Summary. Given a function defined o

Summary. Given a function defined on a subset of the plane whose partial derivatives never
change sign, the signs of the partial derivatives form a two-dimensional pattern. We explore
what patterns are possible for various planar domains.
References
1. J. Clark, Derivative sign patterns, College Math. J. 42 (2011) 379–381; available at http://dx.doi.org/
10.4169/college.math.j.42.5.379.
2. K. Schilling, Addendum to derivative sign patterns in two dimensions; available at http://www.maa.org/
pubs/cmj-index/cmj_supplements/WebAddendum.pdf
Teaching Tip: When a Matrix and Its Inverse Are Stochastic
J. Ding ([e-mail]) and N. H. Rhee ([e-mail])
A matrix is called nonnegative if each of its entries is a nonnegative number. A
square nonnegative matrix is stochastic if each of its row sums is 1. Stochastic
matrices have many applications in probability and statistics, Markov chains,
ergodic theory, numerical analysis, etc. For example, the world’s largest matrix,
the Google matrix, is a huge stochastic matrix of size in the order of billions.
An identity matrix is the simplest example of a stochastic matrix. Another
example is a permutation matrix whose rows are, by definition, the permuted
rows of an identity matrix. Permutation matrices are invertible and its inverse is
also a permutation matrix. Thus, a permutation matrix and its inverse are both
stochastic.
How about the converse of the last statement? That is, if an invertible matrix
and its inverse are both stochastic, should it necessarily be a permutation matrix?
In the following, we provide an affirmative answer with a simple proof.
Let A = (ai j) be an n × n invertible stochastic matrix, and denote its inverse
by B = (bi j), which is assumed to be stochastic. Then, by the definition of inverse
matrix,
Xn
k=1
aikbkj = δi j (1)
for all i, j = 1, 2, . . . , n, where δi j = 0 for i 6= j and δii = 1. Now we fix i and
consider the ith row of A. If j 6= i, then equation (1) becomes
Xn
k=1
aikbkj = 0.
Since each term of the left-hand side summation in this equality is nonnegative,
we have for all k = 1, 2, . . . , n that
aikbkj = 0.
(continues on next page)
108 THE MATHEMATICAL ASSOCIATION OF AMERICA
This content downloaded from 110.164.170.1 on Sun, 17 May 2015 16:03:47 UTC
All use subject to JSTOR Terms and Conditions
(continued from previous page)
Since A is nonnegative and invertible, there is at least one positive entry, say
air > 0, along the ith row. Hence, the above equality ensures that
br j = 0
for all j 6= i. Since the rth row of B cannot be zero, bri > 0, and so bri = 1 since
B is stochastic.
Next we show that A cannot have two positive numbers in its ith row. If ais >
0 for some s 6= r, then the same argument as above implies that
bsj = 0
for all j 6= i and bsi = 1. This means that the rth row and the sth row of B are
identical, which is impossible since B is invertible. It follows that
ai j = 0
for all j 6= r and air > 0, which implies that air = 1 since A is stochastic.
We have shown that the ith row of A is actually the rth row of the identity
matrix. Since A is invertible, no two rows are identical. This proves that A is a
permutation matrix. In summary, we have the following result.
Theorem. An invertible matrix and its inverse are both stochastic if and only if
it is a permutation matrix.
Other proofs can be obtained by using spectral properties about stochastic matrices
[2] or the Frobenius canonical form of nonnegative matrices [3]. But they
are all somewhat involved and based on other results; for example, see Proposition
3.11 in [1]. Our proof here is elementary and uses minimal knowledge of
stochastic matrices.
Summary. A stochastic matrix is a square matrix with nonnegative entries and row
sums 1. The simplest example is a permutation matrix, whose rows permute the rows of
an identity matrix. A permutation matrix and its inverse are both stochastic. We prove the
converse, that is, if a matrix and its inverse are both stochastic, then it is a permutation
matrix.
References
1. J. Ding and A. Zhou, Nonnegative Matrices, Positive Operators, and Applicati

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

สรุป ให้ฟังก์ชันกำหนดบนชุดย่อยของเครื่องบินที่มีอนุพันธ์บางส่วนไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย เครื่องหมายของอนุพันธ์บางส่วนแบบรูปแบบสองมิติ เราสำรวจรูปแบบใดเป็นไปได้สำหรับโดเมนระนาบต่าง ๆการอ้างอิง1. J. Clark รูปแบบเครื่องหมายตราสารอนุพันธ์ คณิตศาสตร์วิทยาลัย เจ. 42 (2011) 379-381 http://dx.doi.org/10.4169/college.math.j.42.5.3792. คุณ Schilling ภาคผนวกกับรูปแบบเครื่องหมายตราสารอนุพันธ์ในสองมิติ http://www.maa.org/pubs/cmj-index/cmj_supplements/WebAddendum.pdfสอนคำแนะนำ: เมื่อเมทริกซ์ผกผันของใจแบบเฟ้นสุ่มJ. ดิง ([e-mail]) และ Rhee H. N. ([e-mail])เมทริกซ์คือ nonnegative ถ้าแต่ละรายการของหมายเลข nonnegative Anonnegative สแควร์เมตริกซ์สโทแคสติกถ้าแต่ละผลรวมของแถว 1 ได้ สโทแคสติกเมทริกซ์มีโปรแกรมประยุกต์หลายในความน่าเป็น และสถิติ Markov chainsทฤษฎี ergodic วิเคราะห์เลข ฯลฯ ตัวอย่าง โลกที่ใหญ่ที่สุดเมตริกซ์Google เมตริกซ์ เมทริกซ์แบบเฟ้นสุ่มใหญ่ขนาดกับพันล้านได้เมทริกซ์เอกลักษณ์เป็นตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของเมทริกซ์แบบเฟ้นสุ่ม อื่นตัวอย่างที่เป็นเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนแถวนั้น โดยคำจำกัดความ การ permutedแถวของเมทริกซ์เอกลักษณ์การ เมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนเป็นสามารถหาอินเวอร์ส และผกผันของยังเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยน ดังนั้น เมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนและผกผันของใจแบบเฟ้นสุ่มวิธีการเกี่ยวกับการตรงกันข้ามคำสุดท้าย นั่นคือ ถ้าเป็นเมตริกซ์ที่สามารถหาอินเวอร์สและใจผกผันของสโทแคสติก มันจำเป็นต้องควรเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนในต่อไปนี้ เราให้คำตอบยืนยัน ด้วยหลักฐานที่เชื่อให้ = (เจไอ) ถูก n × n สามารถหาอินเวอร์สสโทแคสติกเมทริกซ์การ และค่าผกผันของแสดงโดย B = (เจ bi), ซึ่งจะถือแบบเฟ้นสุ่ม แล้ว ตามนิยามของค่าผกผันเมทริกซ์Xnk = 1aikbkj = δi เจ (1)สำหรับทุก i, j = 1, 2,..., n ที่ δi j = 0 หา 6 =เจและ δii = 1 ตอนนี้เราแก้ไขฉัน และพิจารณาแถวระยะของ ถ้าเจ 6 =, แล้วกลายเป็นสมการ (1)Xnk = 1aikbkj = 0แต่ละระยะของการรวมด้านซ้ายมือในความเสมอภาคนี้เป็น nonnegativeเรามีสำหรับทั้งหมด k = 1, 2,..., n ที่aikbkj = 0(ต่อหน้า)108 การเชื่อมโยงทางคณิตศาสตร์ของอเมริกาเนื้อหานี้ดาวน์โหลดจาก 110.164.170.1 เมื่ออาทิตย์ 17 2015 พฤษภาคม 16:03:47 UTCใช้ทั้งหมดภายใต้เงื่อนไข JSTOR(ต่อจากหน้าที่แล้ว)เนื่องจากเป็น nonnegative และสามารถหาอินเวอร์ส มีรายการค่าบวกน้อย กล่าวว่าอากาศ > 0 ตามแถวระยะ ดังนั้น ความเสมอภาคดังกล่าวมั่นใจได้br j = 0สำหรับเจทั้งหมด 6 =ฉัน ตั้งแต่แถว rth ของ B ไม่เป็นศูนย์ bri > 0 และ bri นั้น = 1 ตั้งแต่B เป็นแบบเฟ้นสุ่มต่อไป เราแสดงว่า ไม่ได้บวกสองแถวเป็นระยะ ถ้าเอไอเอส >0 สำหรับบาง 6 s = r แล้วอาร์กิวเมนต์เดียวตามข้างต้นหมายถึงการที่bsj = 0สำหรับเจทั้งหมด 6 =ฉันและ bsi = 1 ซึ่งหมายความว่าแถว rth และแถว sth บีเหมือนกัน ที่เป็นไปไม่ได้เนื่องจาก B สามารถหาอินเวอร์ส เป็นไปตามที่อายเจ = 0สำหรับเจทั้งหมด 6 = r และอากาศ > 0 ซึ่งหมายความว่าอากาศ = 1 เนื่องจากเป็นแบบเฟ้นสุ่มเราได้แสดงว่าแถวระยะของ A จริงแถว rth ข้อมูลประจำตัวเมตริกซ์การ เนื่องจาก A สามารถหาอินเวอร์ส แถวสองไม่เหมือนกัน นี้พิสูจน์ได้ว่า เป็นการเมตริกซ์การเรียงสับเปลี่ยน ในสรุป เรามีผลลัพธ์ต่อไปนี้ทฤษฎีบท สามารถหาอินเวอร์สเมตริกซ์และผกผันของคือ ถ้าสโทแคสติกและรับเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนได้หลักฐานอื่น ๆ ได้ โดยใช้คุณสมบัติของสเปกตรัมเกี่ยวกับเมทริกซ์แบบเฟ้นสุ่ม[2] หรือแบบฟอร์มมาตรฐานโฟรเบนีอุสของเมทริกซ์ nonnegative [3] แต่พวกเขาทั้งหมดค่อนข้างเกี่ยวข้อง และตามผลลัพธ์อื่น ๆ ดูตัวอย่าง ข้อเสนอ3.11 ใน [1] หลักของเราคือระดับประถมศึกษา และใช้ความรู้น้อยที่สุดเมทริกซ์แบบเฟ้นสุ่มสรุป สโทแคสติกเมทริกซ์เป็นเมทริกซ์จัตุรัสกับรายการ nonnegative และแถวผลรวม 1 ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือ เมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยน แถว permute แถวของเมทริกซ์เอกลักษณ์การ เมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนและผกผันของมีทั้งแบบเฟ้นสุ่ม เราพิสูจน์สนทนา คือ ถ้าเมทริกซ์และผกผันของทั้งสโทแคสติก เป็นการเรียงสับเปลี่ยนเมตริกซ์การการอ้างอิง1. J. ดิง และ โจว A., Nonnegative เมทริกซ์ ตัวบวก และ Applicati

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ย่อ ฟังก์ชั่นได้รับการกำหนดไว้ในส่วนหนึ่งของเครื่องบินที่มีอนุพันธ์ย่อยไม่เคย
เปลี่ยนป้ายสัญญาณของสัญญาซื้อขายล่วงหน้าบางส่วนในรูปแบบรูปแบบสองมิติ เราสำรวจ
สิ่งที่รูปแบบที่เป็นไปได้สำหรับโดเมนระนาบต่างๆ.
อ้างอิง
1 เจคลาร์กรูปแบบสัญญาณอนุพันธ์วิทยาลัยคณิตศาสตร์ เจ 42 (2011) 379-381; สามารถดูได้ที่ http://dx.doi.org/
10.4169 / college.math.j.42.5.379.
2 เคชิลลิงภาคผนวกรูปแบบสัญญาณอนุพันธ์ในสองมิติ; สามารถดูได้ที่ http://www.maa.org/
ผับ / CMJ ดัชนี / cmj_supplements / WebAddendum.pdf
เคล็ดลับการเรียนการสอน: เมื่อเมทริกซ์และผกผันของมันเป็น Stochastic
เจ Ding ([e-mail]) และ NH รีฮ์ ([e-mail])
เมทริกซ์ที่เรียกว่าไม่เป็นลบถ้าแต่ละรายการที่เป็นตัวเลขติดลบ
ตารางค่าลบเมทริกซ์คือสุ่มถ้าแต่ละแถวผลรวมของมันคือ 1. Stochastic
การฝึกอบรมมีการใช้งานจำนวนมากในความน่าจะเป็นและสถิติโซ่มาร์คอฟ
อัตลักษณ์ทฤษฎีการวิเคราะห์เชิงตัวเลข ฯลฯ ตัวอย่างเช่นเมทริกซ์ที่ใหญ่ที่สุดในโลก,
เมทริกซ์ของ Google เป็น เมทริกซ์สุ่มขนาดใหญ่ที่มีขนาดในการสั่งซื้อของพันล้าน.
เมทริกซ์เอกลักษณ์เป็นตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของเมทริกซ์สุ่ม อีก
ตัวอย่างคือเมทริกซ์ที่มีการเปลี่ยนแปลงอยู่แถวโดยนิยาม permuted
แถวของเมทริกซ์เอกลักษณ์ การฝึกอบรมการเปลี่ยนแปลงเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกลับด้านและมันคือ
การเปลี่ยนแปลงยังเมทริกซ์ ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงเมทริกซ์และผกผันของมันมีทั้ง
สุ่ม.
วิธีการเกี่ยวกับการสนทนาของคำสั่งที่ผ่านมา? นั่นคือถ้าเมทริกซ์กลับด้าน
และผกผันที่มีความสุ่มทั้งสองก็ควรจำเป็นต้องเปลี่ยนแปลงเมทริกซ์?
ในต่อไปนี้เรามีคำตอบยืนยันด้วยหลักฐานที่เรียบง่าย.
Let = (ไอเจ) เป็น n × n invertible สุ่ม เมทริกซ์และแสดงสิ่งที่ตรงกันข้าม
โดย B = (สองเจ) ซึ่งจะถือว่าสุ่ม จากนั้นตามคำนิยามของการผกผัน
เมทริกซ์
Xn
k = 1
aikbkj = δiญ (1)
สำหรับทุกฉัน j = 1, 2, . . , n โดยที่δiญ = 0 สำหรับฉัน 6 = เจδii = 1 ตอนนี้เราจะแก้ไขปัญหาผมและ
พิจารณาแถว ith ของ A. ถ้าญ 6 = ฉันสมแล้ว (1) จะกลายเป็น
Xn
k = 1
aikbkj = 0
เนื่องจากระยะเวลาของแต่ละบวกด้านซ้ายมือในความเสมอภาคนี้เป็นค่าลบ,
เรามีสำหรับทุก k = 1, 2, . . , n ที่
aikbkj = 0
(ยังคงอยู่ในหน้าถัดไป)
108 คณิตศาสตร์สมาคมแห่งอเมริกา
เนื้อหานี้ดาวน์โหลดได้จาก 110.164.170.1 on Sun, 17 พฤษภาคม 2015 16:03:47 UTC
เรื่องการใช้งานทั้งหมดจะ JSTOR ข้อตกลงและเงื่อนไข
(ต่อจากที่ก่อนหน้านี้ หน้า)
เนื่องจากเป็นค่าลบและกลับด้าน, มีอย่างน้อยหนึ่งรายการบวกบอกว่า
อากาศ> 0 พร้อมแถวที่ i ดังนั้นความเท่าเทียมกันดังกล่าวข้างต้นเพื่อให้แน่ใจว่า
เจนอน = 0
สำหรับทุกญ 6 = ฉัน ตั้งแต่แถว RTH ของ B ไม่สามารถเป็นศูนย์ BRI> 0, และอื่น ๆ BRI = 1 ตั้งแต่
B คือสุ่ม.
ต่อไปเราแสดงให้เห็นว่าไม่สามารถมีสองหมายเลขในเชิงบวกในแถวที่ i ของ หากเอไอเอส>
0 สำหรับบาง s 6 = R แล้วอาร์กิวเมนต์เดียวกับข้างต้นแสดงให้เห็นว่า
BSJ = 0
สำหรับทุกญ 6 = ฉันและ BSI = 1 ซึ่งหมายความว่าแถว RTH และแถวฏของ B เป็น
เหมือนกันซึ่งเป็น เป็นไปไม่ได้ตั้งแต่ B คือ invertible มันตามที่
ไอเจ = 0
สำหรับทุก 6 = เจอาร์และอากาศ> 0 ซึ่งหมายความว่าอากาศ = 1 ตั้งแต่เป็นสุ่ม.
เราได้แสดงให้เห็นว่าแถวที่ i ของเป็นจริงแถว RTH ของตัวตนของ
เมทริกซ์ เนื่องจากเป็น invertible ไม่มีสองแถวเหมือนกัน นี้พิสูจน์ให้เห็นว่าเป็น
เมทริกซ์การเปลี่ยนแปลง โดยสรุปเราจะมีผลต่อไป.
ทฤษฎีบท เมทริกซ์ผกผันกลับด้านและมีความสุ่มทั้งถ้าหาก
มันเป็นเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลง.
หลักฐานอื่น ๆ สามารถหาได้โดยใช้คุณสมบัติการฝึกอบรมเกี่ยวกับผีสุ่ม
[2] หรือ Frobenius ยอมรับรูปแบบของการฝึกอบรมไม่เป็นลบ [3] แต่พวกเขา
มีทั้งหมดค่อนข้างมีส่วนร่วมและขึ้นอยู่กับผลอื่น ๆ เช่นเห็นโจทย์
3.11 ใน [1] หลักฐานของเราที่นี่คือระดับประถมศึกษาและใช้ความรู้ที่น้อยที่สุดของ
การฝึกอบรมสุ่ม.
อย่างย่อ สุ่มเมทริกซ์เมทริกซ์เป็นตารางที่มีรายการไม่เป็นลบและแถว
ผลรวม 1. ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือการเปลี่ยนแปลงเมทริกซ์ซึ่งเปลี่ยนรูปแถวแถวของ
เมทริกซ์เอกลักษณ์ เมทริกซ์ผกผันและการเปลี่ยนแปลงที่มีความสุ่มทั้ง เราพิสูจน์
สนทนา, ที่อยู่, ถ้าเมทริกซ์และผกผันที่มีความสุ่มทั้งสองแล้วมันเป็นความเปลี่ยนแปลง
เมทริกซ์.
อ้างอิง
1 เจเอ Ding และโจวไม่เป็นลบเมทริกซ์, ผู้ประกอบการในเชิงบวกและ Applicati

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

สรุป ได้รับการทำงานที่กำหนดไว้บนเซตย่อยของเครื่องบินที่มีอนุพันธ์ย่อยไม่เคย
เปลี่ยนเครื่องหมาย เครื่องหมายของอนุพันธ์ย่อยรูปแบบรูปแบบ 2 มิติ เราสำรวจ
อะไรรูปแบบเป็นไปได้สำหรับโดเมนที่ระนาบอ้างอิงต่าง ๆ

1 เจคลาร์ก , รูปแบบ , วิทยาลัยคณิตศาสตร์สัญญาณที่ได้มา J . 42 ( 2011 ) 379 – 381 ; สามารถดูได้ที่ http : / / DX ดอย . org /
10.4169 / มหาวิทยาลัย คณิตศาสตร์ j.42.5.379 .
2 K .ชิลลิ่งอีกรูปแบบอนุพันธ์ , สัญลักษณ์สองมิติ ; สามารถดูได้ที่ http : / / www.maa . org /
ผับ / ดัชนี / cmj_supplements CMJ / webaddendum เคล็ดลับการสอน PDF
: เมื่อเมทริกซ์และผกผันเป็น Stochastic
J ติง ( [e-mail] ) และเอ็นเอช Rhee ( rheen @ umkc . edu )
เมทริกซ์ เรียกว่า nonnegative ถ้าแต่ละรายการของหมายเลข nonnegative .
เป็นเมทริกซ์จัตุรัส nonnegative คือ stochastic ถ้าแต่ละแถวของผลรวมเป็น 1 Stochastic
เมทริกซ์มีการใช้งานมากในความน่าจะเป็นและสถิติ ลูกโซ่มาร์คอฟ
อัตลักษณ์ทฤษฎี การวิเคราะห์เชิงตัวเลข ฯลฯ ตัวอย่างเช่นเมทริกซ์ที่ใหญ่ที่สุดของโลก ,
เมทริกซ์ Google เป็นใหญ่ Stochastic เมทริกซ์ขนาดในการสั่งซื้อของพันล้าน
เป็นเมตริกซ์เอกลักษณ์คือ ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของเมทริกซ์สโตแคสติก อีก
ตัวอย่างการเปลี่ยนแปลงที่เป็นเมทริกซ์แถว , โดยความหมาย , permuted
แถวตัวตนของเมทริกซ์ การเปลี่ยนแปลงของเมทริกซ์จะ invertible ผกผันคือ
ยังถูกอกถูกใจเมทริกซ์ ดังนั้น วิธีเรียงสับเปลี่ยนและเมทริกซ์ผกผันเป็นทั้ง
Stochastic .
แล้วสนทนาของแถลงการณ์สุดท้าย นั่นคือ ถ้า invertible เมทริกซ์ผกผัน
และทั้งสโตแคสติก