Deriving the Synodic Period Formula

Deriving the Synodic Period Formula

Recall that the synodic period is the period of the phases – that is, the time it takes a planet to return to the same position relative to the sun. The sidereal period is the time a planet takes to complete one orbit with respect to the stars or any fixed frame of reference.

If E is the sidereal period of the earth in days, then the earth moves at a rate of 360°/E degrees per day in its orbit. Likewise if P is the sidereal period of a planet, then the planet moves at a rate of 360°/P degrees per day. Let S be the synodic period of the superior planet.

Copernicus correctly assumed that the more distant planets move more slowly in their orbits. So if we begin with the superior planet in opposition, the earth will have to complete one orbit and then go through an additional angle θ to catch up to the planet. Since the amount of time the earth takes to go though θ is S-E, we have θ=(S-E)×(360°/E). See Figure 3 at right. Since the superior planet also goes through θ in time S we can express θ as S×(360°/P). Equating these two expressions for θ we have
formula derive

which we can simplify to get Copernicus's result:
formula superior

For an inferior planet we can just interchange P and E since earth would have the outer orbit. This gives Copernicus's formula for inferior planets:
formula inferior

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

บริษัทฯ Synodic สูตรรอบระยะเวลาเรียกคืนระยะ synodic เป็นระยะระยะ – คือ เวลาโลกกลับไปยังตำแหน่งเดียวกันเมื่อเทียบกับดวงอาทิตย์ ระยะ sidereal เป็นเวลาดาวเคราะห์ใช้ในวงโคจรเดียวกับดวงดาวหรือกรอบอ้างอิงใด ๆ คงถ้าเป็นโลกระยะ sidereal วัน แล้วโลกย้ายอัตรา 360 °องศา /E ต่อวันในวงโคจรของมัน ในทำนองเดียวกัน ถ้า P คือ ระยะเวลาดาวเคราะห์ sidereal แล้วโลกย้ายอัตรา 360 °องศา /P ต่อวัน ให้ S เป็นระยะ synodic โลกห้องซูพีเรียโคเปอร์นิคัสถูกต้องสันนิษฐานว่า ดาวเคราะห์ห่างไกลมากขึ้นย้ายช้าในวงโคจรของพวกเขา ดังนั้น ถ้าเราเริ่มต้น ด้วยดาวเคราะห์ห้องในการต่อต้าน โลกจะมีวงโคจรหนึ่ง และผ่านθเป็นมุมเพิ่มเติมให้ทันกับโลก ตั้งแต่ระยะเวลาที่ โลกใช้หาว่าθ S-E เรามี θ=(S-E)×(360°/E) ดูรูปที่ 3 ขวา เนื่องจากดาวเคราะห์ห้องยังไปผ่านθใน S เราสามารถแสดงθเป็น S×(360°/P) Equating นิพจน์เหล่านี้สองสำหรับθเรามีสูตรมาที่เราจะได้รับผลของโคเปอร์นิคัส:ห้องสูตรสำหรับดาวเคราะห์น้อยเราสามารถเพียงแลกเปลี่ยน P และ E เนื่องจากโลกได้โคจรภายนอก ซึ่งทำให้สูตรของโคเปอร์นิคัสในดาวเคราะห์น้อย:สูตรน้อย

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ที่ได้รับสูตรระยะเวลา synodic จำได้ว่าช่วงเวลา synodic คือระยะเวลาของขั้นตอน - นั่นคือเวลาที่ใช้ในดาวเคราะห์เพื่อกลับไปยังญาติตำแหน่งเดียวกันกับดวงอาทิตย์ ช่วงเวลานี้เป็นเวลาที่ดาวฤกษ์ดาวเคราะห์จะใช้เวลาที่จะเสร็จสมบูรณ์วงโคจรหนึ่งที่เกี่ยวกับดาวหรือกรอบใด ๆ คงที่ของการอ้างอิง. ถ้า E เป็นระยะเวลาดาวฤกษ์ของโลกในวันแล้วย้ายดินในอัตรา 360 ° / E องศา ต่อวันในวงโคจรของมัน ในทำนองเดียวกันถ้า P เป็นช่วงดาวฤกษ์ของดาวเคราะห์แล้วดาวเคราะห์เคลื่อนในอัตรา 360 ° / P องศาต่อวัน ให้ S เป็นระยะเวลา synodic ของดาวเคราะห์ที่เหนือกว่า. โคเปอร์นิคัอย่างถูกต้องสันนิษฐานว่าดาวเคราะห์ที่ห่างไกลมากขึ้นย้ายช้าลงในวงโคจรของพวกเขา ดังนั้นหากเราเริ่มต้นด้วยดาวเคราะห์ที่เหนือกว่าในการต่อต้านโลกจะมีการดำเนินการอย่างใดอย่างหนึ่งวงโคจรแล้วไปผ่านมุมθเพิ่มเติมที่จะจับขึ้นไปยังดาวเคราะห์ ตั้งแต่เวลาที่โลกจะไปแม้ว่าθคือ SE, เราได้θ = (SE) × (360 ° / E) ดูรูปที่ 3 ที่ด้านขวา เนื่องจากดาวเคราะห์ที่เหนือกว่าผ่านไปθในเวลา S เราสามารถแสดงความθเป็น S × (360 ° / P) เท่ากันทั้งสองแสดงออกสำหรับθเรามีสูตรได้รับมาซึ่งเราสามารถลดความซับซ้อนที่จะได้รับผลของโคเปอร์นิคั: สูตรที่เหนือกว่าสำหรับดาวเคราะห์ที่ด้อยกว่าเราก็สามารถแลกเปลี่ยน P และ E ตั้งแต่โลกนี้จะมีวงโคจรรอบนอก นี้จะช่วยให้สูตรของโคเปอร์นิคัดาวเคราะห์ด้อย: สูตรด้อยกว่า

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ผลการ synodic ระยะเวลาสูตร

จำได้ว่า synodic ระยะเวลาระยะเวลาของขั้นตอน–นั่นคือเวลาใช้ดาวเคราะห์เพื่อกลับไปยังตำแหน่งที่สัมพันธ์กับดวงอาทิตย์เหมือนกัน เวลาดาราคติ คือเวลาที่ดาวเคราะห์ใช้หนึ่งสมบูรณ์วงโคจรที่มีต่อดาว หรือกำหนดกรอบอ้างอิง

ถ้า E เป็นดวงดาว ระยะเวลาของโลกในวันแล้วโลกเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว 360 องศา / E องศาต่อวันในโคจร อนึ่งถ้า p คือระยะเวลาเกี่ยวกับดาวฤกษ์ของดาวเคราะห์ , ดาวเคราะห์เคลื่อนที่ในอัตรา 360 องศา / p องศาต่อวัน ให้มีระยะเวลา synodic ของดาวเคราะห์ที่เหนือกว่า

โคเปอร์นิคัสอย่างถูกต้องว่ายิ่งห่างไกลดาวเคราะห์เคลื่อนที่ช้าลงในวงโคจร . ดังนั้น หากเราเริ่มต้นกับดาวเคราะห์ที่เหนือกว่าในการต่อต้านโลกจะต้องเสร็จสมบูรณ์หนึ่งวงโคจรและจากนั้นไปผ่านการθมุมเพิ่มเติมเพื่อให้ทันกับโลก เนื่องจากระยะเวลาที่โลกใช้ไปถึงθเป็น s-e เรามีθ = ( s-e ) × ( 360 ° / E ) ดูรูปที่ 3 ครับ เนื่องจากดาวเคราะห์ที่เหนือกว่าก็ต้องผ่านθในเวลาที่เราสามารถแสดงθเป็น S × ( 360 ° / P ) โครงสร้างเหล่านี้สองนิพจน์สำหรับθเรามี

สูตรได้รับซึ่งเราสามารถลดความซับซ้อนเพื่อให้ได้ผลสูตรที่เหนือกว่าของ โคเปอร์นิคัส


สำหรับดาวเคราะห์ที่ด้อยกว่าเราสามารถแลกเปลี่ยน P E ตั้งแต่โลกมีวงโคจรรอบนอก นี้จะช่วยให้สูตรโคเปอร์นิคัสเป็นดาวเคราะห์วงใน :
สูตรด้อยกว่า