Since its inception, mathematical l

Since its inception, mathematical logic has both contributed to, and has been motivated by, the study of foundations of mathematics. This study began in the late 19th century with the development of axiomatic frameworks for geometry, arithmetic, and analysis. In the early 20th century it was shaped by David Hilbert's program to prove the consistency of foundational theories. Results of Kurt Godel, Gerhard Gent-zen, and others provided partial resolution to the program, and clarified the issues involved in proving consistency. Work in set theory showed that almost all ordinary mathematics can be formalized in terms of sets, although there are some theorems that cannot be proven in common axiom systems for set theory. Contemporary work in the foundations of mathematics often focuses on establishing which parts of mathematics can be formalized in particular formal systems (as in reverse mathematics) rather than trying to find theories in which all of mathematics can be developed.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ตั้งแต่ ตรรกคณิตศาสตร์มีทั้งร่วม และได้รับการกระตุ้น โดย การศึกษารากฐานของคณิตศาสตร์ การศึกษานี้เริ่มขึ้นในปลายศตวรรษกรอบซึ่งเป็นจริงสำหรับรูปทรงเรขาคณิต เลขคณิต และวิเคราะห์การพัฒนา ในต้นศตวรรษที่ 20 มันเป็นรูปของดาวิดฮิลแบร์ทโปรแกรมพิสูจน์ความสอดคล้องของทฤษฎีพื้นฐาน ผลลัพธ์ของ Kurt Godel, Gent อันเซน และอื่น ๆ วิธีแก้ไขโปรแกรมบางส่วน และชี้แจงปัญหาเกี่ยวข้องในการพิสูจน์ความสอดคล้อง ทำงานในทฤษฎีแสดงให้เห็นว่า คณิตศาสตร์ธรรมดาเกือบทั้งหมดสามารถมีสถานะเป็นในแง่ของชุด แม้ว่าจะมีบาง theorems ที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ในระบบสัจพจน์ทฤษฎี งานร่วมสมัยในรากฐานของคณิตศาสตร์มักจะเน้นการสร้างส่วนใดของคณิตศาสตร์ได้อย่างเป็นทางโดยเฉพาะทางระบบ (เช่นในคณิตศาสตร์กลับ) แทนที่จะพยายามค้นหาทฤษฎีซึ่งทั้งหมดของคณิตศาสตร์สามารถพัฒนา

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

นับตั้งแต่ก่อตั้งขึ้นตรรกะทางคณิตศาสตร์มีทั้งส่วนร่วมในการและได้รับแรงบันดาลใจจากการศึกษารากฐานของคณิตศาสตร์ การศึกษาครั้งนี้เริ่มขึ้นในปลายศตวรรษที่ 19 ที่มีการพัฒนากรอบจริงเรขาคณิตคณิตศาสตร์และการวิเคราะห์ ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 มันเป็นรูปโดยโปรแกรมเดวิดฮิลแบร์ตที่จะพิสูจน์ความสอดคล้องของทฤษฎีพื้นฐาน ผลการค้นหาของเคิร์ตเกอเดล, แกร์ฮาร์ด Gent-เซนและคนอื่น ๆ ที่มีให้ความละเอียดบางส่วนให้กับโปรแกรมและชี้แจงประเด็นที่เกี่ยวข้องในการพิสูจน์ความสอดคล้อง ในการทำงานในการตั้งทฤษฎีแสดงให้เห็นว่าเกือบคณิตศาสตร์สามัญทั้งหมดสามารถเป็นทางการในแง่ของชุดแม้ว่าจะมีทฤษฎีบางอย่างที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ในระบบความจริงเรื่องธรรมดาสำหรับการตั้งทฤษฎี การทำงานร่วมสมัยในรากฐานของคณิตศาสตร์มักจะมุ่งเน้นในการสร้างส่วนของคณิตศาสตร์สามารถกรงเล็บในระบบอย่างเป็นทางการโดยเฉพาะ (เช่นในวิชาคณิตศาสตร์กลับ) แทนที่จะพยายามที่จะหาทฤษฎีที่ทุกคณิตศาสตร์สามารถพัฒนา

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

นับตั้งแต่ก่อตั้งขึ้น , ตรรกะทางคณิตศาสตร์มีทั้งสนับสนุน และมีแรงจูงใจจากการศึกษาพื้นฐานของคณิตศาสตร์ การศึกษานี้เริ่มขึ้นในปลายศตวรรษที่ 19 กับการพัฒนากรอบสัจพจน์สำหรับเรขาคณิต คณิตศาสตร์ และการวิเคราะห์ ในต้นศตวรรษที่ 20 เป็นรูปโดยเดวิดฮิลเบิร์ตโปรแกรมพิสูจน์ความสอดคล้องของทฤษฎีพื้นฐาน ผลของเคิร์ทเกอเดล Gerhard Gent , เซน , และคนอื่น ๆให้ความละเอียดบางส่วนในโปรแกรม และชี้แจงประเด็นที่เกี่ยวข้องกับการพิสูจน์ความสอดคล้อง ในทฤษฎีเซตคณิตศาสตร์ พบว่า เกือบทั้งหมดธรรมดาสามารถกล่าวในแง่ของชุด แม้ว่าจะมีบางทฤษฎีบทที่พิสูจน์ไม่ได้ในระบบสัจพจน์ร่วมกันตั้ง ทฤษฎี ปัจจุบันทำงานในฐานรากของคณิตศาสตร์มักจะมุ่งเน้นไปที่การสร้างส่วนของคณิตศาสตร์สามารถเป็นทางการในระบบเฉพาะทาง ( เช่น ย้อนกลับ คณิตศาสตร์ ) มากกว่าการพยายามที่จะหาทฤษฎีที่ทั้งหมดของคณิตศาสตร์สามารถพัฒนาได้