3.5. FURTHER DISCUSSION193.5 Furthe

3.5. FURTHER DISCUSSION
19
3.5 Further Discussion
3.5.1 More linearity of expectation: a random walk stock mar
ket
Suppose there is a stock with the property that each day, it ha
s a 50:50 chance of going either up
or down by $1, unless the stock is at 0 in which case it stays the
re. You start with $m. Each day
you can buy or sell as much as you want, until at the end of the ye
ar all your money is converted
back into cash. What is the best strategy for maximizing your
expected gain?
The answer is that no matter what strategy you choose, your ex
pected gain by the end of the year
is 0 (i.e., you expect to end with the same amount of money as yo
u started). Let’s prove that this
is the case.
Define random variable
X
t
to be the gain of our algorithm on day
t
. Let
X
be the overall gain at
the end of the year. Then,
X
=
X
1
+
. . .
+
X
365
.
Notice that the
X
t
’s can be highly dependent, based on our strategy. For instan
ce, if our strategy
is to pull all our money out of the stock market the moment that
our wealth exceeds $m, then
X
2
depends strongly on the outcome of
X
1
. Nonetheless, by linearity of expectation,
E
[
X
] =
E
[
X
1
] +
. . .
+
E
[
X
365
]
.
Finally, no matter how many shares
s
of stock we hold at time
t
,
E
[
X
t
|
s
] = 0. So, using (3.3),
whatever probability distribution over
s
is induced by our strategy,
E
[
X
t
] = 0. Since this holds for
every
t
, we have
E
[
X
] = 0.
This analysis can be generalized to the case of gambling in a “
fair casino”. In a fair casino, there
are a number of games with different kinds of payoffs, but each o
ne has the property that your
expected gain for playing it is zero. E.g., there might be a ga
me where with probability 99
/
100 you
lose but with probability 1
/
100 you win 99 times your bet. In that case, no matter what stra
tegy
you use for which game to play and how much to bet, the expected
amount of money you will have
at the end of the day is the same as the amount you had going in.
3.5.2 Yet another way to analyze quicksort: run it backwards
Here’s another way to analyze quicksort — run the algorithm b
ackwards. Actually, to do this
analysis, it is better to think of a version of Quicksort that
instead of being recursive, at each step
it picks a random bucket in proportion to its size to work on ne
xt. The reason this version is nice
is that if you imagine watching the pivots get chosen and wher
e they would be on a sorted array,
they are coming in completely at random. Looking at the algor
ithm run backwards, at a generic
point in time, we have
k
pivots (producing
k
+ 1 buckets) and we “undo” one of our pivot choices
at random, merging the two adjoining buckets. [The tricky pa
rt here is showing that this is really
a legitimate way of looking at Quicksort in reverse.] The cos
t for an undo operation is the sum
of the sizes of the two buckets joined (since this was the numb
er of comparisons needed to split
them). Notice that for each undo operation, if you sum the cos
ts over all of the
k
possible pivot
choices, you count each bucket twice (or once if it is the left
most or rightmost) and get a total of
<
2
n
. Since we are picking one of these
k
possibilities at random, the
expected
cost is 2
n/k
. So, we
get
P
k
2
n/k
= 2
nH
n

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

3.5 การอภิปรายต่อไป

19 3.5 การอภิปรายต่อไป
3.5.1 เป็นเส้นตรงมากขึ้นของความคาดหวัง: มี.ค. เดินหุ้นสุ่ม

เกตุสมมติว่ามีหุ้นกับทรัพย์สินที่ในแต่ละวันก็ฮะ
สา 50:50 โอกาสของการไปอย่างใดอย่างหนึ่งขึ้น
หรือลงโดย $ 1, เว้นแต่หุ้นที่ 0 ในกรณีที่มันอยู่
อีก คุณเริ่มต้นด้วย $ เมตร ในแต่ละวัน
คุณสามารถซื้อหรือขายมากเท่าที่คุณต้องการจนกว่าที่ส่วนท้ายของเจ้า
ar เงินทั้งหมดของคุณจะถูกแปลงกลับไปเป็นเงินสด สิ่งที่เป็นกลยุทธ์ที่ดีที่สุดสำหรับการเพิ่มผลกำไรที่คาดหวังของคุณ

คำตอบคือว่าไม่ว่ากลยุทธ์ที่คุณเลือกอดีตของคุณ
กำไร pected ภายในสิ้นปี
0 (คือคุณคาดว่าจะจบลงด้วยจำนวนเดียวกันของ เงินโย
u เริ่มต้น) ขอพิสูจน์ว่าเป็นกรณี
.
กำหนดตัวแปรสุ่ม x


ทีจะเป็นผลที่ได้จากขั้นตอนวิธีการของเราในวัน

เสื้อ ให้
x
เป็นผลประโยชน์โดยรวมที่
สิ้นปี แล้ว
x
=
x
1

. .

x
365
.
สังเกตเห็นว่า
x
T
's สามารถขึ้นสูงขึ้นอยู่กับกลยุทธ์ของเรา เพื่อ instan
ce ถ้ากลยุทธ์ของเราคือการ
ดึงเงินของเราทั้งหมดออกจากตลาดหุ้นในขณะที่ความมั่งคั่งของเรา
เกิน $ เมตรแล้ว
x
2
ขึ้นอย่างมากในผลลัพธ์ของ x

1
กระนั้นด้วยความเป็นเชิงเส้นของความคาดหวัง,
e
[
x
] =
e
[
x
1
]
. .

e
[
x
365
]

ในที่สุดไม่ว่ากี่หุ้น

s ของหุ้นที่เราถือในเวลา
T
,
e
[
x
T
|.

s] = 0 ดังนั้นการใช้ (3.3)
สิ่งที่กระจายความน่าจะเป็นในช่วง
s
ได้เกิดจากกลยุทธ์ของเรา,
e
[
x
T
] = 0 ตั้งแต่นี้ถือสำหรับทุก


ทีเรามี e

[
x
] = 0.
การวิเคราะห์นี้สามารถทั่วไปกับกรณีของการเล่นการพนันใน "
คาสิโนยุติธรรม" ในคาสิโนธรรมมี
จำนวนของเกมที่มีแตกต่างกันของผลตอบแทน แต่แต่ละ
o ne มีคุณสมบัติที่ได้รับการคาดหวังของคุณ
สำหรับการเล่นมันเป็นศูนย์ เช่นอาจจะมี ga
ฉันที่มีความน่าจะ 99
/

100 คุณสูญเสีย แต่ด้วยความน่าจะเป็น 1
/
100 คุณชนะ 99 ครั้งเดิมพันของคุณ ในกรณีที่ไม่ว่าสิ่งที่ Stra

tegy คุณใช้สำหรับการที่เกมการเล่นและวิธีการที่จะเดิมพัน
จำนวนที่คาดหวังของเงินที่คุณจะมี
ณ สิ้นวันที่เป็นเช่นเดียวกับจำนวนเงินที่คุณได้ไปค่ะ
3.5.2 ยังวิธีการวิเคราะห์ quicksort อื่นใช้มันไปข้างหลัง
นี่คือวิธีที่จะวิเคราะห์ quicksort อื่น - ขั้นตอนวิธีการทำงาน b
ackwards ที่จริงการทำเช่นนี้
วิเคราะห์จะดีกว่าที่จะคิดว่ารุ่นของ quicksort ที่
แทนที่จะเป็นซ้ำในแต่ละขั้นตอน
หยิบถังสุ่มในสัดส่วนกับขนาดของมันในการทำงานกับ ne
XTเหตุผลที่รุ่นนี้เป็นสิ่งที่ดี
คือว่าถ้าคุณจินตนาการถึงการมอง pivots ได้รับการเลือกและ wher
อีพวกเขาจะอยู่บนแถวเรียง
พวกเขาจะมาในอย่างสมบูรณ์โดยการสุ่ม กำลังมองหาที่ algor
ithm วิ่งไปข้างหลังที่ทั่วไป
จุดในเวลานี้เรามี k

pivots (ผลิต
k
1 ถัง) และเรา "ยกเลิก" หนึ่งในตัวเลือกของเราหมุน
ที่สุ่มรวมทั้งสองถังที่อยู่ติดกัน . [pa หากิน
RT ที่นี่แสดงให้เห็นว่านี้เป็นจริง
เป็นวิธีที่ถูกต้องตามกฎหมายในการมองในสิ่งที่ตรงกันข้าม quicksort.] cos
T สำหรับการดำเนินการยกเลิกคือผลรวม
ขนาดของทั้งสองถังเข้าร่วม (ตั้งแต่นี้เป็นชา
เอ้อของการเปรียบเทียบ จำเป็นที่จะแยกพวกเขา
) สังเกตเห็นว่าสำหรับแต่ละยกเลิกการดำเนินงานถ้าคุณรวม cos
ทีเอสกว่าทุก k


หมุนเป็นไปได้ทางเลือกที่คุณนับแต่ละถังสองครั้ง (ครั้งเดียวหรือถ้ามันเป็นซ้าย
ส่วนใหญ่หรือขวาสุด) และได้รับรวมของ
<
2
n
เนื่องจากเรามีการเลือกหนึ่งของเหล่านี้

k เป็นไปได้ที่สุ่ม

ค่าใช้จ่ายที่คาดว่าจะเป็น 2
n / k
เพื่อให้เราได้รับ


p k
2
n / k
= 2

nh n

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

3.5 เพิ่มเติมสนทนา
19
3.5 สนทนาต่อ
3.5.1 แบบดอกไม้มากกว่าของความคาดหวัง: การเดินสุ่มหุ้นมาร์
เขต
สมมติว่ามีหุ้นที่ มีคุณสมบัติที่แต่ละวัน มันฮา
s โอกาสคนละครึ่งไปทั้งค่า
หรือลง $ 1 นอกจากหุ้นอยู่ที่ 0 ซึ่งกรณีดังกล่าว อยู่
กลับ คุณเริ่มต้น ด้วย $m แต่ละวัน
คุณสามารถซื้อ หรือขายมากเท่าที่คุณต้องการ สิ้นของเย
บัญชีลูกหนี้เงินทั้งหมดจะถูกแปลงเป็น
กลับมาเป็นเงินสด อะไรคือกลยุทธ์ที่ดีที่สุดสำหรับการเพิ่มของ
คาดกำไร?
คำตอบคือไม่ว่ากลยุทธ์อะไรคุณเลือก อดีตของคุณ
pected กำไร โดยสิ้นปี
เป็น 0 (เช่น คุณคาดว่าจะจบ ด้วยจำนวนเงินเป็นยอ เดียว
u เริ่มต้น) ลองพิสูจน์ที่นี่
กรณีได้
กำหนดตัวแปรสุ่ม
X
t
จะ กำไรของอัลกอริทึมของเราในวัน
t
ให้
X
ได้กำไรทั้งหมดที่
สิ้นปี แล้ว,
X
=
X
1

โธ่

X
365
.
สังเกตที่การ
X
t
ของจะสูงขึ้น ตามกลยุทธ์ของเราได้ สำหรับ instan
ce หากกลยุทธ์ของเรา
จะดึงเงินของเราทั้งหมดออกจากตลาดหุ้นขณะที่
สมบัติของเราเกิน $m แล้ว
X
2
ขอพึ่งผลของ
X
1
กระนั้น โดยแบบดอกไม้ของความคาดหวัง,
E
[
X
] =
E
[
X
1
]
โธ่

E
[
X
365
]
.
ในที่สุด ไม่กี่หุ้น
s
ของหุ้นที่เราถือเวลา
t
,
E
[
X
t
|
s
] = 0 ดังนั้น ใช้ (3.3),
กระจายความน่าเป็นสิ่งเหนือ
s
เกิดจากกลยุทธ์ของเรา,
E
[
X
t
] = 0 ตั้งแต่นี้มีสำหรับ
ทุก
t
, เรามี
E
[
X
] = 0.
วิเคราะห์นี้สามารถตั้งค่าทั่วไปการพนันในกรณีเป็น "
คาสิโนแฟร์" ได้ ในคาสิธรรมโน มี
ของเกมกับ payoffs แต่ละ o
มุมีคุณสมบัติที่คุณ
คาดว่า กำไรในการเล่นเป็นศูนย์ เช่น อาจมี ga เป็น
ฉันที่ มีความน่าเป็น 99
/
100 คุณ
เสียแต่ ด้วยความน่าเป็น 1
/
100 คุณชนะเดิมพันของคุณ 99 ครั้ง ในกรณี ไม่ว่าอะไร stra
tegy
ใช้ สำหรับเกมที่เล่น และจำนวน การวาง เดิมพัน ที่คาด
ของคุณจะมีเงิน
ในตอนท้ายของวันเป็นเหมือนกับเงินที่ได้ไปค่ะ
3.5.2 ภาพอีกวิธีวิเคราะห์ quicksort: รันย้อนหลัง
นี่เป็นอีกวิธีในการวิเคราะห์ quicksort — รันบีอัลกอริทึม
ackwards จริง ต้อง
วิเคราะห์ กว่าคิดว่า รุ่น Quicksort ที่
แทนการซ้ำ ในแต่ละขั้นตอน
เลือกกลุ่มสุ่มสัดขนาดต้องมุ
xt เหตุผลรุ่นนี้คือดี
คือ ว่า ถ้าคุณลองนึกภาพดู pivots ที่ได้เลือกและ wher
e ก็จะได้แถวที่เรียง,
พวกเขาจะมาในทั้งหมดที่สุ่ม ดู algor
ithm ย้อนหลัง ทำงานที่ทั่วไป
ชี้ในเวลา
k
pivots (ผลิต
k
1 ถัง) และเรา "ยกเลิก" สาระสำคัญของของเรา
สุ่ม รวมกลุ่มเชื่อมต่อกันสอง [ป่าหากิน
rt นี่แสดงว่า นี้เป็นจริง
วิธีถูกต้องมองที่ Quicksort ในกลับ] Cos
t สำหรับการดำเนินการยกเลิกเป็นผล
ขนาดของถังสองร่วม (ตั้งแต่คำ numb
เอ้อ ของเปรียบเทียบต้องแยก
พวกเขา) แจ้งว่าสำหรับแต่ละยกเลิกการดำเนินงาน ถ้าคุณรวมการ cos
ts ผ่านทั้งหมด
k
สาระสำคัญได้
เลือก คุณนับกลุ่มละสองครั้ง (ครั้งเดียวถ้าเป็นด้านซ้ายหรือ
มากที่สุด หรือขวาสุด) และได้รับจำนวน
<
2
n
เนื่องจากเราได้รับหนึ่ง
k
สุ่ม การ
คาด
ต้นทุนเป็น 2
n/k
ดังนั้น เรา
รับ
P
k
2
n/k
= 2
nH
n

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

3.5 . เพิ่มเติมชุดประชุม

3.5 อีก 19 ชุดประชุม 3.5.1
ซึ่งจะช่วยเพิ่มเติมความต่อเนื่องเป็นแนวนอน,การคาดการณ์ของตลาดหลักทรัพย์ฯมี.ค.เดินแบบสุ่ม
ซึ่งจะช่วยสะเกษ
ซึ่งจะช่วยคิดว่ามีหุ้นที่พร้อมด้วยที่พักที่แต่ละวันมัน HA
S 50 : 50 ได้มีโอกาสในการไปทั้ง
หรือลงได้ด้วย$ 1 เว้นแต่หุ้นจะมีที่ 0 ในกรณีที่เป็นการเข้าพัก
ซึ่งจะช่วยให้อีกครั้ง คุณเริ่มต้นด้วย$ M แต่ละวัน
ซึ่งจะช่วยคุณสามารถซื้อหรือขายมากเท่าที่ท่านต้องการจนกว่าในช่วงปลายของท่านที่
AR เงินทั้งหมดของคุณจะถูกแปลงเป็น
กลับไปเป็นเงินสด อะไรคือกลยุทธ์ที่ดีที่สุดสำหรับการเพิ่มอัตราการขยายสัญญาณ

คาดว่าของคุณหรือไม่?คำตอบที่ได้คือไม่ว่าจะเกิดอะไรขึ้นก็ตามกลยุทธ์คุณเลือกได้เช่น
pected ของคุณในปลายปีที่
คือ 0 (นั่นคือคุณคาดหวังว่าจะสิ้นสุดลงด้วยเงินจำนวนเดียวกันเป็นลวดลาย Yo Girl
U เริ่มต้นใช้งาน) เราได้พิสูจน์แล้วว่านี้
ซึ่งจะช่วยเป็นกรณีที่.

ซึ่งจะช่วยปรับเปลี่ยนกำหนดการสุ่ม x
T
ซึ่งจะช่วยให้ได้รับของอัลกอริธึมของเราในวัน

T ปล่อยให้

xได้รับโดยรวมที่ปลาย
ของปีนี้ จากนั้น

=~ X X 1


.... ..

x 365

ซึ่งจะช่วย..

ต้องแจ้งให้ทราบล่วงหน้าว่า x

ของ T สามารถขึ้นอยู่กับระดับสูงที่ใช้กลยุทธ์ของเรา สำหรับ instan
CE หากกลยุทธ์ของเรา
ซึ่งจะช่วยเป็นการดึงเงินของเราทั้งหมดออกจากตลาดหุ้นที่ช่วงเวลาที่
ความมั่งคั่งของเรามีความยาวเกิน$ M แล้ว

x 2
ขึ้นอยู่กับอย่างมากในผลลัพธ์ของ
ซึ่งจะช่วย x 1

อย่างไรก็ตามโดยแนวนอน.การคาดการณ์ของ

E [
x
]=

E [
x


] 1 . .... ..


E [

x 365
]:
..
สุดท้าย,ไม่ว่าจำนวนมากหุ้น

S ของตลาดหลักทรัพย์ฯเราค้างไว้ที่เวลา

T ,

E [

x
T |

S ]= 0 . ดังนั้นการใช้( 3.3 )
ไม่ว่าจะเป็นไปได้มากกว่าการกระจาย

s มีผลทำให้เกิดโดยกลยุทธ์ของเรา

E [

T
ซึ่งจะช่วย x ]= 0 . นับจากนี้สำหรับ

ทุก T
ซึ่งจะช่วยเราได้

E [

x ]= 0 .
การวิเคราะห์นี้จะสามารถได้รับสิทธิพิเศษทาง ภาษี ศุลกากรเป็นกรณีที่อยู่ในการพนันใน"
ดีคาสิโน" ในคาสิโนที่มีงาน
เป็นจำนวนมากของเล่นเกมส์ที่พร้อมด้วยชนิดต่างๆของต้องการสินบนแต่ O
ทางด้านทิศตะวันออกเฉียงเหนือด้วยแต่ละห้องมีที่พักที่ได้รับ
ซึ่งจะช่วยคุณคาดไว้สำหรับการเล่นมันเป็นศูนย์ เช่นอาจจะมี, GA
ซึ่งจะช่วยให้ผมมีความเป็นไปได้ 99
/

ซึ่งจะช่วย 100 คุณต้องสูญเสียแต่มีความเป็นไปได้ร้อยละ 1
/
100 คุณชนะ 99 ครั้ง,เงินเดิมพันกองกลางของคุณ ในกรณีที่ไม่มีเรื่องอะไรไปยัง Stra

ซึ่งจะช่วย tegy คุณใช้สำหรับเกมที่จะเล่นมากน้อยเพียงใดและจะเดิมพันเท่าใดคาดว่าจำนวนเงินที่
ซึ่งจะช่วยในจำนวนเงินที่คุณจะได้รับตอบแทน
ในช่วงท้ายของวันจะเป็นชื่อเดียวกับจำนวนเงินที่คุณก็จะเข้าไปใน.
3.5.2 แต่อีกวิธีหนึ่งในการวิเคราะห์ quicksort วิ่งไปทางด้านหลัง
วิธีนี้เป็นวิธีหนึ่งในการวิเคราะห์รัน quicksort - ackwards B
อัลกอริธึมที่ จริงๆ
ซึ่งจะช่วยในการทำการวิเคราะห์นี้ก็จะยิ่งดีคิดว่าในรุ่นของ quicksort ที่
แทนที่จะเป็นการสอบถามแบบสอบถามซ้ำที่แต่ละขั้นตอน
ซึ่งจะช่วยให้สามารถรับถังเก็บฝุ่นแบบสุ่มในสัดส่วนถึงขนาดที่จะทำงานในด้านทิศตะวันออกเฉียงเหนือ
คริสต์เหตุผลที่รุ่นนี้มีความสวยงาม
คือถ้าคุณลองจินตนาการถึงเดือยที่ได้รับเลือกและ wher
อีจะได้รับที่หลากหลายที่เรียง
เข้ามาอย่างสมบรูณ์แบบในแบบสุ่ม กำลังมองหาที่ algor ที่
ithm วิ่งไปทางด้านหลังที่ทั่วไป,
ซึ่งจะช่วยจุดหนึ่งในเวลาเรามีเดือย

K (การผลิต 1 ถัง

K )และเรา"ยกเลิก"หนึ่งในทางเลือกการหมุนของเรา
ซึ่งจะช่วยในการควบรวมกิจการแบบสุ่มสองถังอยู่ติดกัน [
ตามมาตรฐานที่ยากต่อการเข้าถึงระบบเสียงประกาศสาธารณะRt ที่นี่คือการแสดงโชว์ที่โรงแรมแห่งนี้แท้จริงแล้วคือ
ที่ถูกต้องตามกฎหมายในลักษณะกำลังมองหาที่ quicksort ในทางกลับกัน.]ที่ผักกาดหวาน
T เพื่อยกเลิกการทำงานจะเป็นที่รวมของ
ซึ่งจะช่วยให้มีขนาดที่สองใช้ถังเข้าร่วม(ตั้งแต่นี้เป็นตัวชาเอร์
ซึ่งจะช่วยในการเปรียบเทียบความจำเป็นในการแยก
ซึ่งจะช่วยให้พวกเขา) ต้องแจ้งให้ทราบล่วงหน้าว่าการยกเลิกการทำงานแต่ละครั้งหากคุณจำนวนผักกาดหวาน
เซิร์ฟเวอร์ Telephony ( TS )จะมากกว่าทางเลือก หมุน

K
เป็นไปได้ทั้งหมดที่คุณไว้วางใจถังเก็บฝุ่นแต่ละครั้งสองครั้ง(หรือเมื่อหากเป็นด้านซ้าย
มากที่สุดหรือเคเบิ้ล Main power )และรับรวม
<

N 2
นับตั้งแต่ที่เราจะหยิบหนึ่งของความเป็นไปได้

K เหล่านี้ได้แบบสุ่ม

ซึ่งจะช่วยประหยัดค่าใช้จ่ายคาดว่าจะมี 2
N / K
ดังนั้นเรา

P ได้

K 2 N N / K

NH 2
n