4. CONCLUSION7The work on higher or

4. CONCLUSION
7The work on higher order cobalancing numbers is related to some
classical unsolved problem in Diophantine equations. In this context we recall
the works of Bernstein (see [2], [3] and [4]) on pyramidal Diophantine
equations. These works, in turn, are particular cases of a problem due to
Ërdös [6], namely whether the Diophantine equation
m(m+1)(m+2)...(m+k −1) =2n(n +1)(n +2)...(n +k −1)
has any solution for k > 2 and m+ k +1< n. Makowski [9] answered Ërdös’
question in the negative for a particular case with the use of results of Segal
[13]. The existence of cobalancing squares is equivalent to the existence of
solution to the Diophantine equation
m(m+1)(m+2) =2n(n+1)(n+2),
which is a particular case of the previous Diophantine equation. Mordell [10]
looked at particular cases of nearly pyramidal numbers (i.e. any number
differing from a pyramidal number by 1) as did Boyd and Kisilevsky [5], but
the scope of generalization is wide open.
Acknowledgement: It is a pleasure to thank the anonymous referee and
Professor Curtis Cooper, Editor, The Fibonacci Quarterly for their valuable
comments and suggestions that greatly improved the presentation of the
paper.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

4. สรุป
7The ทำงานกับตัวเลข cobalancing ขั้นสูงที่เกี่ยวข้องกับบาง
แก้ปัญหาคลาสสิกในสม Diophantine ในบริบทนี้เราจำ
ผลงานของสเตน (ดู [2], [3] และ [4]) ใน Diophantine เสี้ยม
สมการ ผลงานเหล่านี้ในทางกลับกันโดยเฉพาะอย่างยิ่งกรณีของปัญหาเนื่องจาก
Erdos [6] กล่าวคือไม่ว่าจะเป็นสมการ Diophantine
เมตร (m + 1) (m + 2) ... (m + k -1) = 2n (n + 1) (n 2) ... (k + n -1)
มีวิธีการแก้ปัญหาใด ๆ สำหรับ k> 2 และม. 1 + k <n Makowski [9] ตอบ Erdos '
คำถามในเชิงลบสำหรับกรณีที่มีการใช้ผลของซีกัล
[13] การดำรงอยู่ของสี่เหลี่ยม cobalancing เทียบเท่ากับการดำรงอยู่ของ
วิธีการแก้สมการ Diophantine
เมตร (m + 1) (m + 2) = 2n (n + 1) (n + 2)
ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของสม Diophantine ก่อนหน้านี้ . Mordell [10]
มองที่โดยเฉพาะอย่างยิ่งกรณีของตัวเลขเกือบเสี้ยม (คือหมายเลขใด ๆ
ที่แตกต่างกันจากจำนวนเสี้ยมโดย 1) เช่นเดียวกับบอยด์และ Kisilevsky [5] แต่
ขอบเขตของลักษณะทั่วไปคือเปิดกว้าง.
รับทราบ: มันเป็นความสุขที่จะขอบคุณ ผู้ตัดสินไม่ระบุชื่อและ
ศาสตราจารย์เคอร์ติคูเปอร์แก้ไข Fibonacci ไตรมาสคุณค่าของพวกเขาสำหรับ
การแสดงความคิดเห็นและข้อเสนอแนะที่ดีขึ้นอย่างมากในการนำเสนอของ
กระดาษ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

4 . สรุปงานเพื่อ cobalancing
7the สูงกว่าตัวเลขที่เกี่ยวข้องกับบางปัญหายังไม่แก้สมการไดโอแฟนไทน์
คลาสสิก . ในบริบทนี้เราจำได้
ผลงานของเบิร์นสไตน์ ( ดู [ 2 ] , [ 3 ] และ [ 4 ] ) ในสมการไดโอแฟนไทน์
เสี้ยม . ผลงานเหล่านี้ จะเป็นเฉพาะกรณีของปัญหาเนื่องจาก
Ë RD ö s [ 6 ] คือว่าสมการไดโอแฟนไทน์
M ( M 1 ) ( 2 ) . . . . . . . ( M K − 1 ) = 2 ( 1 ) ( 2 ) . . . . . . .( n K − 1 )
มีโซลูชั่นสำหรับ K > 2 และ M K 1 < N เมิกคอฟสกี้ [ 9 ] ตอบË RD ö s '
คำถามในเชิงลบสำหรับกรณีเฉพาะ ด้วยการใช้ผลของซีกัล
[ 13 ] การดำรงอยู่ของ cobalancing สี่เหลี่ยมเท่ากับการมีอยู่ของวิธีการแก้สมการไดโอแฟนไทน์

M ( M 1 ) ( 2 ) = 2 ( 1 ) ( 2 ) ,
ซึ่งเป็นกรณีเฉพาะของสมการไดโอแฟนไทน์ที่ผ่านมา mordell [ 10 ]
มองเฉพาะกรณีเกือบเสี้ยมหมายเลข ( เช่นหมายเลขใด ๆที่แตกต่างจากหมายเลขเสี้ยม
1 ) และทำบอยด์ kisilevsky [ 5 ] แต่
ขอบเขตของการเปิดกว้าง .
รับทราบ : มันเป็นความสุขที่จะขอบคุณผู้ตัดสินที่ไม่ระบุชื่อและ
อาจารย์เคอร์ติสคูเปอร์ , บรรณาธิการ , Fibonacci สำหรับ
ที่มีคุณค่าของพวกเขาไตรมาสความคิดเห็นและข้อเสนอแนะที่ดีขึ้นอย่างมากของการนำเสนอ

กระดาษ .