Theorem 2. There are .n − 2/=8 non-

Theorem 2. There are .n − 2/=8 non-zero numbers m so that the eigenvalues of
A.Sn/ are p; −p and .n − 2/=8 octets of eigenvalues each containing two copies of
each of m and 
−1
m ; m D 1; : : : ; .n − 2/=8; and each of the latter eigenvalues
has a magnitude less than the spectral radius p.
Proof. Since p is odd, p D 2q C 1, and so .n − 2/=8 D .p2 C 1 − 2/=8 D .q2 C
q/=2, which is an integer for every integer value of q. This determines the number
of octets characterized below for each prescribed value of n. Since A.Sn/ is nonnegative,
irreducible and symmetric, all eigenvalues are real, and Perron–Frobenius
theory implies that the two eigenvalues p and −p are simple, and all other eigenvalues
have magnitude less than p. As each of these remaining eigenvalues E.z/ in
(3) is a real valued function of z with real coefficients, and z is an nth root of unity,
E.z/ D E.z/ D E.z/ D E.1=z/. This shows that each remaining eigenvalue occurs
twice. Also, by (3), E.−z/ D −E.z/, which shows that if  is an eigenvalue, then
− is also an eigenvalue. The proof of Theorem 1 shows that if  =D p, then 
−1
is also an eigenvalue. Combining these observations gives the octet result.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ทฤษฎีบทที่ 2 มี.n − 2 / = 8 เลขไม่ใช่ศูนย์ m ให้ค่าลักษณะเฉพาะของA.Sn/ มี p −p และ.n − 8 =-2 octets ของค่าลักษณะเฉพาะสำเนาสองแต่ละที่มีของ m และ − 1m m D 1 : : : ; .n − 2/=8; และแต่ละค่าลักษณะเฉพาะหลังมีขนาดน้อยกว่า p รัศมีสเปกตรัมหลักฐาน เนื่องจาก p เป็นคี่ p D 2q C 1 และดังนั้น.n − 2 / = 8 D .p2 C 1 − 2 / = 8 D .q2 Cq / = 2 ซึ่งเป็นจำนวนเต็มทุกจำนวนเต็มค่าของ q นี้กำหนดหมายเลขการ octets ลักษณะด้านล่างสำหรับแต่ละค่าที่กำหนดของ n ตั้งแต่ nonnegative, A.Sn/อย่างต่ำ และสมมาตร ค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดที่เป็นจริง และ Perron – โฟรเบนีอุสทฤษฎีหมายถึงว่า ค่าลักษณะเฉพาะ p และ −p สองจะง่าย และค่าลักษณะเฉพาะอื่น ๆมีขนาดน้อยกว่า p เป็นแต่ละเหล่านี้ที่เหลือ ค่าลักษณะเฉพาะ E.z/ ใน(3) เป็นฟังก์ชันให้จริงของ z กับสัมประสิทธิ์จริง และ z เป็นราก nth ของสามัคคีE.z/ D E.z/ D E.z/ D E.1=z/ นี้แสดงให้เห็นว่า แต่ละ eigenvalue ที่เหลือเกิดสองครั้ง ด้วย โดย (3), E.−z/ D −E.z/ ซึ่งแสดงให้เห็นว่าถ้าเป็น eigenvalue แล้ว−เป็นการ eigenvalue หลักฐานของทฤษฎีบท 1 แสดงว่าถ้า = D p แล้ว − 1ยังเป็นการ eigenvalue รวมข้อสังเกตเหล่านี้ให้ผลออกเต

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

2 / = 8 ตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์ม. เพื่อให้ค่าลักษณะเฉพาะของ - ทฤษฏี 2 มี .n มี
; A.Sn/ มี P -p และ .n - 2 / = 8 octets ค่าลักษณะเฉพาะของแต่ละที่มีสองสำเนาของ
แต่ละ M ?? ?? และ
-1
เมตร M D 1; :::; .n - 2 / = 8; และแต่ละค่าลักษณะเฉพาะหลัง
มีขนาดน้อยกว่ารัศมี P สเปกตรัม.
หลักฐาน ตั้งแต่ P แปลก P D 2Q C 1 และอื่น ๆ .n - 2 / D = 8 .p2 ซี 1 - 2 / D = 8 .q2 C
Q / = 2 ซึ่งเป็นจำนวนเต็มสำหรับค่าจำนวนเต็มของ Q ทุก นี้จะกำหนดจำนวน
ของ octets ลักษณะดังต่อไปนี้แต่ละค่าที่กำหนดของ n ตั้งแต่ A.Sn/ เป็นค่าลบ,
ลดลงและสมมาตรค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดเป็นจริงและ Perron-Frobenius
ทฤษฎีหมายความว่าทั้งสองค่าลักษณะเฉพาะและ P -p มีความเรียบง่ายและค่าลักษณะเฉพาะอื่น ๆ ทั้งหมดที่
มีขนาดน้อยกว่า P ในฐานะที่เป็นลักษณะเฉพาะของแต่ละคนที่เหลือเหล่านี้ Ez / ใน
(3) เป็นฟังก์ชั่นมูลค่าที่แท้จริงของ Z มีค่าสัมประสิทธิ์จริงและ Z เป็นรากที่ n ของความสามัคคี,
Ez / D Ez / D Ez / D E.1 = z / นี้แสดงให้เห็นว่าแต่ละ eigenvalue เหลือเกิดขึ้น
สองครั้ง นอกจากนี้โดย (3), อี-Z / D -Ez / ซึ่งแสดงให้เห็นว่าถ้า? เป็น eigenvalue แล้ว
? - นอกจากนี้ยังเป็นค่าเฉพาะ หลักฐานการทฤษฎีบท 1 แสดงให้เห็นว่าถ้า? = D? P แล้ว? 
-1
ยังเป็นค่าเฉพาะ รวมข้อสังเกตเหล่านี้ให้ผล octet

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ทฤษฎีบท 2 มี N − 2 = 8 ไม่เป็นตัวเลขเพื่อให้แบบ Ma.sn/ มี P ; − P และ N − 2 = 8 octets ของค่าแต่ละที่มีสองเล่มของแต่ละ M− 1M ; 1 M D ; : : : ; n − 2 = 8 ; และของแต่ละแบบหลังมีขนาดน้อยกว่าแสงรัศมี Pพิสูจน์ เนื่องจาก P เป็นคี่ , P D C 1 และ 2 , N − 2 = 8 d . P2 C 1 − 2 = 8 D . Q2 cQ / = 2 ซึ่งเป็นจำนวนเต็มทุกค่าจำนวนเต็ม Q นี้กำหนดหมายเลขลักษณะของ octets ด้านล่างสำหรับแต่ละที่ค่า ( ตั้งแต่เป็น nonnegative a.sn/ ,ลด และสมมาตรทุกค่าจริงและเปอรอง–โฟรเบนีอุสทฤษฎีแสดงให้เห็นว่าสองค่า P และ− P ง่ายและค่าอื่น ๆทั้งหมดมีขนาดน้อยกว่าหน้าแต่ละคนแบบ e.z/ เหล่านี้ที่เหลือใน( 3 ) เป็นฟังก์ชันค่าจริงกับค่าจริงของ Z และ Z คือลาฮอร์ของความสามัคคีe.z/ D D D e.z/ e.z/ e.1 = Z / นี้แสดงให้เห็นว่าแต่ละที่เหลือค่าเกิดขึ้นสองครั้ง นอกจากนี้โดย ( 3 ) , E . Z / D −− e.z/ ซึ่งแสดงให้เห็นว่าถ้าเป็นค่าแล้วบริษัท เวสเทิร์น เป็นค่า . ข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทที่ 1 แสดงให้เห็นว่าถ้า = D P แล้ว− 1เป็นค่า . รวมข้อสังเกตเหล่านี้ให้ผลออกเท็ต .