Axioms of ProbabilityDaniel MyersTh

Axioms of Probability
Daniel Myers
The goal of probability theory is to reason about the outcomes of experiments. Here, experiment is an
extremely general term that encompasses pretty much any observation we might care to make about the
world.
The basic mathematical construction we’re interested in is the probability space, which has three components:
• the sample space,
, which is the set of all possible outcomes of the experiment
• the collection of events, F, the set of outcomes of the experiment we wish to reason about
• the probability measure, P, which assigns probabilities to the events in F
An individual event, E 2 F, is a subset of the sample space. If ! 2
is the outcome of an experiment and
! 2 E, we say that event E has occurred.
It’s intuitive to define P(E), the probability of event E, as the fraction of occurrence of E. That is, if we
perform our experiment N times, and NE of those trials result in event E occurring, we could say
P(E) = lim
N!1
NE
N
.
This definition is intuitively reasonable, but makes several technical assumptions about the existence of
the limit and the fact that the ratio converges to a single value for all possible sequences of experimental
outcomes.
Rather than make those kinds of assumptions, modern probability theorists prefer to define a more basic set
of axioms (assumptions) about the nature of the probability measure P. Using these axioms, we can then
derive more complex results, including the intuitive definition of probability as a fraction of occurrence.
The three Axioms of Probability are:
1. 0  P(E)  1
2. P(
) = 1
3. If E and F are mutually exclusive events, P(E [ F) = P(E) + P(F)
The first axiom states that the probability of an event is a number between 0 and 1. This is in keeping with
our intuitive definition of probability as a fraction of occurrence.
The second axiom states that the event described by the entire sample space has probability of 1. If ! is the
outcome of an experimental trial, then ! 2
, by the definition of the sample space, so the event described
by
must occur on every trial. Intuitively, we can say that every experiment we perform must yield some
kind of result, and that result must be in the sample space, so the “event” described by the sample space is
so general that it must always occur.

The third axiom describes how to combine the probabilities of mutually exclusive (also called disjoint) events.
Intuitively, if E and F cannot occur at the same time, then the fraction of time that E or F occurs is the
sum of the fractions of time that E and F occur individually.
Random Variables
Very often, we’re less interested in the outcome of an experiment than we are in the value of some function
calculated from the outcome. For example, we may roll two dice and add their faces, or flip coins and count
the number of heads that occur. In games of chance, the “events” may correspond to the fall of the dice, the
spin of a wheel, or the play of cards, but we’re primarily interested in how much money is won or lost on
each play. In computer systems, we may be interested in measuring the latency of a request, which depends
in a complex way on the state of the system while the request is being processed.
A random variable (RV) is a function that associates a number with the outcome of an experiment. More
formally, it is real-valued function defined on the sample space. For the most part, we’ll prefer to reason
about random variables without worrying about the details of the underlying probability space.
Finally, recall that we wanted to develop the theory of probability to reason about the outcomes of experiments.
The Axioms of Probability gave us the tools we needed to do this. Because the value taken by
a random variable depends on the outcome of an experiment, we can also use probability to reason about
random variables. The set of probabilities associated with the values of a random variable is called the
distribution of the variable. Describing the distribution of a RV totally summarizes its behavior and allows
us to draw inferences about it.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

สัจพจน์ของความน่าเป็นไมเยอร์ Danielเป้าหมายของทฤษฎีความน่าเป็นเหตุผลเกี่ยวกับผลของการทดลองได้ ที่นี่ การทดลองเป็นการศัพท์ทั่วไปมากที่สวยมากสังเกตใด ๆ ที่เราอาจสนใจที่จะทำ การโลกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์พื้นฐานที่เราสนใจคือ พื้นที่น่าเป็น ซึ่งมีสามองค์ประกอบ:•พื้นที่ตัวอย่าง ซึ่งเป็นชุดของผลลัพธ์ที่ได้ทั้งหมดของการทดลอง•ชุดของเหตุการณ์ F ชุดของผลลัพธ์ของการทดสอบที่เราต้องการเหตุผลเกี่ยวกับ•วัดความน่าเป็น P กำหนดน่าจะเหตุการณ์ใน Fแต่ละกิจกรรม E 2 F เป็นเซตย่อยของพื้นที่ตัวอย่าง ถ้า 2 ผลของการทดลอง และ! 2 E เราบอกว่า เกิดเหตุการณ์ Eมันได้ง่ายที่กำหนด P(E) ความน่าเป็นของเหตุการณ์ E เป็นเศษส่วนของการเกิดของอี คือ ถ้าเราทำของเราทดลอง N ครั้ง และ NE ที่ผลการทดลองในเหตุการณ์ E เกิดขึ้น เราอาจพูดได้ว่าP(E) = limN ! 1NEN.คำนิยามนี้ได้อย่างง่ายดายสม แต่ทำให้สมมติฐานหลายเทคนิคที่เกี่ยวกับการดำรงอยู่ของขีดจำกัดและความจริงที่ว่า อัตราส่วนแร็คเป็นค่าเดียวสำหรับทั้งหมดได้ลำดับการทดลองผลลัพธ์ที่แทนที่ทำให้ชนิดของสมมติฐาน ทฤษฎีความน่าเป็นสมัยใหม่ต้องการกำหนดการตั้งค่าพื้นฐานของสัจพจน์ (สมมติฐาน) เกี่ยวกับธรรมชาติของการวัดความน่าเป็นใช้ P. สัจพจน์เหล่านี้ เราสามารถแล้วได้รับผลลัพธ์ที่ซับซ้อนมากขึ้น รวมทั้งคำที่ใช้งานง่ายของความน่าจะเป็นส่วนของการเกิดที่สามสัจพจน์ของความน่าจะเป็น:1 P(E) 0 12. P () = 13. ถ้า E และ F เป็นเหตุการณ์ร่วมกัน P (E [F) = P(E) + P(F)สัทพจน์แรกแจ้งว่า น่าเป็นของเหตุการณ์ที่มีเป็นจำนวนระหว่าง 0 และ 1 เป็น keeping ด้วยคำจำกัดความของเราใช้งานง่ายน่าเป็นเป็นส่วนย่อยของเหตุการณ์สัจพจน์ที่สองระบุว่า เหตุการณ์โดยพื้นที่ตัวอย่างทั้งหมดมีความน่าเป็น 1 ถ้า เป็นการผลของการทดลองทดลอง แล้ว 2 โดยการกำหนดพื้นที่ตัวอย่าง ดังนั้นเหตุการณ์อธิบายไว้โดย ต้องเกิดขึ้นในการทดลองทุก ธรรมชาติ เราสามารถพูดได้ว่า ทุกการทดลองเราต้องผลผลิตบางส่วนชนิดของผลลัพธ์ และว่า ผลต้องอยู่ในพื้นที่ตัวอย่าง ดังนั้น "เหตุการณ์" โดยพื้นที่ตัวอย่างคือทั่วไปดังนั้นที่มันต้องเกิดขึ้นเสมอสัจพจน์ที่สามอธิบายวิธีการรวมน่าจะของร่วมกัน (เรียกว่าตัว) เหตุการณ์นี้ธรรมชาติ E และ F ไม่สามารถเกิดขึ้นในเวลาเดียวกัน แล้วสัดส่วนของเวลาที่ E หรือ F เกิดขึ้นว่าการผลรวมของเศษส่วนของเวลาที่ E และ F เกิดขึ้นแต่ละรายการตัวแปรสุ่มบ่อย เราสนใจน้อยในผลของการทดลองกว่าเราอยู่ในค่าฟังก์ชั่นบางอย่างคำนวณจากผล ตัวอย่างเช่น เราอาจม้วนลูกเต๋าสอง และเพิ่มใบหน้าของพวกเขา หรือพลิกเหรียญและนับจำนวนจำนวนหัวที่เกิดขึ้น ในเกมของโอกาส "เหตุการณ์" อาจตรงกับฤดูใบไม้ร่วงของลูกเต๋า การหมุนของล้อ เล่นไพ่ แต่เราสนใจหลักจำนวนเงินที่ชนะ หรือแพ้ในเล่นละ ในระบบคอมพิวเตอร์ เราอาจจะสนใจในการวัดเวลาแฝงของการร้องขอ ซึ่งขึ้นกับในทางที่ซับซ้อนบนสถานะของระบบในขณะที่การร้องขอที่จะถูกประมวลผลตัวแปรสุ่ม (RV) เป็นฟังก์ชันที่เชื่อมโยงตัวเลขกับผลของการทดลอง เพิ่มเติมอย่างเป็นทางการ เป็นฟังก์ชันค่าจริงกำหนดในพื้นที่ตัวอย่าง ส่วนใหญ่ เราจะต้องการเหตุผลเกี่ยวกับตัวแปรสุ่มโดยไม่ต้องกังวลเกี่ยวกับรายละเอียดของพื้นที่ความน่าเป็นต้นแบบในที่สุด เรียกว่า เราต้องพัฒนาทฤษฎีความน่าเป็นเหตุผลประการเกี่ยวกับผลของการทดลองสัจพจน์ของความน่าเป็นให้เราเครื่องมือที่เราต้องการทำเช่นนี้ เนื่องจากค่าดำเนินการโดยตัวแปรสุ่มขึ้นอยู่กับผลของการทดลอง นอกจากนี้เรายังสามารถใช้ความน่าเป็นเหตุผลประการเกี่ยวกับตัวแปรสุ่ม เรียกว่าชุดน่าจะเกี่ยวข้องกับค่าของตัวแปรสุ่มการกระจายของตัวแปร อธิบายการกระจายของ RV สรุปลักษณะการทำงานทั้งหมด และช่วยให้เราวาด inferences เกี่ยวกับมัน

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

หลักการของความน่าจะเป็น
แดเนียลไมเออร์
เป้าหมายของทฤษฎีความน่าจะเป็นที่จะให้เหตุผลเกี่ยวกับผลของการทดลอง นี่คือการทดลองเป็น
คำทั่วไปที่ครอบคลุมมากสวยมากสังเกตใด ๆ ที่เราอาจจะสนใจที่จะทำเกี่ยวกับ
โลก.
การก่อสร้างพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ที่เราสนใจในพื้นที่น่าจะเป็นซึ่งมีสามองค์ประกอบ:
•เนื้อที่ตัวอย่าง
ซึ่งเป็น ชุดของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลอง
•คอลเลกชันของเหตุการณ์, F, ชุดของผลการทดลองที่เราต้องการที่จะให้เหตุผลเกี่ยวกับการ
•ตัวชี้วัดความน่าจะเป็น, P, ซึ่งกำหนดความน่าจะเป็นที่จะมีเหตุการณ์ในแบบ F
แต่ละกิจกรรมอี 2 F, เป็นส่วนหนึ่งของพื้นที่ตัวอย่าง หาก! 2
เป็นผลของการทดลองและ
! 2 E เราบอกว่าเหตุการณ์ E เกิดขึ้น.
มันเป็นเรื่องง่ายที่จะกำหนด P (E) น่าจะเป็นของเหตุการณ์ E ที่เป็นส่วนของการเกิดขึ้นของอีนั่นคือถ้าเรา
ดำเนินการทดลองครั้ง N ของเราและตะวันออกเฉียงเหนือของการทดลองเหล่านั้น ผลในกรณี E เกิดขึ้นเราอาจจะบอกว่า
P (E) = Lim
N 1
NE
N
.
คำนิยามนี้เป็นที่เหมาะสมสังหรณ์ใจ แต่ทำให้สมมติฐานทางเทคนิคหลายประการเกี่ยวกับการดำรงอยู่ของ
ขีด จำกัด และความจริงที่ว่าอัตราส่วนลู่เป็นค่าเดียวสำหรับ วนเวียนไปได้ทั้งหมดของการทดลอง
ผล.
แทนที่จะทำให้ชนิดของสมมติฐานทฤษฎีความน่าจะเป็นที่ทันสมัยชอบที่จะกำหนดชุดพื้นฐานเพิ่มเติม
ของสัจพจน์ (สมมติฐาน) เกี่ยวกับธรรมชาติของการวัดความน่าจะเป็นพีใช้หลักการเหล่านี้เราแล้วที่สามารถ
ได้ผลลัพธ์ที่ซับซ้อนมากขึ้น . รวมทั้งคำนิยามที่ใช้งานง่ายของความน่าจะเป็นส่วนของการเกิด
สามสัจพจน์ของความน่าจะเป็น:
1 0? วิชาพลศึกษา) ? 1
2 P (
) = 1
3. หาก E และ F มีการจัดกิจกรรมพิเศษร่วมกัน, P (E [F) = P (E) + P (F)
รัฐจริงครั้งแรกว่าน่าจะเป็นของเหตุการณ์เป็นตัวเลขระหว่าง 0 และนี่คือ 1. ในการรักษาด้วย
ความหมายที่ใช้งานง่ายของเราของความน่าจะเป็นส่วนของการเกิดขึ้นได้.
สัจพจน์ที่สองระบุว่าเหตุการณ์ที่อธิบายโดยพื้นที่ตัวอย่างทั้งมีความน่าจะเป็น 1. ถ้า! เป็น
ผลจากการทดลองแล้ว! 2
โดยความหมายของพื้นที่ตัวอย่างเพื่อให้เหตุการณ์ที่อธิบายไว้
โดย
จะต้องเกิดขึ้นในทุกการทดลอง สังหรณ์ใจเราสามารถพูดได้ว่าการทดลองเราดำเนินการทุกคนต้องให้ผลผลิตบาง
ชนิดของผลและผลที่จะต้องอยู่ในพื้นที่ตัวอย่างดังนั้น "เหตุการณ์" อธิบายโดยพื้นที่ตัวอย่างเป็น
หลักทั่วไปว่ามันก็ต้องเกิดขึ้น. ที่สามความจริงอธิบาย วิธีการรวมน่าจะเป็นของพิเศษร่วมกัน (เรียกว่ายังไม่เป็นสมาชิกร่วม) เหตุการณ์ที่เกิดขึ้น. สัญชาตญาณถ้า E และ F ไม่สามารถเกิดขึ้นในเวลาเดียวกันแล้วส่วนของเวลาที่ E หรือ F เกิดขึ้นเป็นผลรวมของเศษของเวลานั้นอีและเอฟ เกิดขึ้นเป็นรายบุคคล. ตัวแปรสุ่มมากมักจะเราไม่สนใจในผลของการทดสอบกว่าที่เราอยู่ในค่าของฟังก์ชั่นบางอย่างที่คำนวณจากผล ตัวอย่างเช่นเราอาจม้วนสองลูกเต๋าและเพิ่มใบหน้าของพวกเขาหรือพลิกเหรียญและนับจำนวนหัวที่เกิดขึ้น ในเกมของโอกาส "เหตุการณ์" อาจสอดคล้องกับการล่มสลายของลูกเต๋าที่หมุนของล้อหรือเล่นไพ่ แต่เราสนใจเป็นหลักในการใช้เงินเท่าไหร่จะชนะหรือแพ้ในการเล่นแต่ละ ในระบบคอมพิวเตอร์ที่เราอาจจะมีความสนใจในการวัดความล่าช้าของการร้องขอซึ่งขึ้นอยู่ในทางที่ซับซ้อนเกี่ยวกับสถานะของระบบในขณะที่การร้องขอจะถูกประมวลผล. ตัวแปรสุ่ม (RV) เป็นฟังก์ชั่นที่เชื่อมโยงหมายเลขที่มีการ ผลของการทดลอง เพิ่มเติมอย่างเป็นทางการก็เป็นจริงมูลค่าฟังก์ชั่นกำหนดไว้ในพื้นที่ตัวอย่าง ส่วนใหญ่เราจะต้องการที่จะให้เหตุผลเกี่ยวกับตัวแปรสุ่มโดยไม่ต้องกังวลเกี่ยวกับรายละเอียดของพื้นที่ที่น่าจะเป็นพื้นฐาน. สุดท้ายจำได้ว่าเราต้องการที่จะพัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็นในการให้เหตุผลเกี่ยวกับผลของการทดลอง. หลักการของความน่าจะเป็นให้ เรามีเครื่องมือที่เราต้องการจะทำเช่นนี้ เนื่องจากค่าที่ถ่ายโดยตัวแปรสุ่มขึ้นอยู่กับผลของการทดสอบนี้เรายังสามารถใช้ความน่าจะเป็นที่จะให้เหตุผลเกี่ยวกับตัวแปรสุ่ม ชุดของความน่าจะเกี่ยวข้องกับค่าของตัวแปรสุ่มที่เรียกว่าการกระจายของตัวแปร อธิบายการกระจายของ RV ที่ทั้งหมดสรุปพฤติกรรมของมันและช่วยให้เราสามารถวาดข้อสรุปเกี่ยวกับเรื่องนี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

สัจพจน์ของความน่าจะเป็นแดเนียลเมเยอร์สเป้าหมายของทฤษฎีความน่าจะเป็นเหตุผลเกี่ยวกับผลลัพธ์ของการทดลอง ที่นี่ ทดลอง คือคำทั่วไปที่ครอบคลุมมาก สวยมากๆ สังเกต เราอาจดูแลเพื่อให้เกี่ยวกับโลกการสร้างพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ที่เราสนใจคือความน่าจะเป็นที่ว่าง ซึ่งมี 3 องค์ประกอบ ได้แก่- ตัวอย่างพื้นที่ซึ่งคือเซตของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลอง- คอลเลกชันของเหตุการณ์ , F , ชุดของผลลัพธ์ของการทดลอง เราต้องให้เหตุผลกับ- น่าจะเป็นวัด P ซึ่งกำหนดความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ในเอฟงานบุคคล , E 2 F , เป็นเซตย่อยของปริภูมิตัวอย่าง . ถ้า ! 2ผลการทดลอง และ! 2 E , เรากล่าวว่าเหตุการณ์ E เกิดขึ้นมันง่ายที่จะกำหนด P ( E ) , ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E ที่เป็นส่วนของการเกิดขึ้นของ E . นั่นคือ ถ้าเราดำเนินการทดลองของเรา n ครั้ง และ NE ความยากลำบากส่งผลในเหตุการณ์ E เกิดขึ้น เราอาจพูดได้ว่าP ( E ) = ลิมที่อยู่ 1เน่n.คำนิยามนี้เป็นที่เหมาะสมหยั่งรู้ แต่ทำให้หลายเทคนิคสมมติฐานเกี่ยวกับการดำรงอยู่ของขีด จำกัด และความจริงที่ว่าอัตราส่วนเข้าสู่ค่าเดี่ยวยีนที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองผลลัพธ์มากกว่าที่จะให้ชนิดของสมมติฐาน , นักทฤษฎีความน่าจะเป็นสมัยใหม่ต้องการกำหนดชุดพื้นฐานเพิ่มเติมของสัจพจน์ ( สมมติฐาน ) เกี่ยวกับธรรมชาติของวัดความน่าจะเป็นหน้าโดยใช้หลักการเหล่านี้เราสามารถแล้วได้รับผลลัพธ์ที่ซับซ้อนมากขึ้น รวมถึงความละเอียดใช้งานง่ายของความน่าจะเป็นเป็นส่วนย่อยของเหตุการณ์สามสัจพจน์ของความน่าจะเป็นคือ1 . 0 P ( E ) 12 . P () = 13 . ถ้า E และ F เป็นเหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน , P ( E [ f ) = P ( E ) + P ( F )ความจริงแรกระบุว่า ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นเลขระหว่าง 0 และ 1 นี้ในการรักษากับของเราใช้งานง่ายนิยามของความน่าจะเป็นเป็นส่วนย่อยของเหตุการณ์ความจริงที่สองระบุว่า เหตุการณ์ที่อธิบายโดยพื้นที่ตัวอย่างทั้งหมดมีความน่าจะเป็น 1 ถ้า ! คือผลของการทดลอง ทดลองแล้ว ! 2โดยนิยามของพื้นที่ตัวอย่างเพื่ออธิบายเหตุการณ์โดยต้องเกิดขึ้นในทุกการทดลอง สังหรณ์ใจ , เราสามารถพูดได้ว่าทุกการทดลอง เราปฏิบัติต้องผลผลิตบางส่วนชนิดของผล และผลจะต้องอยู่ในพื้นที่ตัวอย่าง ดังนั้น " เหตุการณ์ " บรรยายโดยพื้นที่ตัวอย่างคือเพื่อทั่วไปที่มันต้องเกิดขึ้นสัจพจน์ที่ 3 อธิบายถึงวิธีการรวมค่าความน่าจะเป็นของพิเศษร่วมกัน ( เรียกว่าไม่ต่อเนื่อง ) เหตุการณ์สังหรณ์ใจ ถ้า E และ F ไม่สามารถเกิดขึ้นในเวลาเดียวกัน แล้วเศษเสี้ยวของเวลาที่ E หรือ F เกิดขึ้นคือผลบวกของเศษส่วนของเวลาที่ E และ F เกิดขึ้นเป็นรายบุคคลตัวแปรสุ่มมากมักจะ , เราไม่สนใจในผลของการทดลองมากกว่าเราในค่าของฟังก์ชันคำนวณจากผล ตัวอย่างเช่นเราอาจจะม้วนสองลูกเต๋า ใส่ใบหน้าของพวกเขา , หรือเหรียญพลิก และนับจำนวนของหัวที่เกิดขึ้น ในเกมของโอกาส , " เหตุการณ์ " จะสอดคล้องกับการล่มสลายของลูกเต๋า ,การหมุนของล้อ หรือเล่นของบัตร แต่เราสนใจเป็นหลักในเท่าใดเงินจะชนะหรือแพ้ในเล่นแต่ละ ในระบบคอมพิวเตอร์เราอาจจะสนใจในการวัดศักยภาพของการร้องขอ ซึ่งขึ้นอยู่ในทางที่ซับซ้อนในสถานะของระบบในขณะที่การร้องขอจะถูกประมวลผลตัวแปรสุ่มเป็นฟังก์ชัน ( RV ) ว่า สมาคมเลขกับผลการทดลอง เพิ่มเติมอย่างเป็นทางการ เป็นฟังก์ชันค่าจริงที่ระบุไว้ในตัวอย่างพื้นที่ ส่วนใหญ่เราจะชอบเหตุผลตัวแปรเกี่ยวกับการสุ่มโดยไม่ต้องกังวลเกี่ยวกับรายละเอียดของต้นแบบโอกาสพื้นที่สุดท้าย จำได้ว่า เราต้องการที่จะพัฒนาทฤษฎีของความน่าจะเป็นเหตุผลเกี่ยวกับผลลัพธ์ของการทดลองสัจพจน์ของความน่าจะเป็นให้เครื่องมือที่เราจำเป็นต้องทำ เพราะค่าถ่ายโดยตัวแปรสุ่มขึ้นอยู่กับผลของการทดลอง นอกจากนี้เรายังสามารถใช้ความน่าจะเป็นเหตุผลเกี่ยวกับตัวแปรสุ่ม . ชุดของความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องกับค่าของตัวแปรที่เรียกว่าการแจกแจงของตัวแปร อธิบายการกระจายของ RV ทั้งหมดสรุปพฤติกรรมของมันและช่วยให้เราวาดข้อสรุปเกี่ยวกับมัน