The classical “Four Squares Theorem

The classical “Four Squares Theorem” of Lagrange (1770) asserts that any positive integer can be
expressed as the sum of four squares—that is, the quadratic form x
2 + y
2 + z
2 + t
2
represents all (positive)
integers. When does a general (positive definite) quadratic form represent all (positive) integers? This
question was first posed, and addressed in a systematic way, by Ramanujan in his classic 1916 paper [10].
In this paper, Ramanujan discovered and wrote down 54 more quaternary (four-variable) quadratic forms
representing all integers! His list was as follows:

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

การคลาสสิก "สี่ยกกำลังสองทฤษฎีบท" ของโรงแรมลากรองจ์ (1770) ยืนยันว่า สามารถเป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆแสดงเป็นผลรวมของสี่เหลี่ยม — กล่าวคือ แบบฟอร์มกำลังสอง x2 + y2 + z2 + t2แสดงทั้งหมด (บวก)จำนวนเต็ม แบบกำลังสอง (บวกแน่นอน) ทั่วไปไม่แสดงจำนวนเต็ม (บวก) ทั้งหมดเมื่อใด นี้คำถามแรกอึ้ง และอยู่ในระบบ โดยวาสะรามานุจันเขากระดาษ 1916 คลาสสิก [10]ในเอกสารนี้ พบวาสะรามานุจัน และเขียนลง 54 เพิ่มเติม quaternary (4 ตัวแปร) กำลังสองฟอร์มแสดงจำนวนเต็มทั้งหมด รายการมีดังนี้:

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

คลาสสิก "โฟร์สแควร์ทฤษฎีบท" ของ Lagrange (1770) อ้างว่าจำนวนเต็มบวกใด ๆ ที่สามารถ
แสดงเป็นผลรวมของสี่สี่เหลี่ยมที่เป็นรูปแบบสมการกำลังสอง x
2 + y ที่
2 + ซี
ที 2 +
2
หมายถึงทั้งหมด (บวก)
จำนวนเต็ม . เมื่อไหร่ทั่วไป (บวกแน่นอน) รูปแบบสมการกำลังสองเป็นตัวแทน (บวก) จำนวนเต็ม? นี้
คำถามที่ถูกวางครั้งแรกและการแก้ไขอย่างเป็นระบบโดยในปี 1916 Ramanujan กระดาษคลาสสิกของเขา [10].
ในบทความนี้ Ramanujan ค้นพบและเขียนลง 54 สี่มากขึ้น (สี่ตัวแปร) รูปแบบสมการกำลังสอง
เป็นตัวแทนของจำนวนเต็มทั้งหมด! รายการของเขาเป็นดังต่อไปนี้:

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

คลาสสิก " สี่สี่เหลี่ยมทฤษฎีบทของลากรองจ์ ( 1770 ) ยืนยันว่า จำนวนเต็มบวกใดสามารถ
แสดงเป็นผลรวมของ 4 เหลี่ยม คือ รูปแบบกำลังสอง x
2 y
2 z
2 t
2

( บวก ) หมายถึงจำนวนเต็ม . เมื่อไม่ทั่วไป ( บวกแน่นอน ) รูปแบบกำลังสองของจำนวนเต็มทั้งหมด ( บวก ) ? คำถามนี้
เป็นครั้งแรกที่โพสและแก้ไขในวิธีที่เป็นระบบโดย รามานุจันในคลาสสิก 1916 กระดาษ [ 10 ] .
ในกระดาษนี้ , รามานุจันค้นพบและเขียนลง 54 Quaternary ( สี่ตัวแปรรูปแบบกำลังสองของจำนวนเต็ม )
! รายชื่อดังนี้