homewikisubjectsgames & puzzlesless

home
wiki
subjects
games & puzzles
lessons
simple math
other
site


Cut The Knot!
An interactive column using Java applets
by Alex Bogomolny
Pick's Theorem
May 1998


Georg Alexander Pick, born in 1859 in Vienna, perished around 1943 in the Theresienstadt concentration camp. [9]


First published in 1899, the theorem was brought to broad attention in 1969 through the popular Mathematical Snapshots by H. Steinhaus. The theorem gives an elegant formula for the area of simple lattice polygons, where "simple", as usual, only means the absence of self-intersection. Polygons covered by the theorem have their vertices located at nodes of a square grid or lattice whose nodes are spaced at distance 1 from their immediate neighbors. The formula does not require math proficiency beyond middle grade school and can be easily verified with the help of a geoboard.

Pick's Theorem
Let P be a lattice polygon. Assume there are I(P) lattice points in the interior of P, and B(P) lattice points on its boundary. Let A(P) denote the area of P. Then

A(P) = I(P) + B(P)/2 - 1

The most illuminating proof comes from [15].

The applet below is an online variant of the common geoboard. To create a vertex click next to a lattice node. It dose not matter which node you choose. You'll be able to drag an existent vertex to any other node later on. Edges are added automatically. The new node is always inserted between the very first and last vertices. Intersecting edges are shown in red.



(Instead of the applet you can download and run locally an application that is performing exactly the same job.)

(The applet uses an adaptation of a scan conversion algorithm from [13]. The book is replete with ideas. It just appears that this one was not worked out completely. The applet also appears on a separate page from where it could be lifted for use by teachers on their own pages.)


With Pick's theorem one may determine area of a (polygonal) portion of a map. On a transparent paper draw a grid to scale and superimpose the grid over the map. Count the number of nodes inside and on the boundary of the map region. Apply Pick's formula with the selected scale.

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

หน้าแรกวีดีโอ รูปภาพ คลิป เพลงวิชาเกมและปริศนาบทเรียนคณิตศาสตร์ง่าย ๆอื่น ๆเว็บไซต์ผ่าปม !เป็นแบบคอลัมน์โดยใช้ Java appletsโดยอเล็กซ์ bogomolnyทฤษฎีบทของรับพฤษภาคม 2541จอร์จอเล็กซานเดอร์ เลือกเกิดในปี 1859 ในเวียนนา เสียชีวิตประมาณ 1943 ในเธเรเซียน ัดท์ค่ายกักกัน [ 9 ]ตีพิมพ์ครั้งแรกใน 1899 , ทฤษฎีบทคือนำกว้างความสนใจใน 1969 ผ่านความนิยมคณิตศาสตร์ภาพรวมโดย สไตน์เฮาส์ . ทฤษฎีบทสูตรหรูหรา เพื่อให้พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมตาข่ายง่ายที่ " ง่าย " เป็นปกติ หมายความว่า การแยกตนเอง รูปหลายเหลี่ยมที่ครอบคลุม โดยมีจุดยอดอยู่ที่โหนดของทฤษฎีบทของตารางตารางหรือขัดแตะที่มีโหนดระยะที่ 1 ระยะทางจากเพื่อนบ้านของพวกเขาทันที สูตรนี้ไม่ต้องใช้คณิตศาสตร์ความสามารถนอกเหนือจากโรงเรียนชั้นกลางและสามารถตรวจสอบได้ด้วยความช่วยเหลือของกระดานเรขาคณิต .ทฤษฎีบทของรับให้ p เป็นตาข่ายรูปหลายเหลี่ยม สมมติว่า มี ผม ( P ) จุดขัดแตะในการตกแต่งภายในของ P และ B ( P ) ขัดแตะจุดบนขอบ ปล่อยให้ ( P ) แสดงพื้นที่ของหน้าแล้ว( P ) = ( P ) + B ( P ) / 2 - 1มากที่สุดที่ให้หลักฐานมาจาก [ 15 ]แอพเพล็ตด้านล่างเป็นออนไลน์แตกต่างจากกระดานเรขาคณิตทั่วไป เพื่อสร้างยอดคลิกถัดไปเพื่อตาข่ายโหนด มันไม่ได้สำคัญที่โหนดที่คุณเลือก คุณจะสามารถลากเพื่อความอยู่รอดเพื่ออื่นใดโหนดในภายหลัง ขอบจะถูกเพิ่มโดยอัตโนมัติ โหนดใหม่อยู่เสมอที่แทรกอยู่ระหว่างแรกและสุดท้ายจุด . ตัดขอบจะแสดงในสีแดง( แทนของแอพเพล็ต คุณสามารถดาวน์โหลดและเรียกใช้ในโปรแกรมที่ มี ประสิทธิภาพ เหมือนกันงาน )( แอพเพล็ตใช้การปรับตัวของการสแกนขั้นตอนวิธีการแปลงจาก [ 13 ] หนังสือที่เต็มไปด้วยความคิด มันก็ปรากฏว่าตัวนี้ไม่ทำงานออกอย่างสมบูรณ์ แอพเพล็ตยังปรากฏในหน้าแยกต่างหากจากที่สามารถยกเพื่อใช้โดยครูผู้สอนในหน้าเว็บของพวกเขาเอง )กับรับเป็นทฤษฎีบทหนึ่งอาจกำหนดพื้นที่ ( เหลี่ยม ) ส่วนของแผนที่ วาดบนกระดาษโปร่งใสตารางมาตราส่วนและใส่ตารางบนแผนที่ การนับจำนวนโหนดภายในและขอบเขตของเขตแผนที่ ใช้สูตรรับกับระดับคัดสรร