Q, L, and K have the same definitio

Q, L, and K have the same definitions as in Equation (6C.1). The values for A, a, and b determine the actual values in the production table. For example, suppose A = 100, a = 0.5, and b = 0.5. The production function would be
This equation can be used to generate the numbers in Table 6C.1.
Marginal Product: The First Derivative of the Total Product Function
As we show in the discussion of isoquants, the marginal product expressed in terms of calculus is the partial derivative of the total product function. We can use the Cobb-Douglas form of the production function shown in Equation (6C.3) to illustrate
how the derivative is used to find this marginal product.
Suppose we want to find the marginal product of the fourth unit of labor added to the production process, assuming we are currently using four units of capital. We simply take the partial derivative of the equation with respect to L, set L = 4 and K= 4, and find the resulting value of total product:
In Table 6C.1 we note that the marginal product of the fourth unit of labor assuming 4 units of capital is 54 (i.e.,400-346). The two values differ because the use of calculus actually enables us to computer marginal product right the point at which four units of labor are being used, rather than amount of output resulting from the addition of the fourth unit.
CONVERTING the Cobb-Douglas function into a linear form
1.The Cobb-Douglas function is nonlinear; it is an exponential function. However, it can be converted into a linear in terms of logarithms:
2.The original form of the function was
This model assumes constant returns to scale. In other word, if both labor and capital input are changed by a certain proportion s, Q will also change by s:
Thus, the new quantity,Q, will equal the old quantity time s-the proportion by which both L and K changed.
The later version of the function relaxed the requirement of constant returns because it permitted b+c to less than, equal to, or greater than 1.In this case, the results would be as follows:
If b+c >1, than for an input change s, Q will increase by more than s (i.e., increasing returns). If b+c

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

q, ลิตร, และ k มีความหมายเช่นเดียวกับในสมการ (6c.1) ค่า, และ b กำหนดค่าที่เกิดขึ้นจริงในตารางการผลิต ตัวอย่างเช่นสมมติว่า = 100 = 0.5, และ b = 0.5 ฟังก์ชั่นการผลิตจะได้รับการ
สมการนี​​้สามารถใช้ในการสร้างตัวเลขในตาราง 6c.1
ผลิตภัณฑ์ขอบ:. อนุพันธ์แรกของการทำงานของผลิตภัณฑ์รวม
ในขณะที่เราแสดงให้เห็นในการอภิปรายของ isoquants ผลิตภัณฑ์ขอบแสดงในแง่ของแคลคูลัสเป็นอนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชั่นของสินค้าทั้งหมด เราสามารถใช้รูปแบบ Cobb-Douglas ของฟังก์ชั่นการผลิตที่แสดงในสมการ (6c.3) เพื่อแสดงให้เห็นถึงวิธี
อนุพันธ์จะใช้ในการค้นหาสินค้าที่ขอบนี้.
สมมติว่าเราต้องการที่จะหาผลิตภัณฑ์ส่วนเพิ่มของหน่วยที่สี่ของแรงงานที่เข้ามาอยู่ในขั้นตอนการผลิตสมมติว่าเรากำลังใช้สี่หน่วยของเงินทุน เราก็หาอนุพันธ์บางส่วนของสมการด้วยความเคารพต่อลิตรตั้งลิตร = 4 และ k = 4 และหาค่าผลลัพธ์ของผลิตภัณฑ์รวม:
6c ในตาราง1 เราทราบว่าผลิตภัณฑ์ส่วนเพิ่มของหน่วยที่สี่ของแรงงานสมมติว่า 4 หน่วยของเงินทุนเป็น 54 (เช่น ,400-346) สองค่าที่แตกต่างกันเนื่องจากการใช้งานของแคลคูลัสจริงช่วยให้เราไปยังคอมพิวเตอร์ของผลิตภัณฑ์ขอบขวาจุดที่สี่หน่วยของแรงงานที่มีการใช้มากกว่าปริมาณของผลผลิตที่เกิดจากการเพิ่มขึ้นของหน่วยที่สี่.
แปลงฟังก์ชัน Cobb-Douglas ในรูปแบบเชิงเส้น
ดังนี้ 1 ฟังก์ชัน Cobb-Douglas เป็นเชิงเส้นมันเป็นฟังก์ชั่นที่ชี้แจง แต่ก็สามารถแปลงเป็นเชิงเส้นในแง่ของลอการิทึม:
2.the รูปแบบเดิมของการทำงานเป็น
รุ่นนี้ถือว่าผลตอบแทนคงที่ที่ระดับ ในคำอื่น ๆ หากแรงงานทั้งในและใส่เงินทุนมีการเปลี่ยนแปลงบางอย่างโดยสัดส่วน s, q จะเปลี่ยนโดย s:
จึงปริมาณใหม่ q จะเท่ากับปริมาณที่เก่าเวลา s-สัดส่วนโดยที่ทั้งสองลิตรและ k เปลี่ยนแปลง.
รุ่นที่ใหม่กว่าของการทำงานผ่อนคลายความต้องการของผลตอบแทนคงที่เพราะได้รับอนุญาต bc น้อยกว่าเท่ากับหรือมากกว่า กว่า 1.in กรณีนี้ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นดังนี้:
ถ้า bc> 1 กว่าสำหรับการเปลี่ยนแปลงเข้า s, q จะเพิ่มขึ้นมากกว่า s (เช่นผลตอบแทนที่เพิ่มขึ้น). ถ้า bc <1 เพิ่มขึ้นใน q จะกว่า s (เช่นผลตอบแทนที่ลดลง)
3.The ผลิตภัณฑ์ส่วนเพิ่มของปัจจัยที่เป็นที่มาบางส่วนของปริมาณการส่งออกที่เกี่ยวกับปัจจัยที่:
เหมือนกับสินค้าร่อแร่ของทุน , mpk เท่ากับ CQ / k หรือ (1-b) q / k
4.The ความยืดหยุ่นของการผลิตมาตรการความไวของผลิตภัณฑ์รวมถึงการเปลี่ยนแปลงในการป้อนข้อมูลในแง่เปอร์เซ็นต์.
หรือในกรณีของแรงงาน

Δq / Δlแน่นอนผลิตภัณฑ์ส่วนเพิ่มของแรงงาน q / ลิตรเป็นผลิตภัณฑ์เฉลี่ยของแรงงาน (ที่มีเงินทุนที่จัดขึ้นอย่างต่อเนื่อง) ดังนั้นความยืดหยุ่นของการผลิตเท่ากับผลิตภัณฑ์ร่อแร่หารเฉลี่ยของผลิตภัณฑ์ มันก็แสดงให้เห็นว่าผลิตภัณฑ์ส่วนเพิ่มของแรงงาน bq / ลิตรและ q / ลิตร แบ่ง MPL โดย APL,
ดังนั้นความยืดหยุ่นของการผลิตสำหรับแรงงานเป็น b (และเงินทุนเป็นค)เหล่านี้เป็นเลขยกกำลังที่คงเดิมของฟังก์ชั่น Cobb-Douglas เพิ่มขึ้นร้อยละใด ๆ (หรือลดลง) ปริมาณของปัจจัยเดียวกันเพิ่มขึ้น (หรือลดลง) ในผลิตภัณฑ์ทั้งหมดจะคงที่ร้อยละ เพราะเลขยกกำลังที่มีน้อยกว่า 1 เพิ่มขึ้นร้อยละในผลิตภัณฑ์รวมน้อยกว่าการเพิ่มขึ้นของปริมาณของปัจจัย
ชุดที่ดีที่สุดของทั้งสองปัจจัย
ในตัวหลักของบทนี้เรารองเท้าว่าถ้า บริษัท มีการผลิตระดับของการส่งออกที่เพิ่มผลกำไรมากกว่าที่จะต้องมีการใช้ปัจจัยการผลิตในลักษณะที่ว่าผลิตภัณฑ์รายได้ส่วนเพิ่มของทุก ข้อมูลที่ใช้จะเท่ากับราคาของมัน (หรือเตียง) ในคำอื่น ๆ หาก บริษัท ใช้ใส่ k แล้ว

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

Q, L และ K มีข้อกำหนดเหมือนกับในสมการ (6C.1) ค่าของ A, a และ b กำหนดค่าจริงในตารางการผลิต ตัวอย่าง สมมติว่า A = 100 ตัว = 0.5 และ b = 0.5 ฟังก์ชันการผลิตจะ
สมการนี้สามารถใช้เพื่อสร้างหมายเลขในตาราง 6C.1.
Marginal ผลิตภัณฑ์: อนุพันธ์แรกของฟังก์ชันผลิตภัณฑ์รวม
ตามที่แสดงในการอภิปรายของ isoquants สินค้ากำไรที่แสดงในแคลคูลัสเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันการรวมผลิตภัณฑ์บางส่วน เราสามารถใช้แบบฟอร์มคดดักลาสของฟังก์ชันการผลิตที่แสดงในสมการ (6C.3) เพื่อแสดง
วิธีใช้อนุพันธ์เพื่อค้นหานี้กำไรได้
สมมติว่า เราต้องหาผลิตภัณฑ์กำไรสี่หน่วยแรงงานการผลิต สมมติว่า เรากำลังใช้ทุน 4 หน่วย เราเพียงใช้อนุพันธ์บางส่วนของสมการกับ L ตั้งค่า L = 4 และ K = 4 และหาค่าผลลัพธ์ของผลิตภัณฑ์ทั้งหมด:
ในตาราง 6C.1 เราทราบว่า ผลิตภัณฑ์กำไรของหน่วย 4 สมมติว่า 4 หน่วยของทุนแรงงาน 54 (i.e.,400-346) ค่าสองค่าที่แตกต่างกันเนื่องจากการใช้แคลคูลัสช่วยให้เราขวาผลิตภัณฑ์กำไรคอมพิวเตอร์จริงจุดที่ถูกใช้แรงงาน 4 หน่วย แทนจำนวนผลผลิตที่เกิดจากการเพิ่มของหน่วยสี่
แปลงฟังก์ชันคดดักลาสเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น form
1.The คดดักลาสจะไม่เชิงเส้น จึงเป็นฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชีย อย่างไรก็ตาม มันสามารถถูกแปลงเป็นเชิงเส้นในด้าน logarithms:
2.The ของฟังก์ชันรูปถูก
รุ่นนี้สันนิษฐานคงกลับไปชั่งได้ ในคำอื่น ๆ ถ้ามีการเปลี่ยนแปลงทั้งแรงงานและทุนเข้า โดยการกำหนดสัดส่วน s, Q จะเปลี่ยน โดย s:
ดังนี้ ปริมาณใหม่ Q จะเท่ากับสัดเก่าปริมาณเวลา s ส่วนที่ L และ K เปลี่ยนแปลง
รุ่นที่ใหม่กว่าของฟังก์ชันผ่อนคลายความต้องการของผลตอบแทนคงเนื่องจากจะได้รับอนุญาต b c จะน้อยกว่า เท่ากับ หรือมากกว่า 1 ในกรณีนี้ ผลลัพธ์จะเป็นดังนี้:
ถ้า b c > 1 มากกว่าสำหรับอินพุตเปลี่ยน s, Q จะเพิ่มขึ้นมากกว่า s (เช่น เพิ่มขึ้นแทน) ถ้า b c < 1 จะเพิ่ม Q มากกว่า s (เช่น ลดแทน) .
3.The สินค้ากำไรของตัวคูณเป็นอนุพันธ์บางส่วนของผลผลิตกับปัจจัยการ:
ทำนอง สินค้ากำไรของทุน MPk เท่ากับ ซี/K หรือความยืดหยุ่นของ Q/K.
4.The (1-b) ของการผลิตวัดความไวของผลิตภัณฑ์ทั้งหมดจะเปลี่ยนแปลงได้ในเปอร์เซ็นต์:
หรือในกรณีของแรงงาน,

∆Q/∆L คือ แน่นอน สินค้ากำไรแรงงาน Q/L เป็นผลิตภัณฑ์โดยเฉลี่ยของแรงงานกับทุนจัดคง) ดังนั้น ความยืดหยุ่นของการผลิตจะเท่ากับผลิตภัณฑ์กำไรหารผลิตภัณฑ์เฉลี่ย มันถูกแสดงว่าผลิตภัณฑ์ส่วนเพิ่มของแรงงาน นโต้/L และ MPL หาร Q/L. APL,
ดัง ความยืดหยุ่นของการผลิตสำหรับแรงงานเป็น b (และในเมืองหลวง เป็น c) เหล่านี้เป็นเลขชี้กำลังคงเดิมของฟังก์ชันคดดักลาส เปอร์เซ็นต์เพิ่มขึ้น (หรือลด) ในปริมาณของปัจจัยเหมือนกัน การเพิ่ม (หรือลด) ในผลิตภัณฑ์รวมจะเป็นเปอร์เซ็นต์คง เนื่องจากเลขชี้กำลังมีน้อยกว่า 1 เพิ่มเปอร์เซ็นต์ผลิตภัณฑ์รวมจะน้อยกว่าการเพิ่มขึ้นของจำนวนตัว
ดีที่สุดชุดของสองอินพุต
ในเนื้อหาหลักของบทนี้ เรารองเท้าที่ถ้าบริษัทจะผลิตในระดับผลผลิตที่วางของกำไร กว่าจะต้องใช้การป้อนข้อมูลในลักษณะว่าผลิตภัณฑ์รายได้กำไรของทุกอินพุตที่ใช้เท่ากับราคาของมัน (หรือเตียง) ในคำอื่น ๆ ถ้าบริษัทใช้ k อินพุต แล้ว

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

Q : L กม.และมีความหมายเหมือนกับในสมการ( 6 c 1 ) ค่าที่ได้สำหรับที่ A และ B กำหนดค่าจริงที่อยู่ในตารางการผลิต ตัวอย่างเช่นสมมุติที่= 100 = 0.5 A และ B = 0.5 ฟังก์ชันการผลิตจะ
สมการนี้สามารถใช้ในการสร้างตัวเลขที่อยู่ในตาราง 6 c 1 .
ผลิตภัณฑ์ เศษเป็นครั้งแรกผลงานของ ผลิตภัณฑ์ รวมฟังก์ชัน
ตามมาตรฐานที่ที่เราแสดงให้เห็นในการประชุมของ isoquants ผลิตภัณฑ์ ริมที่ได้รับการแสดงออกในด้านของผู้ก่อการร้ายเป็นงานที่ดัดแปลงมาจากบางส่วนของฟังก์ชันของ ผลิตภัณฑ์ ทั้งหมด เราสามารถใช้แบบฟอร์ม cobb-douglas ไว้ในฟังก์ชันการผลิตที่ได้แสดงไว้ในสมการ( 6 c 3 )เพื่อแสดงให้เห็นถึง
ซึ่งจะช่วยได้อย่างไรงานดัดแปลงมาจากที่ใช้ในการค้นหา ผลิตภัณฑ์ เศษนี้.
คิดว่าเราต้องการค้นหา ผลิตภัณฑ์ เศษของชุดที่สี่ของแรงงานเพิ่มในกระบวนการผลิตที่สันนิษฐานว่าเรามีการใช้สี่ชุดของทุนในปัจจุบัน เราเพียงนำผลงานบางส่วนของสมการที่พร้อมด้วยความเคารพใน L ตั้งค่า L = 4 และ K = 4 และได้พบกับความคุ้มค่าของที่ส่งผลให้ยอดรวม ผลิตภัณฑ์ :
ในตาราง 6 c .1 เราทราบว่า ผลิตภัณฑ์ ชายขอบของชุดที่สี่ของแรงงานสมมติว่ามี 4 ชุดของทุนอยู่ที่ 54 (เช่น 400-346 ) ทั้งสองค่าที่แตกต่างเพราะเป็นการใช้ที่ของผู้ก่อการร้ายจริงๆแล้วจะช่วยให้เราไปทางด้านขวามือของ ผลิตภัณฑ์ เศษคอมพิวเตอร์จุดที่สี่ชุดของแรงงานมีการใช้มากกว่าจำนวนของเอาต์พุตเป็นผลมาจากการเพิ่มของชุดที่สี่.
การแปลงค่าฟังก์ชัน cobb-douglas เข้าไปในรูปแบบตามแนวยาว
ซึ่งจะช่วย 1 .ฟังก์ชัน cobb-douglas ที่เป็น nonlinear มันคือการทำงานอย่างต่อเนื่องได้ แต่ถึงอย่างไรก็ตามยังสามารถแปลงเป็นแนวยาวอยู่ในเงื่อนไขของการิธึ่มแล้วปาใส่:
2 .รูปแบบดั้งเดิมของฟังก์ชัน
ซึ่งจะช่วยเป็นรุ่นนี้ได้ตั้งสมมติฐานไว้ว่าจะกลับมาอย่างต่อเนื่องในการปรับขนาด ในคำอื่นๆหากแรงงานและการป้อนข้อความทั้งเงินทุนมีการเปลี่ยนแปลงโดยมีสัดส่วนบางอย่างที่ Q จะเปลี่ยนที่ทำได้โดย:
จึงที่ใหม่จำนวน, Q ,จะเท่ากับจำนวนที่เก่าเวลา S - ที่มีสัดส่วนโดยที่ทั้งสอง L และ K เปลี่ยนแปลง.
ได้ใน ภายหลัง เวอร์ชันของฟังก์ชันที่ผ่อนคลายความต้องการของคงที่จะกลับมาเพราะได้รับอนุญาตให้ B , C ให้น้อยกว่า,เท่ากับหรือมากกว่า 1 .ในกรณีนี้จะมีผลดังนี้:
หาก B C > 1 ,กว่าสำหรับอินพุตเปลี่ยน S , Q จะเพิ่มขึ้นมากกว่า(เช่นการเพิ่มผลตอบแทน)หาก B , C < 1 ,ที่เพิ่มขึ้นในไตรมาสแรกจะมากกว่า(เช่นการลดการส่งคืน). N 3 .ที่ริม ผลิตภัณฑ์ ของปัจจัยได้รับบางส่วนดัดแปลงจากจำนวนของเอาต์พุตที่มีส่วนในการให้ปัจจัย:
ในทำนองเดียวกัน,ที่ก้ำกึ่งของ ผลิตภัณฑ์ ของเงินทุน, MPK ,เท่ากับ CQ / K หรือ( 1 - b ) Q / K .
4 .ความยืดหยุ่นของการผลิตมาตรการที่ความไวต่อแสงของ ผลิตภัณฑ์ รวมถึงการเปลี่ยนแปลงในอินพุตในเปอร์เซ็นต์ข้อกำหนด:
หรือในกรณีที่มีการใช้แรงงาน,

∆l ∆q /มีหลักสูตร ผลิตภัณฑ์ เศษของแรงงาน Q / L คือที่พักโดยเฉลี่ยของแรงงาน(พร้อมด้วยเงินทุนซึ่งจัดขึ้นอย่างต่อเนื่อง) ดังนั้นความยืดหยุ่นของการผลิตคือเท่ากับ ผลิตภัณฑ์ เศษซึ่งถูกแบ่งโดย ผลิตภัณฑ์ โดยเฉลี่ย มันเป็น ภาพ ที่แสดงให้เห็นว่า ผลิตภัณฑ์ ของแรงงานคือ BQ / L และ Q /แอล. แบ่ง mpl โดยแหล่งจ่ายไฟ APL
ดังนั้นความยืดหยุ่นของการผลิตแรงงานคือ B (และสำหรับเงินทุนเป็น C )เหล่านี้เป็น( Weimar syndrome )คงที่แบบดั้งเดิมของฟังก์ชัน cobb-douglas ได้ สำหรับการเพิ่มเปอร์เซ็นต์ใดๆ(หรือลดลง)ในจำนวนที่ของปัจจัยที่จะเหมือนกับที่เพิ่มขึ้น(หรือลดลง)ใน ผลิตภัณฑ์ ทั้งหมดจะได้เปอร์เซ็นต์คงที่ เพราะ( Weimar syndrome )ที่มีน้อยกว่า 1% เพิ่มขึ้นในยอดรวม ผลิตภัณฑ์ มีน้อยกว่าการเพิ่มขึ้นในจำนวนของปัจจัย
การผสมผสานอย่างมี ประสิทธิภาพ ของสองอินพุต
ซึ่งจะช่วยในส่วนหลักของบทนี้เรารองเท้านั้นหากเป็นการผลิตระดับหนึ่งในการผลิตที่มีกำไรสุทธิสูงสุดของบริษัทมากกว่าที่จะต้องมีการใช้อินพุตของบริษัทในลักษณะที่รายได้ ผลิตภัณฑ์ เศษของอินพุตทุกเท่ากับราคาของ(หรือท่านเปลสำหรับทารกห้องพัก) ในคำอื่นๆหากบริษัทที่ใช้อินพุต K แล้ว