ชั่นหลายมิติรวมหลายฟังก์ชันในตัวแปร n: f (x1, x2,..., xn) บนโดเมน D มักแสดง โดยซ้อนหนึ่งป้ายในลำดับย้อนกลับการดำเนินการ (หมายหนึ่งซ้ายสุดคำนวณล่าสุด), ตาม ด้วยฟังก์ชันและ integrand อาร์กิวเมนต์ในลำดับเหมาะสม (สำคัญเกี่ยวกับอาร์กิวเมนต์ขวาสุดคำนวณล่าสุด) โดเมนรวมทั้งแสดงสัญลักษณ์สำหรับอาร์กิวเมนต์ทุกผ่านแต่ละราศีหนึ่ง หรือย่อ โดยตัวแปรที่สำคัญเครื่องหมายขวาสุด: [2] int cdots int_mathbf{D};f(x_1,x_2,ldots,x_n) ;dx_1 !cdots dx_n เนื่องจากแนวคิดของปฏิมีกำหนดสำหรับฟังก์ชันของตัวแปรจริงที่เดียวเท่านั้น คำปกติของสถาปนิก indefinite ได้ทันทีขยายไปสำคัญหลาย

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เช่นเดียวกับหนึ่งที่ชัดเจนของฟังก์ชั่นในเชิงบวกของตัวแปรหนึ่งหมายถึงพื้นที่ของพื้นที่ระหว่างกราฟของฟังก์ชั่นและแกน x ที่ที่หนึ่งคู่ของฟังก์ชั่นในเชิงบวกของสองตัวแปรหมายถึงปริมาณของภูมิภาคระหว่างพื้นผิวที่กำหนดไว้ โดยฟังก์ชั่น (บนเครื่องบินคาร์ทีเซียนสามมิติที่ Z = f (x, y)) และเครื่องบินที่มีประสิทธิภาพสูง (ปริมาณเดียวกันสามารถได้รับผ่านทางสามหนึ่งที่สำคัญของการทำงานในสามตัวแปร-ของ F คงที่ฟังก์ชั่น (x, y, z) = 1 มากกว่าภูมิภาคดังกล่าวข้างต้นระหว่างพื้นผิวและเครื่องบิน.) [ 1] หากมีตัวแปรมากขึ้นหนึ่งจะให้ผลผลิตหลาย hypervolumes ของฟังก์ชั่นหลายมิติ. บูรณาการหลายฟังก์ชั่นในตัวแปร n: f (X1, X2, ... , xn) กว่า D โดเมนเป็นตัวแทนกันมากที่สุด สัญญาณหนึ่งที่ซ้อนกันในลำดับย้อนกลับของการดำเนินการ (เข้าสู่ระบบหนึ่งซ้ายสุดคือการคำนวณที่ผ่านมา) ตามด้วยฟังก์ชั่นและ integrand ข้อโต้แย้งในการสั่งซื้อที่เหมาะสม (คนหนึ่งเกี่ยวกับการโต้แย้งขวาสุดคือการคำนวณที่ผ่านมา) โดเมนของการบูรณาการอย่างใดอย่างหนึ่งเป็นตัวแทนของสัญลักษณ์สำหรับอาร์กิวเมนต์แต่ละสัญญาณหนึ่งทุกหรือย่อมาจากตัวแปรที่สัญญาณหนึ่งขวาสุด: [2] int cdots int_ mathbf {d} ; f (x_1, x_2, ldots, x_n) ;! dx_1 cdots dx_n ตั้งแต่แนวคิดของการปฏิยานุพันธ์มีการกำหนดเฉพาะสำหรับฟังก์ชั่นของตัวแปรจริงเดียวความหมายปกติของหนึ่งไม่แน่นอนไม่ได้ทันทีขยายไปหลายหนึ่ง

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เช่นเดียวกับปริพันธ์จำกัดเขตของฟังก์ชันบวกตัวแปรเดียวแทนพื้นที่ของภูมิภาคระหว่างกราฟของฟังก์ชันและแกน ดับเบิลปริพันธ์ของฟังก์ชันสองตัวแปรเป็นบวกปริมาณของภูมิภาคระหว่างพื้นผิวที่กำหนดโดยฟังก์ชัน ( บนเครื่องบิน Cartesian สามมิติที่ Z = f ( X Y ) ) และเครื่องบินซึ่งมีโดเมนของ ( ระดับเสียงเดียวกันสามารถได้รับผ่านสามปริพันธ์ปริพันธ์ของฟังก์ชันสามตัวแปรของค่าคงที่ฟังก์ชัน f ( x , y , z ) = 1 มากกว่าภูมิภาคดังกล่าวระหว่างพื้นผิวและเครื่องบิน ) [ 1 ] หากมีตัวแปรอีกหลายส่วนประกอบ จะทำให้ hypervolumes ของฟังก์ชันหลายมิติบูรณาการหลายฟังก์ชั่นในตัวแปร n : f ( x1 , x2 , . . . , คริสเตียน ) มากกว่าโดเมน D มักแสดงโดยซ้อนกันเป็นสัญญาณในย้อนกลับเพื่อปฏิบัติการ ( ด้านซ้ายเป็นสัญญาณจะคำนวณล่าสุด ) , ตามด้วยฟังก์ชันและอาร์กิวเมนต์ในการสั่งซื้อที่เหมาะสมปริพัทธ์ ( หนึ่งกับการเคารพ อาร์กิวเมนต์จะคำนวณตำแหน่งสุดท้าย ) โดเมนของการบูรณาการ คือให้แสดงสัญลักษณ์สำหรับทุกอาร์กิวเมนต์แต่ละหนึ่งเครื่องหมาย หรือย่อโดยตัวแปรที่ตำแหน่งหนึ่งสัญญาณ : [ 2 ]1 cdots int_mathbf { D } ; F ( x_1 x_2 ldots x_n , , , ) ; dx_1 ! cdots dx_nตั้งแต่แนวคิดของรัฐอานธรประเทศเป็นเพียงนิยามเดียวฟังก์ชันของตัวแปรที่แท้จริง , ความละเอียดปกติของอินทิกรัลไม่จำกัดเขตไม่ได้ทันที ขยายไปยังหลายหนึ่ง