tried to extend the classical theor

tried to extend the classical theory of the dynamics associated
to the iteration of a rational function of a
complex variable to the more general setting of an arbitrary
semigroup of rational functions[1,2]. In this paper,
we will extend some results of the classical theory to
the semigroup of meromorphic functions.
1 Some Properties and Exceptional
Sets of a Semigroup Generated by a
Family of Meromorphic
Functions
Let G be a semigroup generated by a family of meromorphic
functions. For ˆ z C , we define the backward
orbit O í
(z) of z by
Oí
(z)={ there exists a gG such that g(w)=z} ˆ w C  :
and the exceptional set of G is defined by
E(G)= { ˆ z C  Oí
(z) is finite}.
Proposition 1 If z is not an element of E(G), then
O z( )  ‹ J(G).
Proof First of all, we prove ˆ gC O z ( ( ))  Ž
ˆCO z (  ) for any gG. For ˆ x CO z ( ),   we need to
prove that ˆ g( ) ( ). x CO z   Suppose that ( ) g x 
ˆCO z (  )
f
, then there exists a sequence xnOí
(z) such
that and a sequence { ( )( ) g n x gx n o o n} in G

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

พยายามขยายทฤษฎีคลาสสิกของการเปลี่ยนแปลงที่เกี่ยวข้องการเกิดซ้ำของฟังก์ชันตรรกยะของการซับซ้อนให้การตั้งค่าทั่วไปของการกำหนดตัวแปรsemigroup ของฟังก์ชันตรรกยะ [1, 2] ในกระดาษนี้เราจะขยายผลบางอย่างของทฤษฎีคลาสสิกในการsemigroup ของฟังก์ชัน meromorphic1 บางคุณสมบัติและชุดของ Semigroup ที่สร้างขึ้นโดยการครอบครัวของ Meromorphicฟังก์ชันให้ G เป็น semigroup ที่สร้างขึ้น โดยครอบครัวของ meromorphicฟังก์ชัน สำหรับˆ z C เรากำหนดให้ย้อนหลังคงเหลือโคจร O(z) ของ z โดยOí(z) = {มี g G ดังกล่าวที่กรัม (w) = z } ˆ w C:และชุดพิเศษของ G ถูกกำหนดโดย E(G) = {z ˆ C Oí(z) ได้จำกัด}ข้อเสนอ 1 ถ้า z ไม่ใช่องค์ประกอบของ E(G) จากนั้นO z () J(G)หลักฐานแรกของทั้งหมด เราพิสูจน์ˆ gC O z ( ())ˆCO z ()สำหรับใด ๆ กรัมกรัม สำหรับˆ x CO z (), เราจำเป็นต้องพิสูจน์() g ˆที่ () x CO z สมมติว่า g () xˆCO z ()fแล้วมีการลำดับ xn Oí(z) ดังกล่าวที่และลำดับ {()() g n x gx n o o n } ใน G

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

พยายามที่จะขยายทฤษฎีคลาสสิกของการเปลี่ยนแปลงที่เกี่ยวข้อง
เพื่อทวนของฟังก์ชั่นที่มีเหตุผลของการเป็น
ตัวแปรที่ซับซ้อนการตั้งค่าทั่วไปมากขึ้นของพล
กึ่งกลุ่มของฟังก์ชั่นที่มีเหตุผล [1,2] ในบทความนี้
เราจะขยายผลบางส่วนของทฤษฎีคลาสสิกที่จะ
กึ่งกลุ่มของฟังก์ชัน meromorphic ได้.
1 สมบัติบางประการและเจ๋ง
ชุดกึ่งกลุ่มสร้างขึ้นโดย
ครอบครัวของ meromorphic
ฟังก์ชั่น
ให้ g เป็นกึ่งกลุ่มที่สร้างโดยครอบครัวของ meromorphic
ฟังก์ชั่น for z ?? C เรากำหนดย้อนหลัง
โคจร O í
(z) ของ Z โดย
OI
(z) = {มีอยู่ AG ?? G ดังกล่าวว่า G (w) = Z} W C ?? :
และชุดที่โดดเด่นของจีจะถูกกำหนดโดย
E (G) = {Z ?? C? OI
(z) เป็นประโยค}.
ข้อเสนอที่ 1 หาก Z ไม่ได้เป็นองค์ประกอบของ E (G) แล้ว
O Z ()? ?? J (G).
หลักฐานแรกของทั้งหมดที่เราพิสูจน์ GC O Z ( ())? ??
CO Z (?) สำหรับการใด ๆ G G ?? สำหรับ X CO Z ()? ?? เราจำเป็นต้อง
พิสูจน์ว่า G () () X Z CO? ?? สมมติว่า () GX ??
CO Z (?)
ฉ
นั้นมีอยู่ลำดับ XN ?? OI
(Z) เช่น
ที่และลำดับ {() () GNX GX เที่ยง} จี