บทที่ 2เอกสารที่เกี่ยวข้อง ในการศึก

บทที่ 2
เอกสารที่เกี่ยวข้อง

ในการศึกษาโครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง “รากอนันต์ถอดได้ ง่ายนิดเดียว” ผู้จัดทำได้ศึกษาและรวบรวมแนวคิดต่างๆ จากเอกสารที่เกี่ยวข้องกับเนื้อหาของโครงงาน ดังต่อไปนี้
1. สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง
1.1 หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ 1.2 การพิสูจน์แบบอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
1.3 สมบัติของเลขยกกำลัง 1.4 รากที่ n
1.5 รากอนันต์ 1.6 สมการพหุนาม
1.7 ลำดับและอนุกรม
2. ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์
1. สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง
1.1 หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
ในการศึกษาคณิตศาสตร์นั้น บางครั้ง จะพบแบบรูปที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเต็ม เช่น จากการสังเกตผลบวกของจำนวนคี่
1 = 1 = 12
1 + 3 = 4 = 22
1 + 3 + 5 = 9 = 32

แล้วทำนายแบบรูปทั่วไปว่า 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2 ซึ่งเราจะเรียกข้อความนี้ว่าข้อความคาดการณ์ (Conjecture) เราไม่สามารถทราบได้ว่า รูปแบบที่เราได้กำหนดมาเป็นจริงหรือเท็จ หากเราตรวจสอบโดย การแทนจำนวนเต็มเข้าไปทั้งหมดจะไม่สามารถทำได้ เพราะอาจมีกรณีใดกรณีหนึ่งที่ทำให้ข้อความคาดการณ์นี้เป็นเท็จซึ่งเราจะต้องเสียเวลาในการแทนค่า กว่าที่จะหากรณีที่จะให้เป็นเท็จได้ ซึ่งเราจะใช้หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ เป็นสัจพจน์ของเอปาโน (Peano Postulates) ข้อที่ 5 ซึ่งกล่าวว่า
ถ้า S เป็นเซตย่อยใด ๆ ของเซตของจำนวนนับ ซึ่งมีสมบัติดังนี้
1. 1 S 2.
1.2 การพิสูจน์โดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
นิยาม กำหนดให้ N เป็นจำนวนเต็มบวก สำหรับ n∈ N และ P(n) เป็นข้อความในพจน์ของ n
P (1) เป็นจริง
ถ้า P (k) เป็นจริงแล้ว P (k+1) เป็นจริง แล้ว P(n) เป็นจริงทุกค่า n ∈ N
ในการพิสูจน์ข้อความ : สำหรับจำนวนนับ n ใดๆ P(n) เป็นจริง ซึ่งเขียนอยู่ในรูปสัญลักษณ์
เมื่อ P(n) คือ ข้อความที่เกี่ยวกับ n และ N แทนเซตของจำนวนนับ นั่นคือ N = { 1 , 2 , 3 , … }
สรุปได้ว่าการพิสูจน์ข้อความในแบบ โดยใช้หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์เราจะต้องแสดง 2 ขั้นตอน คือ
1. แสดงว่า P (1) เป็นจริง (ขั้นตอนนี้เรียกว่า ขั้นฐานหลัก (basic step)
2. แสดงว่า เป็นจริง (ขั้นตอนนี้เรียกว่าขั้นตอนอุปนัย) (induction step)
ตัวอย่างที่ 1 จงใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์พิสูจน์ว่า 1 + 2 + 3 + … + n = สำหรับจำนวนเต็มบวก n ใดๆ
วิธีทำ ให้ P (n) แทนข้อความ 1 + 2 + 3 + … + n = …… (1)
จะแสดงว่า P (1) เป็นจริง 1 =
1 = 1
เพราะฉะนั้น P (1) เป็นจริง
จะพิสูจน์ว่าถ้า P (k) เป็นจริงแล้ว P (k+1) จะเป็นจริงด้วย
ให้ P (k) เป็นจริง 1+2+3+ …+ k = ...…. (2)
จะแสดงว่า P (k+1) เป็นจริงนั่น คือ
1+2+3+ …+ k + (k+1) =
จาก (2) บวกด้วย (k+1) ทั้งสองข้างจะได้ว่า
1+2+3+ …+ k + (k+1) = + (k+1)
=
=
ดังนั้น ถ้า P(k) เป็นจริงแล้ว P(k+1) เป็นจริงด้วยจาก (1) และ (2) โดยวิธีอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
สรุปได้ว่า P(n) เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนเต็มบวก
หมายเหตุ (1) เรียกว่า ขั้นตอนฐานหลักและ (2) เรียกว่า ขั้นตอนอุปนัย
สรุปจากขั้นที่ 1 เราทราบว่า ข้อความคาดการณ์นี้เป็นจริง สำหรับค่า n = 1 และ จากขั้นที่ 2 เราทราบว่าต่อไปอีกว่า ถ้าข้อความคาดการณ์นี้จะเป็นจริง สำหรับค่า n = 1 + 1 = 2 ด้วย ทำนองเดียวกัน ก็จะเป็นจริงสำหรับ n = 2 + 1 = 3
และไปเรื่อยๆ นั่นคือ ถ้าขั้นตอน P(k + 1) เป็นเท็จ จะทำให้ข้อความอื่นๆ เท็จตามไปด้วย

1.3 สมบัติของเลขยกกำลัง
เลขยกกำลัง คือ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างหนึ่งเขียนอยู่ในรูป ซึ่งประกอบด้วยสองจำนวน คือ ฐาน a และเลขชี้กำลัง (หรือกำลัง) n การยกกำลังมีความหมายเหมือนการคูณซ้ำๆ กัน คือ a คูณกันเป็นจำนวน n ตัว เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก เช่น


n ตัว
โดยปกติเลขชี้กำลังจะแสดงเป็นตัวยกอยู่ด้านขวาของฐานจำนวน an อ่านว่า a ยกกำลัง n



ถ้า a เป็นจำนวนใด ๆ m และ n เป็นจำนวนเต็มบวกแล้ว
1. (am)(an) = am + n 2. (am)n = amn
3. = am – n
4. a0 = 1
5. a-m =
6. (ab)n = anbn
1.4 รากที่ n
บทนิยาม ถ้า a และ x เป็นจำนวนจริง และ n เป็นจำนวนเต็มบวก ที่มีค่ามากกว่า 1 และ x จะเป็น
รากที่ n ของ a ก็ต่อเมื่อ xn = a
จำนวนจริงที่เป็นรากที่ n ของ a อาจจะมีได้หลายค่า แต่จะมีจำนวนจริงจำนวนหนึ่ง ซึ่งเราเรียกว่า จำนวนจริงหลักของรากที่ n ของ a และเขียนด้วยสัญลักษณ์
ถ้า a เป็นจำนวนจริง และ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า 1 แล้ว จะมีความหมาย ดังนี้
ตารางที่ 1 ตารางแสดงการหาค่ารากที่ n เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ
n a > 0 a < 0 a = 0
จำนวนคู่ คือ รากที่ n
ที่เป็นบวกของ a ไม่เป็นจำนวนจริง
= 0

จำนวนคี่ คือ รากที่ n
ที่เป็นบวกของ a คือ รากที่ n
ที่เป็นลบของ a = 0


คือ รากที่ n ที่เป็นบวกของ a อ่านว่า กรณฑ์ที่ n ของ a หรือ ค่าหลักของ รากที่ n ของ a และเครื่องหมาย เรียกว่า เครื่องหมายกรณฑ์ เรียก n ว่า ลำดับหรือดัชนีของ กรณฑ์
ถ้า n เท่ากับสอง แล้วเขียน แทน

1.5 รากอนันต์
รากอนันต์มีลักษณะเป็นการติดค่ารากซ้อนกันไปแบบไม่รู้จบ รูปแบบของโจทย์ที่เป็นรากอนันต์ มี ดังนี้
รูปแบบที่ 1 การหารากอนันต์ของ
รูปแบบที่ 2 การหารากอนันต์ของ
รูปแบบที่ 3 การหารากอนันต์ของ
รูปแบบที่ 4 การหารากอนันต์ของ
รูปแบบที่ 5 การหารากอนันต์ของ
รูปแบบที่ 6 การหารากอนันต์ของ
รูปแบบที่ 7 การหารากอนันต์ในรูปแบบของสมการ
รูปแบบที่ 8 การหารากอนันต์ในรูปแบบของสมการ


1.6 สมการพหุนาม (Polynomial Equations)
พหุนาม คือ นิพจน์ที่สามารถเขียนในรูปเอกนามหรือผลบวกของเอกนามตั้งแต่ 2 เอกนามขึ้นไป สำหรับสมการพหุนามกำลังสองที่แยกตัวประกอบไม่ได้ สามารถใช้สูตรได้ดังนี้
สมมติว่าโจทย์ คือ ax2 + bx + c = 0 คำตอบของสมการคือ
ตัวอย่าง จงแก้สมการพหุนาม x2 + 10x + 6 = 0
วิธีทำ จากสูตร
พบว่า a = 1 , b = 1 , c = 6



x
ดังนั้น คำตอบของสมการ คือ และ
1.7 ลำดับและอนุกรม
ลำดับ (Sequence) นิยามของลำดับ คือ ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก n ตัวแรก ซึ่งเรียกว่า ลำดับจำกัด ลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก เรียกว่า ลำดับอนันต์
ลำดับเลขคณิต (Arithmetic Sequence) ถ้า a1 , a2 , a3 , …, an , an + 1 เป็นจำนวนจริงที่เรียงกันเป็นลำดับเลขคณิตแล้ว จะมีสมบัติว่า a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = … = an+1 – an = d เมื่อ d เป็นค่าคงตัว เรียก d ว่า “ผลต่างร่วม” พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต an = a1 + (n

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

บทที่ 2เอกสารที่เกี่ยวข้อง ในการศึกษาโครงงานคณิตศาสตร์เรื่อง "รากอนันต์ถอดได้ง่ายนิดเดียว" ผู้จัดทำได้ศึกษาและรวบรวมแนวคิดต่าง ๆ จากเอกสารที่เกี่ยวข้องกับเนื้อหาของโครงงานดังต่อไปนี้ 1. สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องการพิสูจน์แบบอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ 1.1 หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ 1.2N 1.4 รากที่ 1.3 สมบัติของเลขยกกำลังสมการพหุนาม 1.5 รากอนันต์ 1.61.7 ลำดับและอนุกรม 2. ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์1. สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง1.1 หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ ในการศึกษาคณิตศาสตร์นั้นบางครั้งจะพบแบบรูปที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเต็มเช่นจากการสังเกตผลบวกของจำนวนคี่ 1 = 1 = 12 1 + 3 = 4 = 22 1 + 3 + 5 = 9 = 32 แล้วทำนายแบบรูปทั่วไปว่า 1 + 3 + 5 +... + (2n – 1) = n2 (ข้อความคาดการณ์) ซึ่งเราจะเรียกข้อความนี้ว่าข้อความคาดการณ์เราไม่สามารถทราบได้ว่ารูปแบบที่เราได้กำหนดมาเป็นจริงหรือเท็จหากเราตรวจสอบโดยการแทนจำนวนเต็มเข้าไปทั้งหมดจะไม่สามารถทำได้เพราะอาจมีกรณีใดกรณีหนึ่งที่ทำให้ข้อความคาดการณ์นี้เป็นเท็จซึ่งเราจะต้องเสียเวลาในการแทนค่ากว่าที่จะหากรณีที่จะให้เป็นเท็จได้ซึ่งเราจะใช้หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์เป็นสัจพจน์ของเอปาโน (Peano Postulates) ข้อที่ 5 ซึ่งกล่าวว่า ถ้า S เป็นเซตย่อยใดๆ ของเซตของจำนวนนับซึ่งมีสมบัติดังนี้ 1. 1 S 2 1.2 การพิสูจน์โดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ นิยามกำหนดให้ N เป็นจำนวนเต็มบวกสำหรับ n∈ N และ P(n) เป็นข้อความในพจน์ของ n เป็นจริง P (1) ถ้า P (k) เป็นจริงแล้ว P (k + 1) เป็นจริงแล้ว P(n) เป็นจริงทุกค่า n ∈ N ในการพิสูจน์ข้อความ: สำหรับจำนวนนับ n ใด ๆ P(n) เป็นจริงซึ่งเขียนอยู่ในรูปสัญลักษณ์ เมื่อ P(n) คือข้อความที่เกี่ยวกับ n และ N แทนเซตของจำนวนนับนั่นคือ N = {1, 2, 3,...} สรุปได้ว่าการพิสูจน์ข้อความในแบบโดยใช้หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์เราจะต้องแสดง 2 ขั้นตอนคือ 1. แสดงว่า P (1) เป็นจริง (ขั้นฐานหลักขั้นตอนนี้เรียกว่า (ขั้นพื้นฐาน) 2. แสดงว่าเป็นจริง (ขั้นตอนนี้เรียกว่าขั้นตอนอุปนัย) (ขั้นตอนการเหนี่ยวนำ)ตัวอย่างที่ 1 จงใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์พิสูจน์ว่า 1 + 2 + 3 +... + n =สำหรับจำนวนเต็มบวก n ใด ๆ วิธีทำให้ P (n) แทนข้อความ 1 + 2 + 3 +... + n =... (1) เป็นจริงจะแสดงว่า P (1) 1 = 1 = 1 เพราะฉะนั้นเป็นจริง P (1) เป็นจริงแล้วจะพิสูจน์ว่าถ้า P (k) P (k + 1) จะเป็นจริงด้วย ให้ P (k) เป็นจริง 1 + 2 + 3 +... + k =... (2) จะแสดงว่า P (k + 1) เป็นจริงนั่นคือ 1 + 2 + 3 +... + k (k + 1) = จาก (2) บวกด้วย (k + 1) ทั้งสองข้างจะได้ว่า 1 + 2 + 3 +... + k (k + 1) = (k + 1) = = ดังนั้นถ้า P(k) เป็นจริงแล้ว P(k+1) เป็นจริงด้วยจาก (1) และ (2) โดยวิธีอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ สรุปได้ว่า P(n) เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนเต็มบวก หมายเหตุ (1) เรียกว่าขั้นตอนฐานหลักและ (2) เรียกว่าขั้นตอนอุปนัย สรุปจากขั้นที่ 1 เราทราบว่าข้อความคาดการณ์นี้เป็นจริงสำหรับค่า n = 1 และจากขั้นที่ 2 เราทราบว่าต่อไปอีกว่าถ้าข้อความคาดการณ์นี้จะเป็นจริงสำหรับค่า n = 1 + 1 = 2 ด้วยทำนองเดียวกันก็จะเป็นจริงสำหรับ n = 2 + 1 = 3 และไปเรื่อย ๆ นั่นคือถ้าขั้นตอน P (k + 1) เป็นเท็จจะทำให้ข้อความอื่น ๆ เท็จตามไปด้วย1.3 สมบัติของเลขยกกำลังเลขยกกำลังคือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างหนึ่งเขียนอยู่ในรูปซึ่งประกอบด้วยสองจำนวนคือฐาน n และเลขชี้กำลัง (หรือกำลัง) การยกกำลังมีความหมายเหมือนการคูณซ้ำ ๆ กันคือคูณกันเป็นจำนวน n ตัวเมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกเช่น n ตัว โดยปกติเลขชี้กำลังจะแสดงเป็นตัวยกอยู่ด้านขวาของฐานจำนวนที่อ่านว่ายกกำลัง n ถ้าเป็นจำนวนใดๆ m และ n เป็นจำนวนเต็มบวกแล้ว1. (am)(an) = am + n 2 (am) n = amn 3. = am – n 4. a0 = 15. a-m = 6. (ab) n = anbn1.4 รากที่ nถ้าบทนิยามการและ x เป็นจำนวนจริง และ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า 1 และ x จะเป็น รากที่ n นั้น ๆ เป็นก็ต่อเมื่อ xn =มี นั้น ๆ นั้น ๆ n อาจจะมีได้หลายค่าแต่จะมีจำนวนจริงจำนวนหนึ่งซึ่งเราเรียกว่าจำนวนจริงหลักของรากที่ n จำนวนจริงที่เป็นรากที่ a และเขียนด้วยสัญลักษณ์ ถ้าเป็นจำนวนจริงและ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า 1 แล้วจะมีความหมายดังนี้ตารางที่ 1 ตารางแสดงการหาค่ารากที่ n เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆn > 0 < 0 เป็น = 0 จำนวนคู่คือรากที่ n ที่เป็นบวกของเป็นไม่เป็นจำนวนจริง = 0จำนวนคี่คือรากที่ n ที่เป็นบวกของคือรากที่ n ที่เป็นลบของเป็น = 0 คือรากที่ n ที่เป็นบวกของอ่านว่ากรณฑ์ที่ n นั้น ๆ หรือค่าหลักของรากที่ n นั้น ๆ และเครื่องหมายเรียกว่าเครื่องหมายกรณฑ์เรียก n ว่าลำดับหรือดัชนีของกรณฑ์ ถ้า n เท่ากับสองแล้วเขียนแทน 1.5 รากอนันต์รากอนันต์มีลักษณะเป็นการติดค่ารากซ้อนกันไปแบบไม่รู้จบรูปแบบของโจทย์ที่เป็นรากอนันต์มีดังนี้การหารากอนันต์ของรูปแบบที่ 1 การหารากอนันต์ของรูปแบบที่ 2 การหารากอนันต์ของรูปแบบที่ 3 การหารากอนันต์ของรูปแบบที่ 4 รูปแบบที่ 5 การหารากอนันต์ของ รูปแบบที่ 6 การหารากอนันต์ของ การหารากอนันต์ในรูปแบบของสมการรูปแบบที่ 7 การหารากอนันต์ในรูปแบบของสมการรูปแบบที่ 8 สมการพหุนาม 1.6 (สมการพหุนาม) พหุนามคือนิพจน์ที่สามารถเขียนในรูปเอกนามหรือผลบวกของเอกนามตั้งแต่ 2 เอกนามขึ้นไปสำหรับสมการพหุนามกำลังสองที่แยกตัวประกอบไม่ได้สามารถใช้สูตรได้ดังนี้ สมมติว่าโจทย์คือ ax2 + bx + c = 0 คำตอบของสมการคือ จงแก้สมการพหุนามตัวอย่าง x2 + 10 x + 6 = 0 วิธีทำจากสูตร พบว่า = 1, b = 1, c = 6 x ดังนั้นคำตอบของสมการคือและ 1.7 ลำดับและอนุกรมลำดับ (ลำดับ) นิยามของลำดับคือฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก n ตัวแรกซึ่งเรียกว่าลำดับจำกัดลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวกเรียกว่าลำดับอนันต์ ลำดับเลขคณิต (ลำดับเลขคณิต) ถ้า a1, a2, a3,...,,การ + 1 เป็นจำนวนจริงที่เรียงกันเป็นลำดับเลขคณิตแล้วจะมีสมบัติว่า a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 =... =การ + 1 – การ = d เมื่อ d เป็นค่าคงตัวเรียก d ว่า "ผลต่างร่วม" พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตการ = a1 + (n

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

บทที่ เรื่อง "รากอนันต์ถอดได้ง่ายนิดเดียว" ดังต่อไปนี้1 หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ 1.2 สมบัติของเลขยกกำลัง 1.4 รากที่ n 1.5 รากอนันต์ 1.6 สมการพหุนาม1.7 ลำดับและอนุกรม2 ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์1 บางครั้ง เช่นจากการสังเกตผลบวกของจำนวน คี่ 1 = 1 = 12 1 + 3 = 4 = 22 1 + 3 + 5 = 9 = 32 แล้วทำนายแบบรูปทั่วไปว่า 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = N2 (คาดการณ์) เราไม่สามารถทราบได้ว่า หากเราตรวจสอบโดย เป็นสัจพจน์ของเอปาโน (อาโน่สมมุติฐาน) ข้อที่ 5 กล่าวว่าได้ซึ่งถ้า S เป็นเซตย่อยใด ๆ ของเซตของ จำนวนนับซึ่งมีสมบัติดังนี้ 1 1 วินาที 2. 1.2 กำหนดให้ N เป็นจำนวนเต็มบวกสำหรับn∈ N และ P (n) เป็นข้อความในพจน์ของ n P (1) เป็นจริงถ้า P (k) เป็นจริงแล้ว P (k + 1) เป็นจริงแล้ว P (n) เป็นจริง ทุกค่า n ∈ n ในการพิสูจน์ข้อความ: สำหรับจำนวนนับ n ใด ๆ P (n) เป็นจริงซึ่งเขียนขณะนี้ในห้างหุ้นส่วนจำกัดรูปสัญลักษณ์เมื่อ P (n) คือข้อความที่เกี่ยวกับ n และ n แทนเซตของจำนวนนับนั่นคือ n = {1 , 2, 3, ... } สรุปได้ว่าการพิสูจน์ข้อความในแบบ 2 ขั้นตอนคือ1 แสดงว่า P (1) เป็นจริง (ขั้นตอนนี้เรียกว่าขั้นฐานหลัก (ขั้นพื้นฐาน) 2. แสดงว่าเป็นจริง (ขั้นตอนนี้เรียกว่าขั้นตอนอุปนัย) (ขั้นตอนการเหนี่ยวนำ) ตัวอย่างที่ 1 1 + 2 + 3 + ... + n = สำหรับจำนวนเต็มบวก n ๆ ใดวิธีทำให้ P (n) แทนข้อความ 1 + 2 + 3 + ... + n = ...... (1) จะแสดงว่า P (1) เป็นจริง 1 = 1 = 1 เพราะฉะนั้น P (1) เป็นจริงจะพิสูจน์ว่าได้ถ้า P (k) เป็นจริงแล้ว P (k + 1) เป็นจริงจะด้วยให้ P (k) เป็นจริง 1 + 2 + 3 + ... + K = .. ... . (2) จะแสดงว่า P (k + 1) เป็นจริงนั่นคือ1 + 2 + 3 + ... + K + (k + 1) = จาก (2) บวกด้วย (k + 1) ทั้งสองข้าง จะได้ว่า1 + 2 + 3 + ... + K + (k + 1) + = (k + 1) = = ดังนั้นถ้า P (k) เป็นจริงแล้ว P (k + 1) เป็นจริงด้วยจาก (1) และ (2) P (n) (1) เรียกว่าขั้นตอนฐานหลักและ (2) เรียกว่าได้ขั้นตอนอุปนัยสรุปจากเนชั่ขั้นที่ 1 เราทราบว่าข้อความคาดการณ์นี้เป็น จริงสำหรับค่า n = 1 และจากขั้นที่ 2 เราทราบว่าต่อไปอีกว่าถ้า ข้อความคาดการณ์นี้จะเป็นจริงสำหรับ ค่า n = 1 + 1 = 2 ด้วยทำนองเดียวกันก็จะเป็นจริงสำหรับ n = 2 + 1 = 3 และไปเรื่อย ๆ นั่นคือถ้าขั้น ตอน P (k + 1) เป็นเท็จจะทำให้ ข้อความอื่น ๆ เท็จตามไปด้วย1.3 ของเลขสมบัติยกกำลังเลขยกกำลังคือ ซึ่งประกอบด้วยสองจำนวนคือฐานและเลขชี้กำลัง (หรือกำลัง) n กันคือคูณกันเป็นจำนวน n ตัวเมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกเช่นn อ่านว่ายกกำลัง n ถ้าเป็นจำนวนใด ๆ M และ n เป็นจำนวนเต็มบวกแล้ว1. (AM) (เป็น) = น n + 2 (AM) n = AMN 3. = am - n 4. A0 = 1 5. น = 6 (AB) n = anbn 1.4 รากที่ n บทนิยามถ้าและ x เป็นจำนวนจริงและ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า 1 และ x เป็นจะรากที่ n ของก็ต่อเมื่อ xn = จำนวนจริงที่เป็นรากที่ n ของอาจจะมีได้หลายค่า แต่จะ มีจำนวนจริงจำนวนหนึ่งซึ่งเราเรียกว่าจำนวนจริงหลักของรากที่ n ของและเขียนด้วยสัญลักษณ์ถ้าเป็นจำนวนจริงและ n เป็นจำนวนเต็มบวก ที่มีค่ามากกว่า 1 แล้วจะมีความสามารถหมายดังนี้ตารางที่ 1 ตารางแสดงการหาค่ารากที่ n เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆna> 0 <0 = 0 จำนวนคู่คือรากที่ n ที่เป็นบวกของไม่ เป็นจำนวนจริง= 0 จำนวนคี่คือรากที่ n ที่เป็นบวกของคือรากที่ n ที่เป็นลบของ A = 0 คือรากที่ n ที่เป็นบวกของอ่านว่ากรณฑ์ที่ n ของหรือค่าหลักของรากที่ n ของและเครื่องหมายเรียกว่าเครื่องหมายกรณฑ์เรียก n ลำดับหรือว่าได้ดัชนีของกรณฑ์ถ้า n เท่ากับสองแล้วเขียนแทน1.5 รูปแบบของโจทย์ที่เป็นรากอนันต์มีดังนี้รูปแบบที่ 1 หัวเรื่อง: การหารากอนันต์ของรูปแบบที่ 2 หัวเรื่อง: การหารากอนันต์ของรูปแบบที่ 3 หัวเรื่อง: การหารากอนันต์ของรูปแบบที่ 4 หัวเรื่อง: การหารากอนันต์ของรูปแบบที่ 5 หารากหัวเรื่อง: การอนันต์ของรูปแบบที่ 6 หารากหัวเรื่อง: การอนันต์ของรูปแบบที่ 7 8 การหารากอนันต์ในรูปแบบของ สมการ 1.6 สมการพหุนาม (พหุนามสม) พหุนามคือ 2 เอกนามขึ้นไป คือ ax2 + BX + C = 0 คำตอบของผู้แต่ง: สมหัวเรื่อง: การคือตัวอย่าง arrow จงแก้ผู้แต่ง: สมหัวเรื่อง: การพหุนาม X2 + 10x + 6 = 0 วิธีทำจากเนชั่สูตรพบว่าได้ A = 1, B = 1, C = 6 x ดังนั้นคำตอบของ สมการคือและ1.7 และอนุกรมลำดับลำดับ (Sequence) นิยามของลำดับคือ n ตัวแรกซึ่งเรียกว่าลำดับ จำกัด ว่าได้ลำดับเรียกอนันต์ลำดับเลขคณิต (Arithmetic ลำดับ) ถ้า A1, A2, A3, ... การเป็น + 1 จะมีสมบัติว่า A2 - A3 = A1 - A2 A4 = - A3 = ... = + 1 - ค่า = D เมื่อ D เป็นค่าคงตัวเรียกว่า D "ผลต่างร่วม" พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต = A1 + (n