A prime number is a natural number

A prime number is a natural number greater than 1 that has no positive divisors other than 1 and itself. A natural number greater than 1 that is not a prime number is called a composite number. For example, 5 is prime because 1 and 5 are its only positive integer factors, whereas 6 is composite because it has the divisors 2 and 3 in addition to 1 and 6. The fundamental theorem of arithmetic establishes the central role of primes in number theory: any integer greater than 1 can be expressed as a product of primes that is unique up to ordering. The uniqueness in this theorem requires excluding 1 as a prime because one can include arbitrarily many instances of 1 in any factorization, e.g., 3, 1 · 3, 1 · 1 · 3, etc. are all valid factorizations of 3.

The property of being prime (or not) is called primality. A simple but slow method of verifying the primality of a given number n is known as trial division. It consists of testing whether n is a multiple of any integer between 2 and sqrt{n}. Algorithms much more efficient than trial division have been devised to test the primality of large numbers. Particularly fast methods are available for numbers of special forms, such as Mersenne numbers. As of April 2014, the largest known prime number has 17,425,170 decimal digits.

There are infinitely many primes, as demonstrated by Euclid around 300 BC. There is no known useful formula that sets apart all of the prime numbers from composites. However, the distribution of primes, that is to say, the statistical behaviour of primes in the large, can be modelled. The first result in that direction is the prime number theorem, proven at the end of the 19th century, which says that the probability that a given, randomly chosen number n is prime is inversely proportional to its number of digits, or to the logarithm of n.

Many questions regarding prime numbers remain open, such as Goldbach's conjecture (that every even integer greater than 2 can be expressed as the sum of two primes), and the twin prime conjecture (that there are infinitely many pairs of primes whose difference is 2). Such questions spurred the development of various branches of number theory, focusing on analytic or algebraic aspects of numbers. Primes are used in several routines in information technology, such as public-key cryptography, which makes use of properties such as the difficulty of factoring large numbers into their prime factors. Prime numbers give rise to various generalizations in other mathematical domains, mainly algebra, such as prime elements and prime ideals.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

จำนวนที่สำคัญคือจำนวนธรรมชาติมากกว่า 1 ที่ไม่มีตัวหารบวกอื่น ๆ นอกเหนือจากที่ 1 และตัวเอง จำนวนธรรมชาติมากกว่า 1 ที่ไม่ได้เป็นจำนวนเฉพาะที่เรียกว่าจำนวนคอมโพสิต ยกตัวอย่างเช่น 5 เป็นสำคัญเพราะที่ 1 และ 5 เป็นปัจจัยจำนวนเต็มบวกเท่านั้นในขณะที่ 6 เป็นคอมโพสิตเพราะมันมีตัวหารที่ 2 และ 3 ที่นอกเหนือไปจาก 1 และ 6 ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิตกำหนดบทบาทสำคัญของช่วงเวลาในทฤษฎีจำนวน : จำนวนเต็มใด ๆ มากกว่า 1 สามารถแสดงเป็นผลิตภัณฑ์ของจำนวนเฉพาะที่ไม่ซ้ำกันขึ้นอยู่กับการสั่งซื้อ เอกลักษณ์ในทฤษฎีบทนี้ต้องไม่รวม 1 เป็นสำคัญเพราะสามารถรวมหลาย ๆ กรณีพล 1 ในตีนเป็ดใด ๆ เช่น 3, 1 · 3 1 1 ·· 3 ฯลฯ factorizations ที่ถูกต้องทั้งหมด 3. ทรัพย์สินของ เป็นนายก (หรือไม่) จะเรียกว่า primality วิธีการที่ง่าย แต่ช้าของการตรวจสอบ primality n ของจำนวนที่กำหนดเป็นที่รู้จักกันส่วนการพิจารณาคดี ประกอบด้วยการทดสอบว่า n คือหลายจำนวนเต็มใด ๆ ระหว่าง 2 และ sqrt {n} อัลกอริทึมประสิทธิภาพมากขึ้นกว่าส่วนการพิจารณาคดีได้รับการวางแผนที่จะทดสอบ primality จำนวนมาก วิธีการอย่างรวดเร็วโดยเฉพาะอย่างยิ่งที่มีอยู่สำหรับตัวเลขของรูปแบบพิเศษเช่นหมายเลข Mersenne เมื่อวันที่เมษายน 2014 ที่ใหญ่ที่สุดที่รู้จักกันในจำนวนที่สำคัญมี 17,425,170 ทศนิยม. มีเฉพาะหลายอย่างมากมายที่แสดงให้เห็นโดย Euclid ประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาล ไม่มีที่รู้จักกันเป็นสูตรที่มีประโยชน์ที่กำหนดออกจากกันทั้งหมดของตัวเลขที่สำคัญจากคอมโพสิต อย่างไรก็ตามการกระจายของจำนวนเฉพาะที่เป็นที่จะพูดว่าพฤติกรรมทางสถิติของจำนวนเฉพาะในขนาดใหญ่ที่สามารถสร้างแบบจำลอง ผลแรกในทิศทางที่เป็นจำนวนเฉพาะบทพิสูจน์ในตอนท้ายของศตวรรษที่ 19 ซึ่งบอกว่าน่าจะเป็นที่ได้รับจำนวน n สุ่มเลือกเป็นนายกเป็นสัดส่วนผกผันกับจำนวนของตัวเลขหรือลอการิทึมของ n. คำถามที่หลายคนเกี่ยวกับตัวเลขที่สำคัญยังคงเปิดเช่นการคาดคะเนของ Goldbach (ว่าทุกแม้จำนวนเต็มมากกว่า 2 สามารถแสดงเป็นผลรวมของสองช่วงเวลา) และคู่การคาดเดาที่สำคัญ (ว่ามีคู่หลายอย่างมากมายของช่วงเวลาที่มีความแตกต่างคือ 2) คำถามดังกล่าวกระตุ้นการพัฒนาของสาขาต่างๆของทฤษฎีจำนวนโดยมุ่งเน้นในด้านการวิเคราะห์หรือพีชคณิตของตัวเลข ช่วงเวลาที่ใช้ในการปฏิบัติในหลาย ๆ ด้านเทคโนโลยีสารสนเทศเช่นการเข้ารหัสคีย์สาธารณะซึ่งจะทำให้การใช้งานของคุณสมบัติเช่นความยากลำบากของแฟตัวเลขขนาดใหญ่เป็นปัจจัยสำคัญของพวกเขา ตัวเลขที่สำคัญก่อให้เกิดภาพรวมต่างๆในโดเมนทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ ส่วนใหญ่พีชคณิตเช่นองค์ประกอบที่สำคัญและอุดมคติที่สำคัญ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

จำนวนเฉพาะ คือ จำนวนธรรมชาติมากกว่า 1 ที่ไม่มีบวกตัวหาร นอกจาก 1 และตัวมันเอง . จำนวนธรรมชาติมากกว่า 1 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะเรียกว่าจำนวนคอมโพสิต ตัวอย่างเช่น 5 เป็นนายกเพราะ 1 และ 5 เป็นเพียงปัจจัยบวกจำนวนเต็ม ส่วน 6 ประกอบเพราะมีตัวหาร 2 และ 3 นอกจาก 1 และ 6ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิตกำหนดบทบาทของจำนวนเฉพาะในทฤษฎีจำนวน : จำนวนเต็มที่มากกว่า 1 สามารถแสดงเป็นผลิตภัณฑ์ของจำนวนเฉพาะที่เป็นเอกลักษณ์เพื่อการสั่งซื้อ เอกลักษณ์ในทฤษฎีบทนี้ต้องรวม 1 เป็นนายกรัฐมนตรี เพราะสามารถรวมหลายอินสแตนซ์ของ 1 ในใด ๆโดยพลการ เช่น ด้วย 3 1 3 1 3 1 ด้วยด้วย ฯลฯเป็น factorizations ถูกต้องทั้งหมด 3

คุณสมบัติของการเป็นนายก ( หรือเปล่า ) เรียกว่า primality . เรียบง่าย แต่ ช้า วิธีการตรวจสอบ primality ของจำนวน n เรียกว่ากองคดี มันประกอบด้วยการทดสอบว่า n เป็นจำนวนเต็มใด ๆหลายของระหว่าง 2 และ SQRT { n } ขั้นตอนวิธีที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นกว่าที่กองคดีได้รับการวางแผนเพื่อทดสอบ primality ของตัวเลขขนาดใหญ่โดยเฉพาะวิธีการที่รวดเร็วจะสามารถใช้ได้สำหรับจำนวนของรูปแบบพิเศษ เช่น ตัวเลข แมร์แซน . เมื่อวันที่เมษายน 2014 , จำนวนแคทาแลนได้ 17425170 ตัวเลขทศนิยม .

มีเพียบหลายรูปแบบ ดังที่แสดงโดยยุคลิดก่อนคริสต์ศักราชประมาณ 300 ไม่มีสูตรที่รู้จักกันเป็นชุดแยกทั้งหมดของจำนวนเฉพาะจากคอมโพสิต อย่างไรก็ตาม การกระจายตัวของจำนวนเฉพาะ กล่าวคือสถิติพฤติกรรมของจำนวนเฉพาะในขนาดใหญ่ สามารถจำลอง . ผลแรกในทิศทางที่เป็นทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ พิสูจน์ ในตอนท้ายของศตวรรษที่ 19 ซึ่งกล่าวว่า โอกาสที่ได้รับ สุ่มเลือกหมายเลข n เป็นจำนวนเฉพาะจะแปรผกผันกับจำนวนของตัวเลข หรือค่าลอการิทึมของ N .

หลายคำถามเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะยังคงเปิดเช่น ข้อความคาดการณ์ของโกลด์บาค ( ทุกแม้จำนวนเต็มมากกว่า 2 สามารถแสดงเป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะสอง ) และข้อความคาดการณ์จำนวนเฉพาะคู่ ( มีเพียบหลายคู่ของจำนวนเฉพาะที่มีความแตกต่าง 2 ) คำถามกระตุ้นการพัฒนาของสาขาต่างๆของทฤษฎีตัวเลข เน้นด้านการวิเคราะห์หรือพีชคณิตของจำนวนจำนวนเฉพาะใช้หลายกิจวัตรเทคโนโลยีสารสนเทศ เช่น การเข้ารหัสคีย์สาธารณะ ซึ่งทำให้การใช้คุณสมบัติ เช่น ความยากง่ายของตัวเลขขนาดใหญ่ของนายกรัฐมนตรีจากปัจจัย จำนวนเฉพาะให้ขึ้นทั่วไปต่าง ๆ ในทางคณิตศาสตร์อื่น ๆโดเมนหลักพีชคณิต เช่น องค์ประกอบของนายกรัฐมนตรีและนายกรัฐมนตรี
อุดมคติ