n probability theory, the inverse G

n probability theory, the inverse Gaussian distribution (also known as the Wald distribution) is a two-parameter family of continuous probability distributions with support on (0,∞).

Its probability density function is given by

f(x;mu,lambda)
= left[frac{lambda}{2 pi x^3}
ight]^{1/2} exp{frac{-lambda (x-mu)^2}{2 mu^2 x}}
for x > 0, where mu > 0 is the mean and lambda > 0 is the shape parameter.

As λ tends to infinity, the inverse Gaussian distribution becomes more like a normal (Gaussian) distribution. The inverse Gaussian distribution has several properties analogous to a Gaussian distribution. The name can be misleading: it is an "inverse" only in that, while the Gaussian describes a Brownian Motion's level at a fixed time, the inverse Gaussian describes the distribution of the time a Brownian Motion with positive drift takes to reach a fixed positive level.

Its cumulant generating function (logarithm of the characteristic function) is the inverse of the cumulant generating function of a Gaussian random variable.

To indicate that a random variable X is inverse Gaussian-distributed with mean μ and shape parameter λ we write

X sim IG(mu, lambda).,!

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ทฤษฎีความน่าเป็น n ผกผัน Gaussian กระจาย (หรือที่เรียกว่าการแจกแจง Wald) เป็นครอบครัว 2 พารามิเตอร์ของการกระจายความน่าเป็นอย่างต่อเนื่องกับการ (0 ∞)ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าเป็นของถูกกำหนดโดย f(x;mu,lambda)= left[frac{lambda}{2 pi x ^ 3 }
ight] ^ {1/2 } exp{frac{-lambda (x-mu) ^ 2 } { 2 mu^2 x } }x > 0 ที่ mu > 0 คือ ค่าเฉลี่ยและ lambda > 0 เป็นพารามิเตอร์รูปร่างเป็นλมีแนวโน้มที่อนันต์ ผกผัน Gaussian กระจายกลายเป็นเพิ่มเติมเช่นการกระจาย (Gaussian) ปกติ ผกผัน Gaussian กระจายมีหลายคุณสมบัติที่คล้ายคลึงกับการกระจาย Gaussian ชื่อสามารถเป็นระยะ ๆ: จะ "ผกผัน" เฉพาะที่ ขณะ Gaussian ที่อธิบายถึงระดับของการเคลื่อนที่แบบบราวน์ในเวลา ผกผัน Gaussian อธิบายการกระจายของเวลา การเคลื่อนที่แบบบราวน์กับดริฟท์บวกจะถึงระดับบวกถาวรได้Cumulant การสร้างฟังก์ชัน (ลอการิทึมฟังก์ชันลักษณะ) เป็นค่าผกผันของ cumulant สร้างฟังก์ชันของตัวแปรสุ่มแบบ Gaussianเพื่อระบุว่า ตัวแปรสุ่ม X เป็นตัวผกผัน Gaussian กระจายกับเฉลี่ยμและรูปร่างพารามิเตอร์λเราเขียนX sim IG(mu, lambda).,!

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

n ทฤษฎีความน่าจะกระจายเสียนผกผัน (หรือเรียกว่าการกระจาย Wald) เป็นครอบครัวสองพารามิเตอร์ของการแจกแจงความน่าจะเป็นอย่างต่อเนื่องกับการสนับสนุนใน (0, ∞). ฟังก์ชั่นความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของมันจะได้รับจากf (x หมู่ แลมบ์ดา) = left [ frac { แลมบ์ดา} {2 ปี่ x ^ 3} ขวา] ^ {1/2} ประสบการณ์ { frac {- แลมบ์ดา (x- หมู่) ^ 2} {2 หมู่ x ​​^ 2}} สำหรับ x> 0 ที่ หมู่> 0 เป็นค่าเฉลี่ยและ แลมบ์ดา> 0 เป็นพารามิเตอร์รูปร่าง. ในฐานะที่เป็นλมีแนวโน้มที่จะอินฟินิตี้กระจายเสียนผกผันกลายเป็นมากขึ้นเช่นปกติ (เสียน) การจัดจำหน่าย การกระจายเสียนผกผันมีคุณสมบัติหลาย ๆ อย่างคล้ายคลึงกับการกระจายเสียน ชื่ออาจทำให้เข้าใจผิด: มันเป็น "ตรงกันข้าม" เท่านั้นในขณะที่เสียนอธิบายระดับการเคลื่อนไหว Brownian ที่เวลาที่กำหนด, ผกผัน Gaussian อธิบายการกระจายของเวลาการเคลื่อนที่แบบบราวกับดริฟท์ในเชิงบวกที่จะไปถึงบวกคงที่ ระดับ. ฟังก์ชั่นการสร้าง cumulant มัน (ลอการิทึมของฟังก์ชั่นลักษณะ) เป็นผกผันของฟังก์ชั่นการสร้าง cumulant ของตัวแปรสุ่มเสียน. เพื่อแสดงให้เห็นว่าตัวแปรสุ่ม X เป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามเสียนกระจายที่มีค่าเฉลี่ยμและรูปร่างพารามิเตอร์λเราเขียนX ซิม IG ( หมู่ แลมบ์ดา). , !

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

- ทฤษฎี ความน่าจะเป็น การแจกแจงของเกาส์ผกผัน ( เรียกว่าเดินกระจาย ) เป็นสองพารามิเตอร์ของการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องกับครอบครัวสนับสนุน ( 0 , ∞ ) .

ของฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นให้

f ( x ; mu lambda )
= [ N { frac ซ้าย แลมบ์ดา } { 2 pi x
3 } ]
{ 1 / 2 } N { frac exp { - lambda ( x - mu )
2 } { 2
2 mu X } }
สำหรับ x > 0 ,ที่มู > 0 คือค่าเฉลี่ยและ lambda > 0 เป็นรูปค่า

เป็นλมีแนวโน้มที่จะอินฟินิตี้ , หน้าแดงผกผันกลายเป็นเหมือนปกติ ( Gaussian ) กระจาย การกระจาย Gaussian ผกผันมีคุณสมบัติคล้ายคลึงกับการแจกแจงแบบปกติหลาย ชื่ออาจทำให้เข้าใจผิด : มันมี " ตรงกันข้าม " เท่านั้นที่ในขณะที่เสียนอธิบายการเคลื่อนที่แบบบราวเนียน เป็นระดับที่คงที่ เวลา , Gaussian ผกผันอธิบายการกระจายของเวลาเคลื่อนไหวบราวเนียนกับล่องลอยบวกจะถึงคงบวกระดับ

ของ cumulant สร้างฟังก์ชัน ( ลอการิทึมของฟังก์ชันคุณลักษณะ ) คือฟังก์ชันผกผันของ cumulant สร้างฟังก์ชันของตัวแปรสุ่มเสียน .

เพื่อแสดงว่าเป็นตัวแปรสุ่ม X เป็นตรงกันข้ามเสียนกระจาย กับหมายถึงμรูปร่างและพารามิเตอร์λเราเขียน

X ( mu N ซิม IG lambda ) , !