In a given triangle to inscribe a c

In a given triangle to inscribe a circle. Let ABC be the given triangle; thus it is required to inscribe a circle in the triangle ABC. Let the angles ABC, ACB be bisected by the straight lines BD, CD [I. 9], and let these meet one another at the point D; from D let DE, DF, DG be drawn perpendicular to the straight lines AB, BC, CA. Now, since the angle ABD is equal to the angle CBD, and the right angle BED is also equal to the right angle BFD, EBD, FBD are two triangles having two angles equal to two angles and one side equal to one side, namely that subtending one of the equal angles, which is BD common to the triangles; therefore they will also have the remaining sides equal to the remaining sides; [I. 26] therefore DE is equal to DF. For the same reason DG is also equal to DF. Therefore the three straight lines DE, DF, DG are equal to one another; therefore the circle described with centre D and distance one of the straight lines DE, DF, DG will pass also through the remaining points, and will touch the straight lines AB, BC, CA, because the angles at the points E, F, G are right. For, if it cuts them, the straight line drawn at right angles to the diameter of the circle from its extremity will be found to fall within the circle : which was proved absurd; [III. 16] therefore the circle described with centre D and distance one of the straight lines DE, DF, DG will not cut the straight lines AB, BC, CA; therefore it will touch them, and will be the circle inscribed in the triangle ABC. [IV. Def. 5] Let it be inscribed, as FGE.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ในรูปสามเหลี่ยมที่กำหนดเกษียนเป็นวงกลม ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมที่กำหนด ดังนั้น มันจะต้องจารึกเป็นวงกลมในสามเหลี่ยม ABC ให้มุม ABC, ACB จะ bisected โดยเส้นตรง BD, CD [I. 9], และให้เหล่านี้พบกันที่จุด D จาก D ให้ DE, DF, DG จะวาดตั้งฉากกับเส้นตรง AB, BC, CA ตอนนี้ ตั้งแต่มุมชิวชิวจะเท่ากับมุม CBD และมุมเตียงเท่ากับมุมขวา BFD, EBD, FBD จะสองสามเหลี่ยมที่มีมุมเท่ากับสองมุมและด้านเท่ากันไปข้างหนึ่ง คือว่า subtending หนึ่งมุมเท่า ซึ่งเป็น BD ทั่วไปของสามเหลี่ยม หนึ่งสอง ดังนั้น จะมีด้านที่เหลือเท่ากับด้านที่เหลือ [I. 26] ดังนั้น DE ได้เท่ากับ DF เหตุผลเดียวกัน DG ก็เท่ากับ DF ดังนั้น เส้นสามเส้นตรง DE, DF, DG จะเท่ากับคนอื่น ดังนั้น วงกลมอธิบายด้วยศูนย์ D และระยะทางของเส้นตรง DE, DF, DG จะผ่านยังจุดเหลือ และจะสัมผัสกับเส้นตรง AB, BC, CA เนื่องจากอยู่ในมุมที่จุด E, F, G ถ้ามันตัดพวกเขา เส้นตรงที่ลากที่มุมขวาเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมจากปลายของมันจะพบจะตกอยู่ในวงกลม: ซึ่งถูกพิสูจน์แล้วว่าไร้สาระ [III. 16] ดังนั้นวงกลมอธิบายศูนย์ D และระยะหนึ่งของเส้นตรง DE, DF, DG จะไม่ตัดกับเส้นตรง AB, BC, CA ดังนั้น มันจะสัมผัสพวกเขา และจะมีวงกลมจารึกในสามเหลี่ยม ABC [IV. เริ่มต้น 5] ปล่อยให้มันถูกจารึกไว้ เป็น FGE

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ในรูปสามเหลี่ยมได้รับการจารึกเป็นวงกลม ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยม; ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีการจารึกวงกลมในรูปสามเหลี่ยม ABC ให้มุม ABC, ACB ถูกแบ่งโดยเส้นตรง BD, CD [ I. 9] และปล่อยให้เหล่านี้พบกันที่จุด D; จาก D ให้ DE, DF, DG ถูกดึงตั้งฉากกับเส้นตรง AB, BC, แคลิฟอร์เนีย ตอนนี้ตั้งแต่มุมอับดุลเท่ากับมุม CBD และเตียงมุมขวายังจะเท่ากับมุมขวา BFD, EBD, FBD เป็นรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีสองมุมเท่ากับสองมุมและด้านหนึ่งเท่ากับไปอีกด้านหนึ่งคือว่า subtending หนึ่งในมุมเท่ากันซึ่งเป็นเรื่องธรรมดาที่จะ BD สามเหลี่ยม; ดังนั้นพวกเขายังจะมีด้านที่เหลือเท่ากับส่วนที่เหลืออีกข้าง; [ผม. 26] ดังนั้น DE เท่ากับ DF ด้วยเหตุผลเดียวกัน DG ยังเท่ากับ DF ดังนั้นสามเส้นตรง DE, DF, DG มีค่าเท่ากันกับอีกคนหนึ่ง; จึงวงกลมอธิบายด้วย D ศูนย์และระยะทางหนึ่งในสายตรง DE, DF, DG จะผ่านยังผ่านจุดที่เหลือและจะสัมผัสเส้นตรง AB, BC, CA เพราะมุมที่จุด E, F, G ที่ มีสิทธิ เพราะถ้ามันตัดพวกเขาวาดเส้นตรงที่มุมขวาเส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลมจากปลายของมันจะถูกพบอยู่ภายในวงกลม: ซึ่งได้รับการพิสูจน์แล้วว่าไร้สาระ; [III 16] ดังนั้นวงกลมอธิบายด้วย D ศูนย์และระยะทางหนึ่งในสายตรง DE, DF, DG จะไม่ตัดเส้นตรง AB, BC, แคลิฟอร์เนีย; จึงจะสัมผัสพวกเขาและจะเป็นวงกลมจารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยม ABC [IV def 5] ปล่อยให้มันถูกจารึกไว้เป็น FGE

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ในสามเหลี่ยมจารึกไว้เป็นวงกลม ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมที่กำหนด จึงจะต้องจารึกเป็นวงกลมในสามเหลี่ยม ABC ให้มุม ABC , ACB เป็นเปอร์เซ็นต์โดย BD เส้นตรง CD [ 9 ] และฉัน , ขอให้ได้พบกันที่จุด D ; D DG DF ให้ de , วาดตั้งฉากกับเส้นตรง AB , BC , CA ตั้งแต่มุม ABD จะเท่ากับมุม CBD , และเตียง มุมขวาก็เท่ากับ bfd มุมขวา EBD FBD เป็นสามเหลี่ยมมีสองมุม เท่ากับสองมุมและด้านหนึ่งเท่ากับหนึ่ง ได้แก่ ที่ลงมาหนึ่งของมุมที่เท่ากัน ซึ่งเป็น BD ทั่วไปสามเหลี่ยม ดังนั้น พวกเขายังจะมีที่เหลือด้านข้างเท่ากับด้าน ที่เหลือ ; [ . 26 ] ดังนั้น เดอ เท่ากับเส้นใย สำหรับเหตุผลเดียวกันก็เท่ากับ DG DF . ดังนั้นสามเส้นตรง de ผลผลิต DG จะเท่ากับหนึ่งอื่น ดังนั้น วงกลมไว้กับศูนย์ D และระยะทางหนึ่งของเส้นตรง de ผลผลิต DG จะผ่านก็ผ่านจุดที่เหลือ และ จะสัมผัสกับเส้นตรง AB , BC , CA เพราะมุมที่จุด E , F , G จะถูก เพราะถ้ามันตัดให้ตรงเส้นขีดที่มุมขวาเพื่อเส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลมจากส่วนปลาย จะพบอยู่ภายในวงกลม : ซึ่งพิสูจน์แล้วว่าไร้สาระ ; [ 3 ] ดังนั้น วงกลมอธิบายด้วย 16 ศูนย์ D และระยะทางหนึ่งของเส้นตรง de ผลผลิต DG จะไม่ตัด เส้นตรง AB , BC , CA ; จึงจะสัมผัสได้ และจะเป็นวงกลมสลักในสามเหลี่ยม ABC [ IV Sample 5 ] ให้มันถูกจารึกไว้เป็น fge .