Ratio estimation of the population

Ratio estimation of the population mean using auxiliary information in
simple random sampling and median ranked set sampling
a b s t r a c t
In this article, two modified ratio estimators of the population mean are suggested provided
that the first or third quartiles of the auxiliary variable can be established when the mean
of the auxiliary variable is known. The double-sampling method is used to estimate the
mean of the auxiliary variable if it is unknown. The suggested estimators are investigated
under simple random sampling (SRS) and median ranked set sampling (MRSS) schemes.
The new estimators when using MRSS are compared to their counterparts under SRS. The
bias and the mean square error of the proposed estimators are derived. It turns out that
the estimators are approximately unbiased and the MRSS estimators are more efficient
than the SRS estimators, on the basis of the same sample size, correlation coefficient, and
quartile. A real data set is used for illustration.
© 2012 Elsevier B.V. All rights reserved.
1. Introduction
The auxiliary information associated with an auxiliary variable X that is correlated with the variable of interest Y can
be employed to increase the efficiency of estimators. The most commonly used auxiliary information is the mean of the
auxiliary variable. However, other auxiliary information associated with the variable X such as the median, coefficient of
variation or correlation coefficient can be used to improve the efficiency of the estimators. Upadhyaya and Singh (1999)
suggested two ratio-type estimators for when the coefficient of variation and the coefficient of kurtosis of the auxiliary
variable are available. Srivastava and Jhajj (1981) suggested a class of estimators of the population mean assuming that the
mean and the variance are known.
The usual SRS ratio estimator of the population mean from a sample of size n is given by
μˆ YSRS = μX
 ¯ YSRS
¯ XSRS

, (1)
where ¯ XSRS = 1n
ni
=1 Xi and ¯ YSRS = 1n
ni=1 Yi are the sample means of the auxiliary variable X and the variable of interest
Y, respectively, and μX ,μY are the respective populationmeans. The approximatemean square error (MSE) of μˆ YSRS is given
by
MSE

μˆ YSRS

∼=
1 − f
n

σ2
Y + R2σ2
X − 2RσXY

, (2)
where f = nN
, N is the population size, n is the sample size, σ2
Y and σ2
X are the population variances of the variables Y and X,
respectively, R = μY/μX is the population ratio, and σXY is the covariance of X and Y. For more details see Cochran (1977),
Kadilar and Cingi (2004) and Singh and Tailor (2003).
E-mail address: [e-mail].
0167-7152/$ – see front matter © 2012 Elsevier B.V. All rights reserved.
doi:10.1016/j.spl.2012.07.001
1884 A.I. Al-Omari / Statistics and Probability Letters 82 (2012) 1883–1890
McIntyre (1952) was the first to suggest using ranked set sampling (RSS) in order to estimate the population means of
pasture and forage yields. He showed that the RSS estimator of the population mean is unbiased and more efficient than
the SRS estimator based on the same sample size. Takahasi and Wakimoto (1968) provided the necessary mathematical
theory of RSS. Samawi and Muttlak (1996) proposed the use of RSS to estimate the population ratio. Jemain and Al-
Omari (2006) suggested multistage median ranked set samples for estimating the population mean. Al-Saleh and Al-
Ananbeh (2007) considered the estimation of the means of the bivariate normal using moving extreme ranked set sampling
with a concomitant variable. Jemain et al. (2007) suggested multistage extreme ranked set sampling for estimating the
population mean. Al-Saleh and Samawi (2007) investigated inclusion probabilities in ranked set sampling for sample sizes
2 and 3. Ozturk (2007) suggested a two-sample median test for order restricted randomized schemes. For more about RSS,
see Al-Saleh and Al-Omari (2002), Al-Omari and Jaber (2008), Balakrishnan and Li (2006), Bouza (2002), Ozturk and
Deshpande (2006) and Tiensuwan et al. (2007).
In this paper, we investigate new ratio-type estimators of the population mean μY of the variable of interest, Y, involving
either the first or the third quartile of the auxiliary variable X, using SRS and MRSS methods. In Section 2, the suggested
estimators of the population mean obtained using SRS and MRSS, with their properties, are presented in detail for when
the mean of the auxiliary variable is known. The double-sampling method is considered in Section 3. A simulation study is
given in Section 4, carried out in order to evaluate the performance of the estimators. In Section 5, a real data set is used to
illustrate the method. Finally, in Section 6, conclusions about the suggested estimators are provided.
2. Estimation of the population mean when μX is known
Let (X1, Y1) , (X2, Y2) , . . . , (Xn, Yn) be a bivariate random sample with pdf f (x, y), cdf F (x, y), means μX ,μY ,
variances σ2
X , σ2
Y and correlation coefficient ρ. Assume that the ranking is performed on the auxiliary variable X
to estimate the mean of the variable of interest Y. Let (X11, Y11) , (X12, Y12) , . . . , (X1n, Y1n) , (X21, Y21) , (X22, Y22) ,
. . . , (X2n, Y2n) , . . . , (Xn1, Yn1) , (Xn2, Yn2) , . . . , (Xnn, Ynn) be n independent bivariate random samples each of size n.
2.1. Using SRS
The suggested ratio estimators of the population mean μY using SRS based on the first (q1) and third (q3) quartiles of X,
respectively, are given by
μˆ YSRS1 = Y¯SRS

μX + q1
¯ XSRS + q1

and μˆ YSRS3 = Y¯SRS

μX + q3
¯ XSRS + q3

, (3)
where X¯SRS and Y¯SRS are the sample means of X and Y, respectively, based on SRS. For short, we write μˆ YSRSk (k = 1, 3) for
μˆ YSRS1 and μˆ YSRS3, respectively. Using the Taylor series method, μˆ YSRSk can be approximated as
μˆ YSRSk
∼=
¯ YSRS − Lk

¯ XSRS − μX

+ LkVk

¯ XSRS − μX
2
− Vk

¯ XSRS − μX
 
¯ YSRS − μY

, (4)
where Lk = μY
μX+qk
and Vk = 1
μX+qk
. Using the first-degree approximation, the estimator is given by
μˆ YSRSk
∼=
¯ YSRS − Lk

¯ XSRS − μX

. (5)
The bias and MSE of μˆ YSRSk (k = 1, 3), respectively, are
Bias

μˆ YSRSk

∼=
E

¯ YSRS − Kh

¯ XSRS − μX

− μY = 0, (6)
and
MSE

μˆ YSRSk

∼=
Var

¯ YSRS

+ L2k
Var

¯ XSRS

− 2LkCov

¯ XSRS , ¯ YSRS

∼=
σ2
Y
n
+
σ2
X
n

L2k
− 2βLk

, (7)
where Var

¯ YSRS

=
σ2
Y
n , Var

¯ XSRS

=
σ2
X
n , β = ρ σY
σX
and
Cov

¯ XSRS , ¯ YSRS

= E

¯ XSRS − μX
 
¯ YSRS − μY

= ρ
σY σX
n
.
2.2. Using MRSS
The ranked set sampling method (McIntyre, 1952) can be described as in the following steps:
1. Randomly select n2 units from the target population. Allocate them randomly into n sets each of size n.
2. By visual inspection or any cost free method, rank each set of n units with respect to the variable of interest.
A.I. Al-Omari / Statistics and Probability Letters 82 (2012) 1883–1890 1885
3. For actual quantification, from the ith set select the ith ranked unit. The whole process can be repeated m times if
necessary to obtain a sample of size nm.
As a modification of the RSS, Muttlak (1997) suggested the median ranked set sampling (MRSS) method for estimating
the population mean. In this study, we modified the MRSS as follows:
1. Select n random samples each of size n bivariate units from the population of interest.
2. The units within each sample are ranked by visual inspection or any other cost free method with respect to a variable of
interest.
3. If n is odd, select the
 n+1
2

th-smallest ranked unit X together with the associated Y from each set, i.e., the median of each
set. If n is even, from the first n2
sets select the
n2

th ranked unit X together with the associated Y and from the other n2
sets the
 n+2
2

th ranked unit X together with the associated Y.
4. The whole process can be repeated m times if needed to obtain a sample of size nm units.
Samawi and Muttlak (1996) showed that ranking on variable X is more efficient than ranking on variable Y; so in this
study we will consider ranking on the auxiliary variable X.
Let

Xi(1), Yi[1]

,

Xi(2), Yi[2]

, . . . ,

Xi(n), Yi[n]

be the order statistics of Xi1, Xi2, . . . , Xin and the judgment order of
Yi1, Yi2, . . . , Yin (i = 1, 2, . . . , n), where () and [ ] indicate that the ranking of X is perfect and the ranking of Y has errors.
The MRSS estimators of the population mean μY , obtained using q1 and q3, are given respectively by
μˆ YMRSS1 = Y¯MRSS

μX + q1
¯ XMRSS + q1

and μˆ YMRSS3 = Y¯MRSS

μX + q3
¯ XMRSS + q3

. (8)
For odd and even sample sizes we denote the units measured using MRSS by MRSSO and MRSSE, respectively. The
measured MRSSO units are denoted by

X1

n+1
2
, Y1

n+1
2


,

X2

n+1
2
, Y2

n+1
2


, . . . ,

Xn

n+1
2
, Yn

n+1
2


, and ¯ XMRSSO =
1n
n
i=1 Xi

n+1
2
 and ¯ YMRSSO = 1n
ni
=1 Yi

n+1
2
, with variances, respectively given by
Var

¯ XMRSSO

=
1
n2
n
i=1
Var

Xi

n+1
2


=
1
n
σ2
X

n+1
2

and
Var

¯ YMRSSO

=
1
n2
n
i=1
Var

Yi

n+1
2


=
1
n
σ2
Y

n+1
2
.
The measured MRSSE units are

X1(n2
), Y1[n2
]

,

X2(n2
), Y2[n2
]

, . . . ,

Xn2
(n2
), Yn2
[n2
]

,

Xn+2
2

n+2
2
, Y n+2
2

n+2
2


,

Xn+4
2

n+2
2
, Y n+4
2

n+2
2


, . . . ,

Xn

n+2
2
, Yn

n+2
2


, where
¯ XMRSSE =
1
n


n2

i=1
Xi(n2
) +
n
i=n+2
2
Xi

n+2
2


 and ¯ YMRSSE =
1
n


n2

i=1
Yi[n2
] +
n
i=n+2
2
Yi


ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

การประเมินอัตราส่วนของค่าเฉลี่ยประชากรใช้ข้อมูลเสริมในสุ่มตัวอย่างแบบสุ่มอย่างง่ายและการจัดอันดับค่ามัธยฐานตั้งสุ่มตัวอย่างแบบ b s t r c tในบทความนี้ สอง estimators ปรับเปลี่ยนอัตราส่วนของค่าเฉลี่ยประชากรจะแนะนำให้quartiles แรก หรือสามของตัวแปรเสริมสามารถถูกก่อตั้งขึ้นเมื่อมัชฌิมของตัวแปรเสริมเป็นที่รู้จัก วิธีการสุ่มตัวอย่างคู่ที่ใช้ในการประเมินการค่าเฉลี่ยของตัวแปรเสริมถ้าไม่รู้จัก มีสอบสวน estimators แนะนำภายใต้การสุ่มตัวอย่างแบบสุ่มอย่างง่าย (SRS) และค่ามัธยฐานลำดับแผนการสุ่มตัวอย่างการตั้งค่า (MRSS)Estimators ใหม่เมื่อใช้ MRSS จะเปรียบเทียบกับคู่ของพวกเขาภายใต้ SRS ที่ความโน้มเอียงและข้อผิดพลาดของค่าเฉลี่ยกำลังสองของ estimators เสนอมา มันเปลี่ยนจากที่การ estimators ประมาณคน และ MRSS estimators มีประสิทธิภาพมากขึ้นกว่าที่ estimators SRS ตามขนาดตัวอย่างเดียวกัน สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ และควอไทล์นั้น ใช้ชุดข้อมูลจริงประกอบ© 2012 Elsevier b.v สงวนลิขสิทธิ์ทั้งหมด1. บทนำข้อมูลเสริมที่เกี่ยวข้องกับการเสริมตัวแปร X ที่มี correlated กับตัวแปร Y สนใจสามารถได้รับการว่าจ้างเพื่อเพิ่มประสิทธิภาพของ estimators ข้อมูลเสริมที่ใช้บ่อยที่สุดคือ ค่าเฉลี่ยของการตัวแปรเสริม อย่างไรก็ตาม ข้อมูลเสริมอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องกับตัวแปร X เช่นมัธยฐาน สัมประสิทธิ์ของสามารถใช้เปลี่ยนแปลงหรือสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์เพื่อปรับปรุงประสิทธิภาพของการ estimators Upadhyaya และสิงห์ (1999)แนะนำ 2 ชนิดอัตราส่วน estimators เมื่อค่าสัมประสิทธิ์ของความแปรปรวนและสัมประสิทธิ์ของเคอร์โทซิของเสริมตัวแปรมี แนะนำคลาสของ estimators ของค่าเฉลี่ยประชากรที่สมมติว่าที่ Srivastava และ Jhajj (1981)ทราบค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนประมาณการอัตราส่วน SRS ปกติของประชากรค่าเฉลี่ยจากตัวอย่างขนาด n ถูกกำหนดโดยΜˆ YSRS = ΜX¯ YSRS¯ XSRS, (1)ที่¯ XSRS = 1nni= ซีอานซีกวนและ¯ YSRS 1 = 1nni = 1 ยี่จะหมายความว่าตัวอย่างของตัวแปรเสริม X และตัวแปรที่น่าสนใจY ตาม ลำดับ μX และ μY เป็น populationmeans เกี่ยวข้อง Approximatemean ตารางข้อผิดพลาด (MSE) ของμˆ YSRS ได้โดยMSEΜˆ YSRS∼=1 − fnΣ2Y + R2Σ22RΣXY X −, (2)ที่ f = nN, N คือ ขนาดประชากร n คือ ขนาดตัวอย่าง σ2Y และ σ2X คือ ผลต่างของประชากรของตัวแปร Y และ Xตามลำดับ R = μY/μX อัตราส่วนประชากร และ σXY เป็นความแปรปรวนร่วมของ X และ Y สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมดู Cochran (1977),Kadilar และ Cingi (2004) และสิงห์ และเทเลอร์ (2003)ที่อยู่อีเมล์: [e-mail]0167-7152 / $ – ดูหน้าเรื่อง © 2012 Elsevier b.v สงวนลิขสิทธิ์ทั้งหมดdoi:10.1016/j.spl.2012.07.0011884 A.I. อัล Omari / สถิติและความน่าเป็นตัวอักษร 82 (2012) 1883-1890McIntyre (1952) เป็นคนแรกแนะนำใช้สุ่มตัวอย่างการตั้งรับ (RSS) เพื่อประเมินหมายความว่าประชากรของทุ่งหญ้า และอาหารสัตว์อัตราผลตอบแทน เขาพบว่าประมาณ RSS ของค่าเฉลี่ยประชากรคน และมีประสิทธิภาพมากกว่าประมาณ SRS ที่ขึ้นอยู่กับขนาดอย่างเดียว Takahasi และ Wakimoto (1968) ให้ความจำเป็นทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีของ RSS Samawi และ Muttlak (1996) เสนอการใช้ RSS ในการประเมินอัตราส่วนประชากร Jemain และอัล-Omari (2006) แนะนำ multistage มัธยฐานลำดับชุดตัวอย่างสำหรับการประมาณค่าเฉลี่ยประชากร ศอลิหอัลและอัล-Ananbeh (2007) ถือว่าการประเมินหมายถึงการวางใช้ปกติ bivariate ย้ายมากอันดับตั้งสุ่มตัวอย่างกับตัวแปรมั่นใจ Jemain et al. (2007) แนะนำอันดับสุด multistage ตั้งสุ่มตัวอย่างสำหรับการประเมินค่าเฉลี่ยประชากร ศอลิหอัลและ Samawi (2007) สอบสวนรวมกิจกรรมในการสุ่มตัวอย่างอันดับที่ตั้งค่าสำหรับขนาดตัวอย่าง2 และ 3 Ozturk (2007) แนะนำร่างสองตัวอย่างทดสอบมัธยฐานการจำกัด randomized สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับ RSSดูอัลศอลิห และอัล-Omari (2002), อัล-Omari และ Jaber (2008), Balakrishnan และ Li (2006), Bouza (2002), Ozturk และDeshpande (2006) และ Tiensuwan et al. (2007)ในเอกสารนี้ เราตรวจสอบ estimators ชนิดอัตราส่วนใหม่ของ μY เฉลี่ยประชากรของตัวแปรของการเกี่ยวข้องกับดอกเบี้ย Yแรกหรือควอไทล์ที่ 3 ของตัวแปรเสริม X ใช้ SRS และ MRSS วิธีการ ใน 2 ส่วน การแนะนำestimators ของค่าเฉลี่ยประชากรที่ได้รับด้วย SRS และ MRSS คุณสมบัติ จะแสดงรายละเอียดในเรียกว่าค่าเฉลี่ยของตัวแปรเสริม วิธีการสุ่มตัวอย่างสองจะพิจารณาใน 3 ส่วน ศึกษาการจำลองเป็นกำหนดในมาตรา ๔ ดำเนินการเพื่อประเมินประสิทธิภาพของ estimators ที่ ในส่วน 5 ชุดข้อมูลจริงจะใช้แสดงวิธีการ สุดท้าย ในส่วน 6 บทสรุปเกี่ยวกับ estimators แนะนำมี2. ประเมินค่าเฉลี่ยประชากรเมื่อ μX เป็นที่รู้จักกันให้ (x1, Y1), (X 2, Y2), ..., (Xn, Yn) เป็นตัวอย่างสุ่ม bivariate กับ pdf f (x, y), F (x, y), cdf หมายถึง μX, μYผลต่าง σ2X, Σ2Y และρสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์สมมติว่า จัดอันดับกระทำกับตัวแปรเสริม Xการประมาณค่าเฉลี่ยของตัวแปร Y สนใจ ให้ (X 11, Y11), (X 12, Y12), ..., (X1n, Y1n), (X 21, Y21), (X 22, Y22),..., (X2n, Y2n), ..., (Xn1, Yn1), (Xn2, Yn2), ..., (Xnn, Ynn) n อิสระ bivariate สุ่มตัวอย่างแต่ละขนาด n จะ2.1 ใช้ SRSEstimators แนะนำอัตราส่วนของประชากรหมายถึง μY ใช้ SRS ตามแรก (ไตรมาสที่ 1) และสาม (q3) quartiles ของ Xตามลำดับ ได้โดยΜˆ YSRS1 = Y¯SRSΜX + ไตรมาสที่ 1¯ XSRS + ไตรมาสที่ 1μˆและ YSRS3 = Y¯SRSΜX + ไตรมาสที่ 3¯ XSRS + ไตรมาสที่ 3, (3)X¯SRS และ Y¯SRS หมายถึงตัวอย่างของ X และ Y ตามลำดับ ตาม SRS สั้น ๆ เราเขียนμˆ YSRSk (k = 1, 3) สำหรับΜˆ YSRS1 และμˆ YSRS3 ตามลำดับ ใช้วิธีการชุดเทย์เลอร์ μˆ YSRSk สามารถหาค่าประมาณเป็นΜˆ YSRSk∼=¯ YSRS −แอล¯ XSRS − ΜX+ LkVk¯ XSRS − ΜX2− Vk¯ XSRS − ΜX¯ YSRS − ΜY, (4)ที่แอล = μYΜX + qkVk และ = 1ΜX + qk. ใช้ประมาณ first-degree ประมาณการได้โดยΜˆ YSRSk∼=¯ YSRS −แอล¯ XSRS − ΜX. (5)ความโน้มเอียงและ MSE ของμˆ YSRSk (k = 1, 3), ตาม ลำดับ เป็นความโน้มเอียงΜˆ YSRSk∼=อี¯ YSRS − Kh¯ XSRS − ΜX− ΜY = 0, (6)และMSEΜˆ YSRSk∼=Var¯ YSRS+ L2kVar¯ XSRS− 2LkCov¯ XSRS, ¯ YSRS∼=Σ2Yn+Σ2XnL2k− 2βLk, (7)ที่ Var¯ YSRS=Σ2Yn, Var¯ XSRS=Σ2Xn β =ρ σYΣXและCov¯ XSRS, ¯ YSRS= E¯ XSRS − ΜX¯ YSRS − ΜY=ΡΣY ΣXn.2.2 การใช้ MRSSวิธีการสุ่มตัวอย่างการตั้งค่าอันดับ (McIntyre, 1952) ได้อธิบายไว้ในขั้นตอนต่อไปนี้:1. สุ่มเลือกหน่วย n2 จากประชากรเป้าหมาย ปันส่วนให้สุ่มเป็นชุด n แต่ละขนาด n2. โดยวิธีใด ๆ ฟรีต้นทุนหรือตรวจสอบภาพ จัดอันดับแต่ละชุดของหน่วย n กับตัวแปรที่น่าสนใจA.I. อัล Omari / สถิติและความน่าเป็นตัวอักษร 82 (2012) 1890 1883-18853. การนับจริง จากชุดระยะเลือกหน่วยระยะจัดอันดับ กระบวนการทั้งหมดสามารถซ้ำ m ครั้งจำเป็นต้องขอรับตัวอย่างขนาดนาโนเมตรเป็นการปรับเปลี่ยน RSS, Muttlak (1997) แนะนำวิธีการสุ่มกำหนดมัธยฐานอันดับ (MRSS) สำหรับการประเมินค่าเฉลี่ยของประชากร ในการศึกษานี้ เราปรับ MRSS ดังนี้:1. เลือก n สุ่มตัวอย่างแต่ละหน่วย bivariate ขนาด n จากประชากรที่น่าสนใจ2.หน่วยภายในแต่ละตัวอย่างมีการจัดอันดับ โดย visual วิธีอิสระกับตัวแปรของต้นทุนการตรวจสอบหรืออื่น ๆดอกเบี้ย3. ถ้า n เป็นคี่ การ n + 12อันดับหน่วย X กับ Y สัมพันธ์กันจากแต่ละชุด เช่น มัธยฐานของแต่ละครั้งน้อยที่สุดตั้งค่า ถ้า n เป็นเลขคู่ จาก n2 แรกเลือกการตั้งค่าn2จัดอันดับหน่วย X กับ Y สัมพันธ์ และ n2 thตั้งค่าการ n + 22th จัดอันดับหน่วย X กับ Y สัมพันธ์4.กระบวนการทั้งหมดได้เวลา m ซ้ำถ้าจำเป็นเพื่อขอรับตัวอย่างของขนาดหน่วย nmSamawi และ Muttlak (1996) พบว่าการจัดอันดับตัวแปร X มีประสิทธิภาพมากกว่าการจัดอันดับในตัวแปร Y ดังนี้ศึกษาที่เราจะพิจารณาจัดอันดับตัวแปรเสริม Xปล่อยให้Xi(1), Yi [1],Xi(2), Yi [2], . . . ,Xi(n), Yi [n]สามารถสั่งสถิติของ Xi1, Xi2,..., ซิ และสั่งพิพากษาของYi1, Yi2,..., หยิน (ฉัน = 1, 2,..., n), ที่()และ [] บ่งชี้ว่า เป็นการจัดอันดับของ X และการจัดอันดับของ Y มีข้อผิดพลาดEstimators MRSS ของประชากรหมายถึง μY ได้รับใช้ไตรมาส 1 และไตรมาสที่ 3 จะได้รับตามลำดับโดยΜˆ YMRSS1 = Y¯MRSSΜX + ไตรมาสที่ 1¯ XMRSS + ไตรมาสที่ 1μˆและ YMRSS3 = Y¯MRSSΜX + ไตรมาสที่ 3¯ XMRSS + ไตรมาสที่ 3. (8)สำหรับหน้าคี่ และแม้แต่ ตัวอย่าง ขนาดเราแสดงหน่วยวัดโดยใช้ MRSS MRSSE และ MRSSO ตามลำดับ ที่วัด MRSSO หน่วยสามารถระบุโดยX 1n + 12 Y1n + 12,X 2n + 12 Y2n + 12, . . . ,Xnn + 12 Ynn + 12และ¯ XMRSSO =1nnฉัน = 1 สิn + 12YMRSSO และ¯ = 1nni= 1 Yin + 12 ด้วยผลต่าง กำหนดตามลำดับVar¯ XMRSSO=1n2nฉัน = 1Varซีอานซีกวนn + 12=1nΣ2Xn + 12และVar¯ YMRSSO=1n2nฉัน = 1Varยีn + 12=1nΣ2Yn + 12มีหน่วยวัด MRSSEX 1 (n2), Y1 [n2],X 2 (n2), Y2 [n2], . . . ,Xn2(n2), Yn2[n2],Xn + 22n + 22 Y n + 22n + 22,Xn + 42n + 22 Y n + 42n + 22, . . . ,Xnn + 22 Ynn + 22ที่¯ XMRSSE =1nn2ฉัน = 1ซีอานซีกวน (n2) +nฉัน = n + 22ซีอานซีกวนn + 22 และ¯ YMRSSE =1nn2ฉัน = 1Yi [n2] +nฉัน = n + 22ยี

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

อัตราส่วนการประมาณประชากรหมายถึงการใช้ข้อมูลสำรองใน
สุ่มเฉลี่ยอันดับชุดตัวอย่าง
B S T R A C T
ในบทความนี้ สองแก้ไขอัตราส่วนประมาณประชากรหมายถึงจะแนะนำให้
ที่แรก หรือ 3 คว ไทล ของตัวแปรเสริม สามารถสร้างเมื่อหมายถึง
ของ ตัวแปรเสริมเป็นที่รู้จักสองตัวอย่างใช้วิธีการประมาณการ
ค่าเฉลี่ยของตัวแปรเสริม ถ้ามันไม่รู้จัก แนะนำให้ตรวจสอบ
ภายใต้อิทธิพลสุ่มแบบง่าย ( SRS ) โดยอันดับของชุดตัวอย่าง ( mrss ) โครงร่าง .
ตัวประมาณใหม่ เมื่อใช้ mrss เมื่อเทียบกับคู่ของพวกเขาภายใต้ SRS .
อคติและความคลาดเคลื่อนกำลังสองเฉลี่ยของประมาณที่เสนอจะได้เป็น ปรากฎว่า
ตัวประมาณไม่เอนเอียง และประมาณ ประมาณ mrss จะมีประสิทธิภาพมากขึ้น
กว่า SRS ตัวประมาณบนพื้นฐานของตัวอย่างขนาดเดียวกัน ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ และ
ควอร์ไทล์ . ชุดข้อมูลที่แท้จริง คือ ใช้ภาพประกอบ .
© 2012 สามารถนำเสนอสงวนลิขสิทธิ์ .
1 บทนำ
แหล่งข้อมูลที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรเสริมว่า มีความสัมพันธ์กับตัวแปรที่สนใจ
Y สามารถใช้เพื่อเพิ่มประสิทธิภาพของตัวประมาณ ที่ใช้บ่อยที่สุดข้อมูลสำรองที่เป็นค่าเฉลี่ยของ
ตัวแปรเสริม อย่างไรก็ตาม ข้อมูลเสริมอื่น ๆที่เกี่ยวข้องกับตัวแปร เช่น ค่ามัธยฐาน ค่า
การเปลี่ยนแปลงหรือสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ที่สามารถใช้เพื่อปรับปรุงประสิทธิภาพของตัวประมาณ และ upadhyaya ซิงห์ ( 1999 )
( อัตราส่วนประมาณสองประเภทเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ของความผันแปรและสัมประสิทธิ์ความโด่งของตัวแปรเสริม
เป็นใช้ได้ jhajj ศรีวัสทวา ( 1981 ) และแนะนำคลาสของตัวประมาณของประชากรหมายถึงสมมติว่า
ค่าเฉลี่ย และค่าความแปรปรวนเป็นที่รู้จักกัน .
ปกติ SRS ตัวประมาณอัตราส่วนของประชากร หมายถึง จากตัวอย่างของขนาด n จะได้รับโดย ysrs = x

μˆμ¯ ysrs ¯ xsrs 



( 1 ) ที่ xsrs ¯ = 1n นิ

 = 1 11 ¯ ysrs = 1n
 ni = 1 ยี ตัวอย่างวิธีการเสริมตัวแปรและตัวแปรของดอกเบี้ย
y ตามลำดับ และμ x , y เป็นμ populationmeans นั้นๆการ approximatemean ความคลาดเคลื่อนกำลังสอง ( MSE ) μˆ ysrs ให้

(

μˆโดย ysrs

∼ =
1 − f
n
2

σ Y R2 σ 2
X − 2R σ XY

( 2 )
ที่ F = nn
, n คือ ขนาดประชากร n คือขนาดตัวอย่าง σ 2
2
X Y และσมีประชากร ความแปรปรวนของตัวแปร Y และ X ,
( r = μ Y / μ x คือ อัตราส่วนประชากร และσ XY คือความแปรปรวนของ x และ y สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมเห็น Cochran ( 1977 )
และ kadilar cingi ( 2004 ) และ ซิงค์ และช่างตัดเสื้อ ( 2546 ) .
e - mail address : alomari_amer @ yahoo com .
0167-7152 / $ และเห็นส่วนหน้า© 2012 นำเสนอเรื่องจากทั้งหมดสงวนสิทธิ์ .
ดอย : 10.1016 / j.spl . 2012.07.001
1884 AI อัล Omari / สถิติและความน่าจะเป็นจดหมาย 82 ( 2012 ) 1883 – 1890
แมคอินไตย์ ( 1952 ) เป็นครั้งแรกเพื่อแนะนำการจัดอันดับชุดตัวอย่าง ( RSS ) ในการประมาณการประชากรของ