Why Use Them?Hi. In this series of

Why Use Them?

Hi. In this series of videos, I’m going to try to connect some of the basic theory behind the fundamentals of frequency domain analysis with its applications in practice, and the use of tools like Bode plots in the design of typical controllers. I thought that the best way to explain some of the reasons why control or signal processing engineers need to look at things in the frequency domain to begin with would be by using a couple of simple examples.

Read more
Let me start with an acoustic guitar, and please, forgive my overly simplistic drawing back there. If we place a microphone anywhere close to its soundboard and we pluck one of the strings, the vibration will resonate in the guitar cavity and will produce a sound wave that will be captured by the mic. Looking at the time trace of that signal from the microphone gives us very little information about what is going on. Only when we look at that same signal on a spectrum analyzer, or we take an FFT of it, we are able to see an amplitude peak and some frequency. This frequency happens to be the underlying tone that forms the note we just played. When you adjust the tuner knob or press your finger at the neck of the guitar, what you’re actually doing is either changing the preload or the effective length of that string. This will shift up or down the frequency at which the string resonates, and you will end up producing a different note.

If we look at a more typical controls example, what I have drawn here is what is known as a two-degrees-of-freedom quarter car suspension. The top mass represents a corner of the car chassis, and the bottom mass represents the corresponding tire. We can use Newton’s Law to come up with a set of differential equations that describe the dynamics of this system. And we can quickly build a model of these equations in a dynamic simulation environment like Simulink. When I press play, the differential equations in the model are stepped through a numerical solver, and we can monitor any of the states of our system. For this simulation run, we are injecting random noise road profile under the tire—think of the car driving over some rough terrain—and we are measuring the acceleration transmitted onto the car body. So, from our numeric simulation solution, we got random noise in and something that looks like a slightly different random noise out. Useful, maybe, but definitely incomplete. I mean, of course, with that dynamic model, we can run more simulations with different types of road profiles and compare the results, but still. I know all the information is there, but it is somewhat hidden underneath those time traces.

Here’s where the genius of people like Fourier and Laplace comes into play: A Laplace transform, for example, will help us convert this forced differential equation problem that can be very difficult to work with in the time domain into a simpler algebraic set of expressions based on the complex Laplace operator, S. Once in the frequency domain, we can easily create a plot of the response of the system for a bunch of different frequencies. You can think of this diagram as the ratio of the amplitude of the energy transmitter from the road under the tire up to the acceleration of the car body.

Actually, what we’re looking at here is pretty typical behavior of any standard car suspension. The first peak corresponds to the resonant frequency of the suspension itself, and the second corresponds to the resonant frequency of the tire. For anybody that has ever wandered off the freeway on to one of those rumble strips on the emergency lane and felt that the car beginning to shake so bad that it felt like it was going to fall apart: The reason why that happened was that the speed of the car, combined with the road profile underneath, was generating an excitation that was probably very close to the resonant frequency of the tire.

By the way, the bumps under the car don’t need to be really big. The critical factor here is the frequency of the excitations. If you hit that rumble strip at the right speed, those tiny bumps can produce very large vertical acceleration jolts on the chassis. And even though those strips are designed to make you instinctively slow down, sometimes, as you take your foot off the gas, you can feel the shaking become even worse before it starts to get better. That is probably because, as the car slows down, the frequency of the excitation also goes down. And if you were on the right-hand side of that second peak to begin with, you will be climbing back up that tire resonance. I know it might sound counterintuitive, but notice that if you were to speed up instead, you would be moving further right and down that chart, and the system would completely attenuate whatever disturbance is coming from the road.

Anyway, the point I’m trying to make with all of this is that control engineers need to go through the trouble of analyzing things in the frequency domain because it adds a very important dimension to the observations of our system responses. I like to think that looking at systems exclusively in the time domain—which can feel more natural to us—is analogous to a mechanical designer trying to infer the shape of a three-dimensional part by looking at just a single, two-dimensional drawing of one of its sides.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ทำไมต้องใช้สวัสดี ในวิดีโอชุดนี้ ฉันจะพยายามที่จะเชื่อมต่อบางส่วนของทฤษฎีพื้นฐานหลังพื้นฐานการวิเคราะห์โดเมนความถี่ ด้วยการประยุกต์ในทางปฏิบัติ และการใช้เครื่องมือเช่น Bode ลงจุดในการออกแบบตัวควบคุมทั่วไป คิดว่า เพื่ออธิบายเหตุผลที่ทำไมต้องมองสิ่งต่าง ๆ ในโดเมนความถี่วิศวกรดำเนินการควบคุมหรือสัญญาณบางอย่างจะเริ่มต้นด้วยจะโดยคู่ของตัวอย่างแบบง่ายอ่านเพิ่มเติมให้ฉันเริ่มต้น ด้วยกีต้าร์โปร่ง และ โปรดยกโทษให้ฉันมากเกินไปพี่วาดกลับมี ถ้าเราวางไมโครโฟนทุกใกล้ของ soundboard และเราดึงสายอักขระหนึ่ง สั่นสะเทือนจะดังก้องในโพรงกีตาร์ และจะผลิตคลื่นเสียงที่จะถูกรวบรวม โดยไมค์ ดูที่การติดตามเวลาที่สัญญาณจากไมโครโฟนให้เราข้อมูลน้อยมากเกี่ยวกับสิ่งที่เกิดขึ้น เมื่อเราดูที่สัญญาณที่เหมือนกันในการวิเคราะห์สเปกตรัม หรือเราใช้ FFT เป็นมัน เราจะสามารถมียอดคลื่นและความถี่บาง ความถี่นี้เกิดขึ้นให้ เสียงต้นแบบที่บันทึกย่อที่เราเล่น เมื่อคุณปรับปุ่มรับสัญญาณ หรือกดนิ้วที่คอของกีต้าร์ สิ่งที่คุณจะทำมีทั้งการเปลี่ยนแปลงที่โหลดหรือความยาวของสายอักขระที่มีประสิทธิภาพ นี้จะเลื่อนขึ้น หรือ ลงความถี่ที่สตริ resonates และคุณจะสิ้นสุดการผลิตเหตุอื่นถ้าเราดูตัวอย่างการควบคุมทั่วไป สิ่งที่ฉันได้วาดนี่เป็นสิ่งที่เรียกว่าเป็นระบบกันสะเทือนรถไตรมาสสององศาของเสรีภาพ โดยรวมด้านบนแสดงมุมของตัวถังรถยนต์ แสดงโดยรวมด้านล่างยางสอดคล้อง เราสามารถใช้กฎหมายของนิวตันมากับชุดของสมการเชิงอนุพันธ์ที่อธิบายของระบบนี้ และเราสามารถสร้างแบบจำลองของสมการเหล่านี้ในสภาพแวดล้อมการจำลองแบบไดนามิกเช่น Simulink อย่างรวดเร็ว เมื่อกดเล่น สมการเชิงอนุพันธ์ในรูปแบบจะก้าวผ่านโปรแกรมแก้ปัญหาตัวเลข และเราสามารถตรวจสอบสถานะของระบบของเรา สำหรับการจำลองนี้รัน เรามี injecting โปรไฟล์ถนนสุ่มเสียงใต้ยาง — คิดว่ารถที่ขับรถผ่านภูมิประเทศบางตัว และเราจะวัดความเร่งที่ส่งไปยังตัวรถ ดังนั้น จากโซลูชันการจำลองตัวของเรา เราได้เสียงแบบสุ่มในและสิ่งที่มีลักษณะแตกต่างกันเล็กน้อยเสียงดังสุ่มออก ประโยชน์ อาจจะ แต่แน่นอนไม่สมบูรณ์ ผมหมายถึง แน่นอน มีรุ่นที่แบบไดนามิก เราสามารถรันการจำลองมากขึ้นกับชนิดของโพรไฟล์ถนน และเปรียบเทียบผลลัพธ์ แต่ยัง ฉันรู้ว่า มีข้อมูลทั้งหมด แต่ค่อนข้างจะถูกซ่อนอยู่ใต้ร่องรอยของเวลาเหล่านั้นนี่ที่อัจฉริยะของคนฟูรีเยและลาปลาสมาเล่น: แปลงลาปลาส A ตัวอย่าง จะช่วยให้เราแปลงปัญหานี้บังคับสมการเชิงอนุพันธ์ที่สามารถยากที่จะทำงานกับในโดเมนเวลาเป็นพีชคณิตง่ายกว่าของนิพจน์ตามดำเนินลาปลาสคอมเพล็กซ์ S. ครั้งในโดเมนความถี่ เราสามารถสร้างแผนของการตอบสนองของระบบสำหรับกลุ่มความถี่ที่แตกต่างกัน คุณสามารถคิดของไดอะแกรมนี้เป็นอัตราส่วนของความกว้างของสัญญาณพลังงานจากถนนใต้ยางถึงเร่งความเร็วของตัวรถจริง สิ่งที่เรามองที่นี่เป็นพฤติกรรมทั่วไปสวยของระบบกันสะเทือนรถยนต์มาตรฐานใด ๆ ช่วงแรกที่สอดคล้องกับความถี่คงที่ของการระงับตัวเอง และสองที่ตรงกับความถี่ที่คงที่ของยาง สำหรับใครที่เคยตัวที่เดินเข้าออกจากหมู่นักระบบหนึ่งในบรรดา เรือแถบบนเลนฉุกเฉิน และความรู้สึกที่รถเริ่มสั่นเลวว่า มันรู้สึกเหมือนมันกำลังจะตกกัน: เหตุผลเหตุที่เกิดขึ้นคือ ความเร็วของรถ รวมกับโพถนนใต้ ถูกสร้างการในการกระตุ้นที่อยู่คงใกล้ความถี่คงที่ของยางโดยวิธีการ กระแทกใต้รถไม่จำเป็นต้องมาก ปัจจัยที่สำคัญที่นี่เป็นความถี่ที่ excitations ถ้าคุณกดที่แถบเรือความเร็วขวา กระแทกเล็ก ๆ เหล่านั้นสามารถผลิต jolts เร่งมากแนวตั้งบนแชสซี และแม้ว่าแถบเหล่านั้นถูกออกแบบมาเพื่อให้คุณ instinctively ช้าลง บางครั้ง กับเท้าของคุณปิดก๊าซ คุณสามารถรู้สึกการสั่นจะแย่ก่อนจะเริ่มดีขึ้น นั่นคืออาจจะเนื่องจาก เป็นรถช้าลง ความถี่ในการกระตุ้นที่ยังไปลง และถ้าคุณอยู่ทางด้านขวาของช่วงที่สองจะเริ่มต้นด้วย คุณจะปีนที่สั่นพ้องยางสำรอง ฉันรู้มันอาจเสียง counterintuitive แต่มาสังเกตว่า ถ้าคุณเร่งความเร็วแทน คุณจะย้ายขวาเพิ่มเติม และ ลงที่แผนภูมิ และระบบจะสมบูรณ์ attenuate สิ่งรบกวนจากถนนอย่างไรก็ตาม จุดที่ฉันพยายามที่จะทำทั้งหมดนี้คือ วิศวกรควบคุมต้องผ่านปัญหาวิเคราะห์สิ่งต่าง ๆ ในโดเมนความถี่เนื่องจากจะเพิ่มขนาดเป็นสิ่งสำคัญมากเพื่อสังเกตการตอบสนองของระบบ ชอบคิดที่มองระบบเฉพาะในโดเมนเวลา — ที่สามารถสัมผัสธรรมชาติกับเรา — จะคล้ายคลึงกับเครื่องจักรกลออกแบบพยายามเข้าใจรูปร่างของส่วนสามมิติ โดยมองเพียงรูปเดียว สองวาดหนึ่งในด้านของการ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ทำไมต้องใช้พวกเขา? สวัสดี ในชุดของวิดีโอนี้ฉันจะพยายามที่จะเชื่อมต่อบางส่วนของทฤษฎีพื้นฐานที่อยู่เบื้องหลังพื้นฐานของการวิเคราะห์ความถี่โดเมนที่มีการประยุกต์ใช้ในการปฏิบัติงานและการใช้เครื่องมือเช่นแปลงเป็นลางบอกเหตุในการออกแบบของตัวควบคุมทั่วไปที่ ผมคิดว่าวิธีที่ดีที่สุดที่จะอธิบายบางส่วนของเหตุผลที่ว่าทำไมการควบคุมหรือสัญญาณวิศวกรการประมวลผลต้องมองไปที่สิ่งที่อยู่ในโดเมนความถี่จะเริ่มต้นด้วยจะเป็นโดยใช้คู่ของตัวอย่างง่ายๆ. อ่านรายละเอียดเพิ่มเติมผมขอเริ่มต้นด้วยกีตาร์อะคูสติกและโปรดยกโทษให้วาดภาพที่ง่ายเกินไปของฉันกลับไปที่นั่น ถ้าเราวางไมโครโฟนได้ทุกที่ใกล้เคียงกับไวโอลินของมันและเราดึงหนึ่งในสายการสั่นสะเทือนจะสะท้อนในช่องกีตาร์และจะผลิตคลื่นเสียงที่จะถูกจับโดยไมค์ กำลังมองหาที่ร่องรอยเวลาของสัญญาณจากไมโครโฟนที่ช่วยให้เรามีข้อมูลน้อยมากเกี่ยวกับสิ่งที่เกิดขึ้น เฉพาะเมื่อเรามองไปที่สัญญาณเดียวกันกับที่ในการวิเคราะห์สเปกตรัมหรือที่เราใช้ FFT ของมันเราสามารถที่จะเห็นยอดเขาที่กว้างและความถี่บาง ความถี่นี้เกิดขึ้นจะเป็นโทนสีพื้นฐานที่เป็นที่ทราบเราก็เล่น เมื่อคุณปรับจูนเนอร์ลูกบิดหรือกดนิ้วของคุณที่คอของกีตาร์สิ่งที่คุณกำลังทำจริงเป็นทั้งการเปลี่ยนแปลงพรีโหลดหรือความยาวที่มีประสิทธิภาพของสตริงที่ นี้จะเลื่อนขึ้นหรือลงความถี่ที่สะท้อนสตริงและคุณจะจบลงด้วยการผลิตบันทึกที่แตกต่างกัน. ถ้าเราดูตัวอย่างการควบคุมทั่วไปมากขึ้นสิ่งที่ฉันได้วาดนี่คือสิ่งที่เป็นที่รู้จักกันเป็นสององศาของ ระงับรถไตรมาส -freedom มวลด้านบนแสดงให้เห็นถึงมุมของตัวถังรถและมวลด้านล่างหมายถึงยางที่สอดคล้องกัน เราสามารถใช้กฎหมายของนิวตันที่จะเกิดขึ้นกับชุดของสมการเชิงอนุพันธ์ที่อธิบายถึงการเปลี่ยนแปลงของระบบนี้ที่ และเราได้อย่างรวดเร็วสามารถสร้างรูปแบบของสมการเหล่านี้ในสภาพแวดล้อมที่จำลองแบบไดนามิกเช่น Simulink เมื่อผมกดปุ่มเล่นสมการเชิงอนุพันธ์ในรูปแบบที่มีการก้าวผ่านการแก้ตัวเลขและเราสามารถตรวจสอบใด ๆ ของรัฐของระบบของเรา สำหรับการทำงานแบบจำลองนี้เราจะฉีดเสียงรายละเอียดถนนสุ่มภายใต้ยางคิดว่าการขับรถบางภูมิประเทศขรุขระและเรามีการวัดอัตราเร่งที่ส่งลงบนตัวถังรถ ดังนั้นจากการจำลองวิธีการแก้ปัญหาที่เป็นตัวเลขของเราเราได้สุ่มเสียงและบางสิ่งบางอย่างที่มีลักษณะเช่นสุ่มเสียงออกมาแตกต่างกันเล็กน้อย ที่มีประโยชน์อาจจะไม่สมบูรณ์ แต่แน่นอน ผมหมายถึงของหลักสูตรที่มีรูปแบบไดนามิกที่เราสามารถเรียกใช้แบบจำลองมากขึ้นกับชนิดของรูปแบบถนนและเปรียบเทียบผล แต่ยังคง ฉันรู้ว่าข้อมูลทั้งหมดที่จะมี แต่มันถูกซ่อนอยู่ค่อนข้างใต้ร่องรอยเวลาเหล่านั้น. นี่คือสิ่งที่เป็นอัจฉริยะของคนชอบฟูริเยร์และเลซมาลงเล่น: การ Laplace transform ตัวอย่างเช่นจะช่วยให้เราแปลงปัญหาสมการเชิงอนุพันธ์นี้บังคับที่สามารถ เป็นเรื่องยากมากที่จะทำงานกับในโดเมนเวลาเป็นชุดพีชคณิตง่ายของการแสดงออกขึ้นอยู่กับผู้ประกอบการที่ซับซ้อนเลซ, เอสเมื่ออยู่ในโดเมนความถี่ที่เราสามารถสร้างพล็อตของการตอบสนองของระบบสำหรับพวงของความถี่ที่แตกต่างกันได้ . คุณสามารถคิดว่าแผนภาพนี้เป็นอัตราส่วนของความกว้างของเครื่องส่งพลังงานจากถนนภายใต้ยางขึ้นอยู่กับการเร่งความเร็วของตัวรถที่. อันที่จริงสิ่งที่เรากำลังมองหาที่นี่เป็นพฤติกรรมปกติของการระงับสวยรถมาตรฐานใด ๆ ยอดเขาที่แรกที่สอดคล้องกับความถี่จังหวะของการระงับตัวเองและที่สองสอดคล้องกับความถี่จังหวะของยาง สำหรับใครที่เคยเดินออกทางด่วนไปยังหนึ่งในแถบดังก้องผู้ที่อยู่ในช่องทางฉุกเฉินและรู้สึกว่าจุดเริ่มต้นของรถที่จะเขย่าไม่ดีเพื่อให้มันรู้สึกเหมือนว่ามันเป็นไปกระจุย: เหตุผลที่เกิดขึ้นก็คือว่าความเร็ว ของรถรวมกับรายละเอียดถนนใต้ได้รับการกระตุ้นการสร้างที่อาจจะเป็นมากใกล้เคียงกับความถี่จังหวะของยาง. โดยวิธีการกระแทกใต้ท้องรถไม่จำเป็นต้องเป็นใหญ่จริงๆ ปัจจัยที่สำคัญที่นี่คือความถี่ของ excitations ที่ ถ้าคุณกดที่แถบดังก้องที่ความเร็วที่เหมาะสมกระแทกเล็ก ๆ เหล่านั้นสามารถผลิต jolts เร่งในแนวตั้งขนาดใหญ่มากบนตัวถัง และแม้ว่าแผ่นเหล่านั้นจะถูกออกแบบมาเพื่อให้คุณสัญชาตญาณชะลอตัวลงบางครั้งที่คุณใช้เท้าของคุณออกก๊าซคุณสามารถรู้สึกสั่นกลายเป็นยิ่งแย่ลงก่อนที่จะเริ่มได้รับดีกว่า นั่นอาจเป็นเพราะเป็นรถช้าลงความถี่ของการกระตุ้นยังไปลง และถ้าคุณอยู่บนด้านขวามือของจุดสูงสุดที่สองที่จะเริ่มต้นด้วยคุณจะปีนกลับขึ้นไปที่เสียงสะท้อนยาง ฉันรู้ว่ามันอาจจะฟังดู counterintuitive แต่สังเกตเห็นว่าถ้าคุณได้เร็วขึ้น แต่คุณจะย้ายที่เหมาะสมต่อไปและลงแผนภูมิและระบบสมบูรณ์จะเจือจางสิ่งรบกวนที่มาจากถนน. อย่างไรก็ตามจุดฉัน พยายามที่จะทำให้ทั้งหมดนี้คือการที่วิศวกรควบคุมต้องผ่านการวิเคราะห์ปัญหาของสิ่งที่อยู่ในโดเมนความถี่เพราะมันจะเพิ่มมิติสำคัญมากที่จะสังเกตการตอบสนองของระบบของเรา ผมชอบที่จะคิดว่ามองไปที่ระบบโดยเฉพาะในเวลาที่โดเมนที่สามารถรู้สึกเป็นธรรมชาติมากขึ้นกับเรา-จะคล้ายคลึงกับการออกแบบเครื่องจักรกลพยายามที่จะสรุปรูปทรงของส่วนสามมิติโดยดูที่เพียงหนึ่งเดียววาดสองมิติ ของหนึ่งในด้าน

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ทำไมต้องใช้พวกเขา ?

สวัสดีค่ะ ในวิดีโอชุดนี้ ฉันจะพยายามที่จะเชื่อมต่อกับบางส่วนของพื้นฐานทฤษฎีหลังพื้นฐานการวิเคราะห์โดเมนความถี่กับการประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติ และการใช้เครื่องมือเช่นลางแปลงในการออกแบบตัวควบคุมทั่วไปฉันคิดว่าวิธีที่ดีที่สุดที่จะอธิบายบางส่วนของเหตุผลหรือวิศวกรควบคุมสัญญาณต้องมองสิ่งโดเมนความถี่จะเริ่มต้นด้วยจะใช้คู่ของตัวอย่างง่ายๆ อ่านเพิ่มเติม


ผมขอเริ่มต้นด้วยกีตาร์อะคูสติกและโปรดให้อภัยวาด simplistic สุดเหวี่ยงของฉันกลับไปถ้าเราวางไมโครโฟนทุกที่ใกล้เคียงกับไวโอลินและเราดึงหนึ่งของสตริง , การสั่นสะเทือนจะดังก้องในกีตาร์และโพรงจะผลิตคลื่นเสียงจะถูกบันทึกโดยไมค์ มองดูเวลาที่มีร่องรอยของสัญญาณจากไมโครโฟนให้ข้อมูลน้อยมากเกี่ยวกับสิ่งที่เกิดขึ้น แต่เมื่อเราดูที่สัญญาณเดียวกันบนวิเคราะห์สเปกตรัมหรือเราจะใช้หน่วยของมัน เราจะสามารถเห็นยอดคลื่นและความถี่ ความถี่นี้จะเป็นต้นเสียงที่รูปแบบข้อความที่เราเพิ่งเล่น เมื่อคุณปรับจูนเนอร์ลูกบิดหรือกดนิ้วที่คอของกีต้าร์ , สิ่งที่คุณทำคือการโหลดหรือความยาวที่มีประสิทธิภาพของเส้นนั้นนี้จะเลื่อนขึ้นหรือลงความถี่ซึ่งสายสะท้อน และคุณจะสิ้นสุดการผลิตหมายเหตุแตกต่าง

ถ้าเราดูที่ตัวอย่างการควบคุมทั่วไปมากขึ้น สิ่งที่ผมได้วาดมาเป็นสิ่งที่เรียกว่าสององศาอิสระไตรมาสรถระงับ มวลด้านบนเป็นมุมตัวถังของรถ และ มวลสารด้านล่างเป็นยางที่สอดคล้องกันเราสามารถใช้กฎของนิวตันมากับชุดของสมการอนุพันธ์ที่อธิบายพลศาสตร์ของระบบนี้ และเราได้อย่างรวดเร็วสามารถสร้างแบบจำลองของสมการเหล่านี้ในการจำลองพลศาสตร์สิ่งแวดล้อมเช่น Simulink . เมื่อฉันกดปุ่มเล่น สมการเชิงอนุพันธ์ในรูปแบบจะก้าวผ่านคำตอบเชิงตัวเลข และเราสามารถตรวจสอบใด ๆของรัฐในระบบของเรา นี้จำลองวิ่งเราฉีด สุ่มเสียงถนนโปรไฟล์ใต้ยางคิดว่าขับรถผ่านบางภูมิประเทศขรุขระและเราจะวัดอัตราเร่งถ่ายทอดลงบนตัวรถ ดังนั้น จากสารละลายแบบจำลองของเราตัวเลข เราก็สุ่มเสียงและสิ่งที่ดูเหมือนแตกต่างกันเล็กน้อย สุ่มเสียงที่ออก ประโยชน์ บางที แต่ก็ไม่สมบูรณ์ ผมหมายถึง แน่นอน กับแบบโมเดลเราสามารถใช้แบบจำลองมากขึ้นกับชนิดที่แตกต่างกันของรูปแบบถนนและเปรียบเทียบผลลัพธ์ แต่ก็ยัง ผมทราบว่าข้อมูลทั้งหมดมี แต่มันค่อนข้างซ่อนอยู่ใต้นั้นเวลามั้ย .

ที่นี่คือที่อัจฉริยะของคนชอบฟูเรียร์ลาปลาสและเข้ามาเล่น : การแปลงลาปลาซ ตัวอย่างเช่นจะช่วยให้เราแปลงนี้บังคับสมการเชิงอนุพันธ์ ปัญหาที่สามารถมากยากที่จะทำงานในเวลาโดเมนเป็นง่ายกว่าพีชคณิตชุดของการแสดงออกขึ้นอยู่กับผู้ประกอบการลาปลาซที่ซับซ้อน , S . เมื่อในโดเมนความถี่ที่เราสามารถสร้างได้อย่างง่ายดายแปลงการตอบสนองของระบบสำหรับพวงของความถี่ที่แตกต่างกันคุณสามารถคิดของแผนภาพนี้เป็น อัตราส่วนของแอมปลิจูดของสัญญาณพลังงานจากถนนใต้ยางถึงอัตราเร่งของร่างกายรถ

จริงๆ แล้ว เรากำลังมองหาที่นี่เป็นพฤติกรรมปกติสวยของช่วงล่างรถยนต์มาตรฐานใด ๆ ยอดแรกที่สอดคล้องกับความถี่เรโซแนนซ์ของช่วงล่างนั้น วินาทีที่สอดคล้องกับความถี่เรโซแนนซ์ของยางสำหรับใครที่เคยเดินบนถนนกับคนที่ดังก้องแถบบนเลนฉุกเฉินและรู้สึกว่ารถเริ่มจะสั่นมาก มันรู้สึกเหมือนจะล้ม : เหตุผลที่เกิดขึ้น คือ ความเร็วของรถ รวมกับถนนโปรไฟล์ใต้