In 1928 the English mathematician F

In 1928 the English mathematician Frank Plumpton Ramsey published his paper On a problem of formal logic [13] in which he proved what would become
known as Ramsey’s Theorem. The paper has led to a large area of combinatorics now known as Ramsey Theory. We shall explore some major results in
Ramsey Theory which all, broadly speaking, find some degree of order within
a large disordered set.
The field of Ramsey Theory has only relatively recently come together to
be viewed as one body and many seemingly basic results are still not known,
and there is no prospect of them being known in the near future.
In 1916 Issai Schur proved that in any finite colouring of the natural numbers
there must exist three monochromatic elements, x, y and z such that x + y = z.
This basic result was generalised by Richard Rado in 1933 to give a characterisation of the homogeneous systems to which a monochromatic solution can be
found in any finite colouring of the natural numbers. We examine these results
in Chapter 4.
Between Schur proving this theorem in 1916 and Rado publishing his theorem in 1933, Ramsey and Van der Waerden published theorems now considered
central to Ramsey Theory.
We shall begin by examining Ramsey’s Theorem, initially for graphs, and
then, more generally, for sets. For example Ramsey’s theorem for graphs states
that in any large enough finitely coloured complete graph there must exist some
large monochromatic substructure. Little is known about the actual orders that
these complete graphs must have to ensure that they contain some particular
monochromatic substructure.
Van der Waerden’s Theorem was proved in 1927, a year earlier than Ramsey’s. Van der Waerden proved that in any finite colouring of the natural
numbers there must exist some monochromatic arithmetic progression with k
terms. We shall give an elegant and short proof based on colour focussing.
Finally we shall turn to Hindman’s Theorem, the most recent theorem which
we shall examine, it was proved in 1974. Hindman’s Theorem states that, for
every finite colouring of the natural numbers there exists some infinite subset
S ⊆ N such that all the finite sums of the elements of S are monochromatic.
Although it is not hard to understand this theorem, it requires some powerful
mathematical tools in its proof. In Chapter 5 we shall build up these ideas
before finally proving the result.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ในปี 1928 นักคณิตศาสตร์อังกฤษแฟรงค์แรมซีย์ Plumpton กระดาษของเขาปัญหาของตรรกะอย่างเป็นทางการ [13] ซึ่งเขาพิสูจน์แล้วว่าเป็นการเผยแพร่เรียกว่าแรมซีย์ กระดาษทำให้พื้นที่ส่วนใหญ่ของตอนนี้ เรียกว่าแรมซีย์ทฤษฎีคณิตศาสตร์เชิงการจัด เราจะสำรวจผลที่สำคัญบางอย่างในแรมซีย์ทฤษฎีหมด ร่อน บางส่วนของใบสั่งภายในที่ค้นหาลำดับชุดใหญ่มีฟิลด์ของ Ramsey ทฤษฎีเฉพาะค่อนข้างเพิ่ง มาดู ตามตัวหนึ่งและผลจำนวนมากเบื้องต้นดูเหมือนจะยังไม่รู้จักกันและมีโอกาสไม่มีของพวกเขาเป็นที่รู้จักในอนาคตในปี 1916 Issai Schur พิสูจน์ที่ในสีใด ๆ มีจำกัดของเลขต้องมีสามองค์ประกอบสีเดียว x, y และ z ดังกล่าวที่ x + y = zผลลัพธ์นี้พื้นฐานได้ทั่วไป โดยริชาร์ด Rado ในปี 1933 เพื่อให้การตรวจลักษณะเฉพาะของระบบเหมือนกันที่สามารถเป็นโซลูชันแบบโทนเดียวพบในสีใด ๆ มีจำกัดของเลข เราตรวจสอบผลลัพธ์เหล่านี้บทที่ 4ระหว่าง Schur พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ในปี 1916 และ Rado ประกาศทฤษฎีบทของเขาในปี 1933 แรมซีย์และ Van der Waerden เผยแพร่ theorems ที่ตอนนี้ ถือว่าศูนย์กลางในทฤษฎีแรมซีย์เราจะเริ่มการทดสอบแรมซีย์ เริ่มต้นสำหรับกราฟ และแล้ว โดยทั่วไป สำหรับชุดนี้ ตัวอย่างเช่นแรมซีย์สำหรับอเมริกากราฟที่มีขนาดใหญ่พอ finitely สีสมบูรณ์กราฟมีต้องมีอยู่บางส่วนขนาดใหญ่โครงสร้างสีเดียวกัน เกี่ยวกับใบสั่งจริงที่กราฟสมบูรณ์เหล่านี้ต้องมีเพื่อให้แน่ใจว่า พวกเขาประกอบด้วยเฉพาะบางโครงสร้างสีเดียวกันทฤษฎีบทของแวนเดอร์ Waerden ถูกพิสูจน์ในปี 1927 ปีก่อนหน้าของแรมซีย์ Van der Waerden พิสูจน์ที่ในสีใด ๆ แน่นอนของธรรมชาติมีหมายเลขต้องมีการก้าวหน้าเลขคณิตบางสีเดียวกับ kข้อกำหนด เราจะให้หลักฐานหรูหรา และสั้นอิงสีจัดในที่สุด เราจะเปิดให้ทฤษฎีบทของ Hindman ทฤษฎีบทล่าสุดซึ่งเราต้องตรวจสอบ พิสูจน์ได้ในปี 1974 ทฤษฎีบทของ Hindman ระบุว่า สำหรับมีอยู่ทุกสีมีจำกัดหมายเลขธรรมชาติย่อยบางอนันต์S ⊆ N ที่จำกัดทั้งหมดรวมองค์ประกอบของ S มีสีเดียวแม้ว่ามันไม่ยากที่จะเข้าใจทฤษฎีบทนี้ มันต้องอย่างมีประสิทธิภาพเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ในการพิสูจน์ ในบทที่ เราจะสร้างแนวคิดเหล่านี้ก่อนสุดท้าย พิสูจน์ผลลัพธ์

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ในปี ค.ศ. 1928 อังกฤษคณิตศาสตร์แฟรงก์ Plumpton แรมซีย์ตีพิมพ์บทความของเขาในปัญหาของตรรกะที่เป็นทางการ [13] ซึ่งเขาพิสูจน์ให้เห็นสิ่งที่จะกลายเป็น
ที่รู้จักกันเป็นจำนวนแรมซีย์ กระดาษที่ได้นำไปสู่พื้นที่ขนาดใหญ่ของ combinatorics บัดนี้เป็นที่รู้จักทฤษฎีแรมซีย์ เราจะสำรวจผลที่สำคัญบางอย่างใน
ทฤษฎีแรมซีย์ที่ทุกคนพูดในวงกว้างพบว่าระดับของการสั่งซื้อบางส่วนภายใน
ชุดวุ่นวายขนาดใหญ่.
เขตของทฤษฎีแรมซีย์มีเพียงค่อนข้างมาเมื่อเร็ว ๆ นี้ร่วมกันเพื่อให้
ถูกมองว่าเป็นหนึ่งในร่างกายและผลการพื้นฐานดูเหมือนจำนวนมากยังคง ไม่เป็นที่รู้จัก
และมีความคาดหวังของพวกเขาเป็นที่รู้จักกันในอนาคตอันใกล้นี้.
ในปี 1916 Issai Schur พิสูจน์ให้เห็นว่าในการระบายสี จำกัด ใด ๆ ของจำนวนธรรมชาติ
ต้องมีสามองค์ประกอบเดียว, x, Y และ Z ดังกล่าวว่า x + Y = Z .
นี้ผลพื้นฐานทั่วไปโดยริชาร์ดราโด้ในปี 1933 ที่จะให้ลักษณะของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันให้ซึ่งเป็นทางออกเดียวที่สามารถ
พบได้ในสี จำกัด ใด ๆ ของจำนวนธรรมชาติ เราตรวจสอบผลลัพธ์เหล่านี้
ในบทที่ 4
ระหว่าง Schur พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ในปี 1916 และ Rado เผยแพร่ทฤษฎีบทของเขาในปี 1933 แรมซีย์และ Van der Waerden ตีพิมพ์ทฤษฎีถือว่าขณะนี้
กลางทฤษฎีแรมซีย์.
เราจะเริ่มต้นด้วยการตรวจสอบจำนวนแรมซีย์, ครั้งแรกสำหรับกราฟและ
แล้วมากขึ้นโดยทั่วไปสำหรับชุด ยกตัวอย่างเช่นจำนวนแรมซีย์สำหรับกราฟกล่าว
ว่าในที่มีขนาดใหญ่สมบูรณ์กราฟใด ๆ พอสีขีดต้องมีบาง
โครงสร้างเดียวขนาดใหญ่ ไม่ค่อยมีใครรู้เกี่ยวกับคำสั่งซื้อที่เกิดขึ้นจริงที่
เหล่ากราฟบริบูรณ์ต้องมีเพื่อให้แน่ใจว่าพวกเขามีบางอย่างโดยเฉพาะอย่างยิ่ง
โครงสร้างเดียว.
ทฤษฎีบท Van der Waerden ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าในปี 1927 ในปีก่อนหน้านี้กว่าแรมซีย์ Van der Waerden พิสูจน์ให้เห็นว่าในการระบายสี จำกัด ใด ๆ ของธรรมชาติ
ตัวเลขต้องมีบางก้าวหน้าเลขคณิตเดียวกับ K
แง่ เราก็จะให้หลักฐานที่สง่างามและระยะสั้นขึ้นอยู่กับการมุ่งเน้นสี.
ในที่สุดเราจะหันไปทฤษฎีบทของไฮนด์, ทฤษฎีบทล่าสุดซึ่ง
เราจะต้องตรวจสอบมันก็พิสูจน์ให้เห็นว่าในปี 1974 ไฮนด์ทฤษฎีบทระบุว่าสำหรับ
ทุกสี จำกัด ของจำนวนธรรมชาติมี มีอยู่บางกลุ่มย่อยที่ไม่มีที่สิ้นสุด
S ⊆ N เช่นว่าทุกเงินก้อน จำกัด ขององค์ประกอบของ S ที่มีสีเดียว.
แม้ว่าจะไม่ยากที่จะเข้าใจทฤษฎีบทนี้มันต้องมีบางส่วนที่มีประสิทธิภาพ
เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ในการพิสูจน์ของมัน ในบทที่ 5 เราจะสร้างความคิดเหล่านี้
ก่อนที่จะพิสูจน์ผลที่ได้

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

2471 แฟรงค์แรมซีย์ นักคณิตศาสตร์อังกฤษ พลัมพ์ตันตีพิมพ์กระดาษของเขาในปัญหาทางตรรกะ [ 13 ] ซึ่งเขาได้พิสูจน์แล้วจะเป็นเรียกว่าทฤษฎีบทแรมซีย์ . กระดาษทำให้พื้นที่ขนาดใหญ่ของคณิตศาสตร์เชิงการจัด ตอนนี้เรียกว่าทฤษฎี แรมซี่ย์ เราจะสำรวจผลการวิจัยบางส่วนในแรมซีย์ทฤษฎี ซึ่งทั้งหมด พูดกว้าง ค้นหาบางส่วนของคำสั่งภายในขนาดใหญ่ระบบการตั้งค่าทฤษฎีสนาม แรมซีย์ได้ค่อนข้างเร็ว ๆ นี้มาถูกมองว่าเป็นหนึ่งในร่างกาย และผลปรากฏอยู่พื้นฐานหลายอย่างที่ยังไม่รู้จักและมีโอกาสของพวกเขาเป็นที่รู้จักกันในใกล้อนาคตใน 1916 issai schur พิสูจน์ว่าในใด ๆของตัวเลขที่เป็นธรรมชาติสีจำกัดมันมีอยู่สาม monochromatic องค์ประกอบ , X , Y และ Z เช่น X + Y = Zผลเบื้องต้นนี้สรุปโดยริชาร์ด ราโดสเพื่อให้ลักษณะของระบบเป็นเนื้อเดียวกันซึ่งเป็นโซลูชั่นที่เป็นสีเดียว สามารถพบได้ในขอบเขตของตัวเลข สีธรรมชาติ เราตรวจสอบผลลัพธ์เหล่านี้ในบทที่ 4ระหว่าง schur พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้และเผยแพร่ในปี 1916 ราโดทฤษฎีบทของเขาใน 1933 , แรมซี่ย์ กับ ฟาน เดอร์ waerden เผยแพร่ทฤษฎีบทตอนนี้ถือว่ากลางทฤษฎี แรมซี่ย์เราจะเริ่มต้นโดยการตรวจสอบจำนวนแรมซีย์ ตอนแรกสำหรับกราฟและแล้วโดยทั่วไปสำหรับชุด สำหรับตัวอย่างของกราฟรัฐทฤษฎีบทแรมซีย์ในกราฟมีขนาดใหญ่พอสีจำกัดสมบูรณ์จะต้องมีอยู่บ้างของสีสีเดียวขนาดใหญ่ เป็นที่รู้จักกันเพียงเล็กน้อยเกี่ยวกับจริงคำสั่งกราฟสมบูรณ์เหล่านี้จะต้องมีเพื่อให้แน่ใจว่าพวกเขามีบางอย่างโดยเฉพาะmonochromatic ของ .ทฤษฎีบทของแวน เดอ waerden พิ 1927 , ปีก่อนหน้านี้กว่า แรมซี่ย์ ของ ฟาน เดอร์ waerden พิสูจน์ว่าในใด ๆของธรรมชาติสีจำกัดตัวเลขนั้นจะต้องมีอยู่บาง monochromatic การก้าวหน้าเลขคณิตกับเคเงื่อนไข เราก็จะให้สง่างามและสั้นหลักฐานตามสีโดย .ในที่สุดเราก็จะกลายเป็นทฤษฎีบทไฮน์ดเมิ่น และล่าสุดทฤษฎีบทที่เราจะตรวจสอบมันพิสูจน์ใน 1974 ทฤษฎีบทของสหรัฐอเมริกาว่าไฮน์ดเมิ่น ,ทุกวิธีระบายสีของธรรมชาติมีอยู่บางอนันต์ย่อยs ⊆ n เช่นว่าผลบวกจำกัดขององค์ประกอบของ S เป็น monochromatic .แม้ว่าจะไม่ยากที่จะเข้าใจทฤษฎีบทนี้ มันต้องมีบางอย่างมีประสิทธิภาพเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ในการพิสูจน์ ในบทที่ 5 เราจะสร้างความคิดเหล่านี้ก่อนที่จะพิสูจน์ผล