translation transformation In mathe

translation transformation
In mathematics, transformation geometry (or transformational geometry) is the name of a mathematical and pedagogic approach to the study of geometry by focusing on groups of geometric transformations, and the properties of figures that are invariant under them. It is opposed to the classical synthetic geometry approach of Euclidean geometry, that focus on geometric constructions.

For example, within transformation geometry, the properties of an isosceles triangle are deduced from the fact that it is mapped to itself by a reflection about a certain line. This contrasts with the classical proofs by the criteria for congruence of triangles.[1]

The first systematic effort to use transformations as the foundation of geometry was made by Felix Klein in the 19th century, under the name Erlangen programme. For nearly a century this approach remained confined to mathematics research circles. In the 20th century efforts were made to exploit it for mathematical education. Andrei Kolmogorov included this approach (together with set theory) as part of a proposal for geometry teaching reform in Russia.[2] These efforts culminated in the 1960s with the general reform of mathematics teaching known as the New Math movement.

Teaching transformation geometry[edit]
An exploration of transformation geometry often begins with a study of reflection symmetry as found in daily life. The first real transformation is reflection in a line or reflection against an axis. The composition of two reflections results in a rotation when the lines intersect, or a translation when they are parallel. Thus through transformations students learn about Euclidean plane isometry. For instance, consider reflection in a vertical line and a line inclined at 45° to the horizontal. One can observe that one composition yields a counter-clockwise quarter-turn (90°) while the reverse composition yields a clockwise quarter-turn. Such results show that transformation geometry includes non-commutative processes.

An entertaining application of reflection in a line occurs in a proof of the one-seventh area triangle found in any triangle.

Another transformation introduced to young students is the dilation. However, the reflection in a circle transformation seems inappropriate for lower grades. Thus inversive geometry, a larger study than grade school transformation geometry, is usually reserved for college students.

Experiments with concrete symmetry groups make way for abstract group theory. Other concrete activities use computations with complex numbers, hypercomplex numbers, or matrices to express transformation geometry. Such transformation geometry lessons present an alternate view that contrasts with classical synthetic geometry. When students then encounter analytic geometry, the ideas of coordinate rotations and reflections follow easily. All these concepts prepare for linear algebra where the reflection concept is expanded.

Educators have shown some interest and described projects and experiences with transformation geometry for children from kindergarten to high school. In the case of very young age children, in order to avoid introducing new terminology and to make links with students' everyday experience with concrete objects, it was sometimes recommended to use words they are familiar with, like "flips" for line reflections, "slides" for translations, and "turns" for rotations, although these are not precise mathematical language. In some proposals, students start by performing with concrete objects before they perform the abstract transformations via their definitions of a mapping of each point of the figure.[3][4][5][6]

In an attempt to restructure the courses of geometry in Russia, Kolmogorov suggested presenting it under the point of view of transformations, so the geometry courses were structured based on set theory. This led to the appearance of the term "congruent" in schools, for figures that were before called "equal": since a figure was seen as a set of points, it could only be equal to itself, and two triangles that could be overlapped by isometries were said to be congruent.[2]

One author expressed the importance of group theory to transformation geometry as follows:

I have gone to some trouble to develop from first principles all the group theory that I need, with the intention that my book can serve as a first introduction to transformation groups, and the notions of abstract group theory if you have never seen these

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

การเปลี่ยนแปลงแปล ในวิชาคณิตศาสตร์ การแปลงทางเรขาคณิต (หรือเรขาคณิตภาวะ) เป็นชื่อของวิธีการทางคณิตศาสตร์ และ pedagogic วิชาเรขาคณิต โดยเน้นกลุ่มของการแปลงเชิงเรขาคณิต และคุณสมบัติของตัวเลขที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้พวกเขา มันจะตรงข้ามกับวิธีสังเคราะห์เรขาคณิตคลาสสิกของ Euclidean เรขาคณิต การก่อสร้างรูปทรงเรขาคณิตที่ตัวอย่าง ภายในการแปลงทางเรขาคณิต คุณสมบัติของสามเหลี่ยมหน้าจั่วมี deduced จากข้อเท็จจริงที่ถูกแมปกับตัวเอง โดยสะท้อนเกี่ยวกับบรรทัดที่แน่นอน นี้ตัดกับปรู๊ฟคลาสสิก โดยเงื่อนไขสำหรับการลงตัวของสามเหลี่ยม [1]ความพยายามครั้งแรกระบบจะใช้แปลงเป็นรากฐานของเรขาคณิตทำ โดยเฟลิกซ์ไคลน์ในศตวรรษที่ 19 ภายใต้โครงการชื่อ Erlangen วิธีการนี้ยังคงไม่จำกัดไปในแวดวงวิจัยคณิตศาสตร์สำหรับเกือบศตวรรษ ในศตวรรษ 20 ความพยายามเพื่อใช้ประโยชน์สำหรับการศึกษาคณิตศาสตร์ น่าเป็น Andrei รวม (พร้อมชุด theory) วิธีการนี้เป็นส่วนหนึ่งของข้อเสนอสำหรับเรขาคณิตสอนปฏิรูปในรัสเซีย [2] ความพยายามเหล่านี้ culminated ในปี 1960 มีการปฏิรูปทั่วไปเรียกว่าการเคลื่อนไหวใหม่ทางคณิตศาสตร์การสอนคณิตศาสตร์สอนการแปลงเรขาคณิต [แก้ไข]การสำรวจการแปลงเรขาคณิตมักเริ่มต้น ด้วยการศึกษาสมมาตรการสะท้อนเป็นพบในชีวิตประจำวัน การแปลงจริงแรกจะสะท้อนในบรรทัดหรือสะท้อนกับแกน องค์ประกอบของผลสะท้อนสองหมุนเมื่อบรรทัดอิน หรือการแปลเมื่อขนาน จึง ผ่านแปลงศึกษาเรียนเกี่ยวกับเครื่องบิน Euclidean isometry พิจารณาตัวอย่าง การสะท้อนในเส้นแนวตั้งและเส้นแนวโน้ม 45 องศากับแนวที่ หนึ่งสามารถสังเกตได้ว่า องค์ประกอบหนึ่งทำให้ทวนเข็มนาฬิกาไตรมาสแต้ม (90 °) ในขณะที่องค์ประกอบกลับทำให้เปิดไตรมาสตามเข็มนาฬิกา ผลดังกล่าวแสดงว่า การแปลงทางเรขาคณิตประกอบด้วยกระบวนการไม่สลับด้วยการประยุกต์ความบันเทิงสะท้อนในบรรทัดที่เกิดขึ้นในหลักฐานของสามเหลี่ยมตั้งเจ็ดหนึ่งในสามเหลี่ยมใด ๆDilation ที่แปลงอื่นที่แนะนำให้เด็กได้ อย่างไรก็ตาม สะท้อนในแปลงวงกลมดูเหมือนไม่เหมาะสมสำหรับเกรดต่ำ ดังนั้น inversive เรขาคณิต การศึกษาที่ใหญ่กว่าโรงเรียนการแปลงทางเรขาคณิต เป็นตามปกติสงวนไว้สำหรับนักเรียนวิธีการนามธรรมทฤษฎีกลุ่มทดลองกับกลุ่มสมมาตรคอนกรีตได้ กิจกรรมอื่น ๆ คอนกรีตใช้ประมวลผลกับจำนวนเชิงซ้อน หมายเลข hypercomplex หรือเมทริกซ์แสดงการแปลงเรขาคณิต บทเรียนเรขาคณิตการแปลงดังกล่าวนำเสนอมุมมองอื่นที่ตัดกับเรขาคณิตคลาสสิกสังเคราะห์ เมื่อศึกษาแล้วพบเรขาคณิตวิเคราะห์ ความคิดของการสะท้อนและการหมุนเวียนประสานงานทำตามง่าย ๆ แนวคิดเหล่านี้จัดเตรียมในพีชคณิตเชิงเส้นซึ่งเป็นขยายแนวคิดสะท้อนนักการศึกษาได้แสดงความสนใจบางอย่าง และอธิบายโครงการและประสบการณ์การแปลงทางเรขาคณิตสำหรับเด็กตั้งแต่ระดับอนุบาลถึงมัธยม ในกรณีที่เด็กอายุยังน้อยมาก เพื่อหลีกเลี่ยงการแนะนำคำศัพท์ใหม่ และ เพื่อให้เชื่อมโยงกับประสบการณ์ชีวิตของนักเรียนกับวัตถุคอนกรีต มันถูกบางครั้งแนะนำให้ใช้คำที่พวกเขาคุ้นเคยกับ เช่นสำหรับบรรทัดสะท้อน "พลิก" "ภาพนิ่ง" แปล และการหมุนเวียน "จะ" ถึงแม้ว่าเหล่านี้ไม่ใช่ภาษาทางคณิตศาสตร์ที่แม่นยำ ในบางข้อเสนอ นักเรียนเริ่มต้น ด้วยการดำเนินการกับวัตถุคอนกรีตก่อนที่จะทำแปลงนามธรรมผ่านคำนิยามของการแม็ปของแต่ละจุดของตัวเลข [3] [4] [5] [6]ในความพยายามที่จะจัดโครงสร้างหลักสูตรของเรขาคณิตในรัสเซีย ฟแนะนำนำเสนอภายใต้การมองของแปลง เพื่อเรียนเรขาคณิตถูกจัดโครงสร้างตามทฤษฎีเซต นี้นำไปสู่การปรากฏของคำว่า "แผง" ในโรงเรียน เลขที่ก่อนเรียกว่า "เท่า": เนื่องจากตัวเลขที่เห็นเป็นชุดของจุด มันอาจจะเท่ากับตัวเอง และสามเหลี่ยมสองที่สามารถซ้อนกันได้ โดย isometries ได้กล่าวว่า มีแผง [2]เขียนแสดงความสำคัญของกลุ่มทฤษฎีการแปลงทางเรขาคณิตเป็นดังนี้:ผมไปบางปัญหาการพัฒนาจากหลักแรกทฤษฎีกลุ่มทั้งหมดที่ฉันต้องการ มีความตั้งใจที่หนังสือของฉันสามารถใช้เป็นคำแนะนำแรกกลุ่มแปลง และความเข้าใจของทฤษฎีกลุ่มนามธรรมถ้าคุณไม่เคยเห็นเหล่านี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

แปลการเปลี่ยนแปลง
ในทางคณิตศาสตร์เรขาคณิตการเปลี่ยนแปลง (หรือรูปทรงเรขาคณิตการเปลี่ยนแปลง) เป็นชื่อของวิธีการทางคณิตศาสตร์และการสอนการศึกษาของเรขาคณิตโดยมุ่งเน้นไปที่กลุ่มของการแปลงทางเรขาคณิตและคุณสมบัติของตัวเลขที่มีค่าคงที่ภายใต้พวกเขา มันจะตรงข้ามกับวิธีการสังเคราะห์รูปทรงเรขาคณิตที่คลาสสิกของรูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิดมุ่งเน้นการก่อสร้างทางเรขาคณิตที่. ตัวอย่างเช่นภายในเรขาคณิตการเปลี่ยนแปลงคุณสมบัติของสามเหลี่ยมหน้าจั่วจะอนุมานจากข้อเท็จจริงที่ว่ามันเป็นแมปกับตัวเองจากการสะท้อนเกี่ยวกับเส้นบาง . ความขัดแย้งนี้ด้วยหลักฐานอันคลาสสิกตามเกณฑ์สำหรับความสอดคล้องกันของรูปสามเหลี่ยม. [1] เป็นครั้งแรกที่ความพยายามที่จะใช้ระบบการแปลงเป็นรากฐานของเรขาคณิตทำโดยเฟลิกซ์ไคลน์ในศตวรรษที่ 19 ภายใต้ชื่อโปรแกรม Erlangen เป็นเวลาเกือบศตวรรษที่วิธีการนี้ยังคงถูกคุมขังในวงการวิจัยคณิตศาสตร์ ในความพยายามของศตวรรษที่ 20 ถูกสร้างขึ้นมาเพื่อใช้ประโยชน์สำหรับการศึกษาคณิตศาสตร์ อังเดร Kolmogorov รวมวิธีนี้ (ร่วมกับทฤษฎีเซต) เป็นส่วนหนึ่งของข้อเสนอการปฏิรูปการเรียนการสอนรูปทรงเรขาคณิตในรัสเซีย. [2] ความพยายามเหล่านี้ culminated ในปี 1960 กับการปฏิรูปการทั่วไปของการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ที่รู้จักกันเป็นขบวนการคณิตศาสตร์ใหม่. สอนเรขาคณิตการเปลี่ยนแปลง [ แก้ไข] การสำรวจของรูปทรงเรขาคณิตการเปลี่ยนแปลงมักจะเริ่มต้นกับการศึกษาของสมมาตรสะท้อนที่พบในชีวิตประจำวัน การเปลี่ยนแปลงครั้งแรกเป็นภาพสะท้อนในสายหรือสะท้อนกับแกน องค์ประกอบของทั้งสองมีผลสะท้อนในการหมุนเมื่อเส้นตัดกันหรือแปลเมื่อพวกเขาขนาน จึงผ่านการแปลงนักเรียนได้เรียนรู้เกี่ยวกับเครื่องบินแบบยุคลิด isometry เช่นพิจารณาสะท้อนเป็นเส้นแนวตั้งและแนวเอียง 45 °ถึงแนวนอน หนึ่งสามารถสังเกตว่าหนึ่งในองค์ประกอบที่มีผลเป็นทวนเข็มนาฬิกาไตรมาสเลี้ยว (90 °) ในขณะที่อัตราผลตอบแทนกลับองค์ประกอบตามเข็มนาฬิกาไตรมาสเลี้ยว ผลดังกล่าวแสดงให้เห็นว่าการเปลี่ยนแปลงรูปทรงเรขาคณิตที่มีกระบวนการที่ไม่ใช่การสับเปลี่ยน. การประยุกต์ใช้ความบันเทิงของการสะท้อนเป็นเส้นที่เกิดขึ้นในการพิสูจน์ของพื้นที่หนึ่งในเจ็ดสามเหลี่ยมที่พบในรูปสามเหลี่ยมใด ๆ . การเปลี่ยนแปลงอีกแนะนำให้รู้จักกับเด็กนักเรียนคือการขยาย แต่สะท้อนให้เห็นถึงการเปลี่ยนแปลงในวงกลมที่ดูเหมือนว่าไม่เหมาะสมสำหรับเกรดที่ต่ำกว่า ดังนั้น inversive เรขาคณิตการศึกษาขนาดใหญ่กว่าการเปลี่ยนแปลงรูปทรงเรขาคณิตโรงเรียนเกรดมักจะ reserved สำหรับนักศึกษา. การทดลองกับกลุ่มสมมาตรคอนกรีตทางให้ทฤษฎีกลุ่มนามธรรม กิจกรรมอื่น ๆ ที่ใช้คอนกรีตที่มีการคำนวณตัวเลขที่ซับซ้อนหมายเลข hypercomplex หรือการฝึกอบรมในการแสดงการเปลี่ยนแปลงรูปทรงเรขาคณิต บทเรียนเรขาคณิตการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวนำเสนอมุมมองอื่นที่ขัดแย้งกับรูปทรงเรขาคณิตสังเคราะห์คลาสสิก เมื่อนักเรียนแล้วพบเรขาคณิตวิเคราะห์ความคิดของการประสานงานและการสะท้อนการหมุนตามได้อย่างง่ายดาย แนวคิดทั้งหมดเหล่านี้เตรียมความพร้อมสำหรับพีชคณิตเชิงเส้นที่สะท้อนแนวคิดการขยาย. การศึกษาได้แสดงความสนใจบางอย่างและอธิบายโครงการและประสบการณ์กับการเปลี่ยนแปลงรูปทรงเรขาคณิตสำหรับเด็กตั้งแต่ชั้นอนุบาลที่โรงเรียนมัธยม ในกรณีของเด็กที่อายุยังน้อยมากในการสั่งซื้อเพื่อหลีกเลี่ยงการแนะนำคำศัพท์ใหม่และการที่จะทำให้การเชื่อมโยงกับนักเรียนประสบการณ์ในชีวิตประจำวันกับวัตถุที่เป็นรูปธรรมมันก็แนะนำบางครั้งจะใช้คำพูดที่พวกเขามีความคุ้นเคยกับเช่น "พลิก" สำหรับการสะท้อนเส้น " สไลด์ "สำหรับการแปลและ" เปลี่ยน "สำหรับผลัดแม้ว่าเหล่านี้ไม่ได้ภาษาคณิตศาสตร์ที่แม่นยำ ในข้อเสนอบางอย่างที่นักเรียนเริ่มต้นโดยการดำเนินการกับวัตถุที่เป็นรูปธรรมก่อนที่จะดำเนินการเปลี่ยนแปลงที่เป็นนามธรรมของพวกเขาผ่านทางคำจำกัดความของการทำแผนที่ของแต่ละจุดของรูป. [3] [4] [5] [6] ในความพยายามที่จะปรับโครงสร้างของหลักสูตร รูปทรงเรขาคณิตในรัสเซีย Kolmogorov แนะนำนำเสนอภายใต้มุมมองของการเปลี่ยนแปลงเพื่อให้หลักสูตรเรขาคณิตแบบมีโครงสร้างที่ถูกขึ้นอยู่กับการตั้งทฤษฎี นี้นำไปสู่การปรากฏตัวของคำว่า "สอดคล้อง" ในโรงเรียนสำหรับตัวเลขว่าก่อนที่จะถูกเรียกว่า "เท่ากับ": ตั้งแต่รูปที่ถูกมองว่าเป็นชุดของจุดก็อาจจะเท่ากับตัวเองและรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สามารถนำมาซ้อนทับ โดย isometries ถูกกล่าวว่าจะสอดคล้องกัน [2]. หนึ่งเขียนแสดงความสำคัญของทฤษฎีกลุ่มเรขาคณิตการเปลี่ยนแปลงดังต่อไปนี้ฉันได้ไปปัญหาบางอย่างในการพัฒนาจากหลักการแรกทฤษฎีกลุ่มที่ฉันต้องการด้วยความตั้งใจที่หนังสือของฉัน สามารถทำหน้าที่เป็นบทนำครั้งแรกในกลุ่มการเปลี่ยนแปลงและพัฒนาการของทฤษฎีกลุ่มนามธรรมถ้าคุณไม่เคยเห็นเหล่านี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

การแปลง
คณิตศาสตร์ เรขาคณิตการแปลง ( หรือรูปทรงเรขาคณิตที่เปลี่ยนแปลง ) เป็นชื่อของวิธีการทางคณิตศาสตร์ และอาจารย์เพื่อเรียนเรขาคณิต โดยเน้นในกลุ่มของการแปลงทางเรขาคณิต และคุณสมบัติของตัวเลขที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้พวกเขา มันเป็นนอกคอกคลาสสิกสังเคราะห์แนวทางใช้เรขาคณิตเรขาคณิตที่เน้นรูปทรงเรขาคณิตกัน

ตัวอย่างเช่นภายในเรขาคณิตการแปลง สมบัติของสามเหลี่ยมหน้าจั่วมี deduced จากความจริงที่ว่ามันเป็นแมปเองโดยการสะท้อนเกี่ยวกับเส้นบาง นี้แตกต่างกับปรู๊ฟคลาสสิกเกณฑ์ความสอดคล้องกันของรูปสามเหลี่ยม [ 1 ]

แรกพยายามที่จะใช้ระบบการแปลงเป็นรากฐานของเรขาคณิตที่ทำโดย Felix Klein ในศตวรรษที่ 19 , เพิร์ท ภายใต้ชื่อโครงการ เป็นเวลาเกือบศตวรรษที่วิธีการนี้ยังคงคับวงการวิจัยคณิตศาสตร์ ในศตวรรษที่ 20 ความพยายามที่จะใช้ประโยชน์จากมันเพื่อการศึกษาคณิตศาสตร์แอนดรูว์แอนเดอร์สันรวมวิธีการนี้ ( ด้วยกันกับทฤษฎีเซต ) เป็นส่วนหนึ่งของข้อเสนอเพื่อการปฏิรูปการสอนเรขาคณิตในรัสเซีย . [ 2 ] ความพยายามเหล่านี้ culminated ในยุคที่มีการปฏิรูปทั่วไปของการสอนคณิตศาสตร์ที่รู้จักกันเป็นขบวนการทางคณิตศาสตร์ใหม่

สอนการแปลงเรขาคณิต [ แก้ไข ]
การศึกษาเรขาคณิตการแปลงมักจะเริ่มต้นด้วยการศึกษาภาพสะท้อนสมมาตรที่พบในชีวิตประจําวัน การเปลี่ยนแปลงที่แท้จริงคือภาพสะท้อนในบรรทัดหรือสะท้อนกับแกน องค์ประกอบของทั้งสองสะท้อนผลในการหมุนเมื่อเส้นตัด หรือการแปล เมื่อพวกเขาถูกขนาน จึงผ่านการใช้นักเรียนเรียนรู้เกี่ยวกับเครื่องบิน isometry .ตัวอย่างเช่นพิจารณาสะท้อนในแนวตั้งและแนวเอียง 45 องศากับแนวราบ หนึ่งสามารถสังเกตว่าหนึ่งในองค์ประกอบผลผลิต เคาน์เตอร์เปิดไตรมาส ( 90 องศาตามเข็มนาฬิกา ) ในขณะที่ย้อนกลับองค์ประกอบผลผลิตไตรมาสตามเข็มนาฬิกาเลี้ยว ผลดังกล่าวแสดงให้เห็นว่าเรขาคณิตการแปลงรวมถึงไม่มีการสับเปลี่ยนกระบวนการ .

สนุกสนานการสะท้อนให้เห็นในบรรทัดเกิดขึ้นในหลักฐานหนึ่งที่พบในพื้นที่เจ็ดสามเหลี่ยมสามเหลี่ยม

อีกแปลงแนะนำให้น้องๆ คือ ขยาย อย่างไรก็ตาม การสะท้อน เป็นวงกลม การดูที่เกรดต่ำกว่า ดังนั้น อินเวอร์ชัน ( เรขาคณิต ) , การศึกษาขนาดใหญ่กว่าโรงเรียนเกรดการแปลงเรขาคณิตมักจะสงวนไว้สำหรับนักศึกษาวิทยาลัย การทดลอง

กลุ่มสมมาตรคอนกรีต ทำทางทฤษฎีกลุ่มนามธรรม รูปธรรมอื่น ๆที่ใช้คำนวณตัวเลขที่ซับซ้อนตัวเลขคอมเพล็กซ์ หรือเมทริกซ์แสดงเรขาคณิตการแปลง บทเรียนเรขาคณิตการแปลงดังกล่าวนำเสนอมุมมองอื่นที่แตกต่างกับเรขาคณิตสังเคราะห์คลาสสิกเมื่อนักเรียนแล้วพบเรขาคณิตวิเคราะห์ ความคิดของการหมุนประสานงานและสะท้อนตามได้อย่างง่ายดาย แนวคิดทั้งหมดนี้เตรียมพีชคณิตเชิงเส้นที่สะท้อนแนวคิดขยาย

อาจารย์ได้แสดงความสนใจและอธิบายโครงการและประสบการณ์กับการแปลงเรขาคณิตสำหรับเด็กตั้งแต่ระดับอนุบาลถึงมัธยมปลาย ในกรณีของเด็กที่อายุยังน้อยมาก ,เพื่อหลีกเลี่ยงการแนะนำคำศัพท์ใหม่และเพื่อให้เชื่อมโยงกับนักเรียนทุกวัน สัมผัสกับวัตถุคอนกรีต มันก็แนะนำให้ใช้คำที่พวกเขาจะคุ้นเคยกับแบบ " พลิก " สายสะท้อน " ภาพนิ่ง " แปล และ " เปลี่ยน " สำหรับในประเทศไทย ถึงแม้ว่าเหล่านี้จะไม่ได้ภาษาคณิตศาสตร์ที่ชัดเจนขึ้น ในบางข้อเสนอนักเรียนเริ่มโดยการดำเนินการกับวัตถุคอนกรีตก่อนที่จะทำการแปลงนามธรรมของพวกเขาผ่านความหมายของแผนที่ จุดแต่ละจุดของรูป [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]

ในความพยายามที่จะปรับโครงสร้างหลักสูตรเรขาคณิตในรัสเซีย แอนเดอร์สัน แนะนำเสนอภายใต้มุมมองของแปลง ดังนั้น ทางหลักสูตรได้มีโครงสร้างตามทฤษฎีการตั้งค่า .นี้นำไปสู่ลักษณะที่ปรากฏของคำว่า " ความ " ในโรงเรียน สำหรับตัวเลขที่ถูกเรียกว่าก่อน " เท่ากับ " : ตั้งแต่รูปที่เห็นเป็นจุด ชุด มันสามารถ เท่ากับตัวเอง และสามเหลี่ยม ที่อาจทับซ้อนกัน โดย isometries ว่ากันว่าหลัง [ 2 ]

หนึ่งผู้เขียนได้แสดงความสำคัญของทฤษฎีกลุ่มเพื่อการแปลงเรขาคณิต ดังนี้

ฉันต้องไปที่ปัญหาเพื่อพัฒนาจากหลักการแรกทุกกลุ่มทฤษฎีที่ผมต้องการ กับความตั้งใจที่หนังสือของฉันสามารถใช้เป็นบทแรกในกลุ่มการเปลี่ยนแปลง , และความคิดของทฤษฎีกลุ่มนามธรรม ถ้าคุณไม่เคยเห็นเหล่านี้