Now that the stiffness matrix is de

Now that the stiffness matrix is defined, we can directly apply
this result to the pertaining equations to solve for the natural
frequencies and stress / strain distributions.
The natural frequency is calculated using the equation below
for an undamped finite element model [6].
ሺെ߱ଶࡹெே ൅ ࡷெேሻ߶ே ൌ 0 (5)
In this equation, ω equals the natural frequency (with the
corresponding vibrational mode), MMN equals mass matrix
derived from input density values (symmetric and positive),
KMN equals stiffness matrix, ФN equals eigenvector (mode of
vibration), and M and N equal the degrees of freedom. These
fundamental concepts are the basis of the natural frequency
analysis for this study.
III. RESULTS
Fig. 1 shows the results obtained from the finite element
model analysis. The critical results indicated are that the
natural frequency (mode 1) for the femur is 23.574 Hz and
12.085 Hz for the tibia. Fig. 1 also visually shows the degree
of deformation for the tibia and femur sample under the first
bending mode. It is clear that the majority of the deformation
takes place in the center regions of both samples.
(a)
(b) (c)
Figure 1: (a) Natural frequency results for the hind leg sample. Deformation
results under the first bending mode for the tibia (b) and the femur (c).
IV. DISCUSSION
Ultimately, the natural frequency values for the
femur indicated very similar results to current literature (for
the first two bending modes). Kim et al. reported a natural
frequency of approximately 23 Hz for normal mouse femur
sample using experimental methods [7]. This indicates the
validity of the computational model and approach for this
study. Zhang et al. showed that joint loading applied at
difference frequencies resulted in different levels of bone
growth [3]. Furthermore, these researchers presented a range
of optimal loading frequencies that coincide with results
shown in this study. By using the model in this study and the
preliminary results, future studies can be done by applying
frequency dependent loads that target frequencies close to the
natural frequencies of the bone sample. This will serve as an
experimental verification of our results. Although the analyses
show promising results, there are several limitations that need
to be addressed in order to express a more accurate set of
studies. The first important limitation is the isotropic behavior
and the uniform density across the sample, as real bone is an
anisotropic material. Another key assumption being made is
that the model consists solely of bone. In reality, bone consists
of various mesynchymal tissue, interstitial fluids, minerals,
fibrous tissue and other bone cells. However, these new
parameter inputs would provide interesting results that may
move us closer to bone conditions in vivo. Finally, in order to
verify our results, experimentation on numerous samples that
present statically significant values would be required. This
presents an opportunity for future research where experimental
results can be compared to the computational model presented
in this study.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

กำหนดเมตริกซ์ความแข็ง ที่เราสามารถตรงใช้ผลลัพธ์นี้กับสมการ pertaining เพื่อหาธรรมชาติความถี่และความเครียด / การกระจายสายพันธุ์ความถี่ธรรมชาติจะคำนวณโดยใช้สมการด้านล่างสำหรับ undamped ไนต์แบบจำลอง [6]ሺെ߱ଶࡹெே൅ࡷெேሻ߶ேൌ 0 (5)ในสมการนี้ ωเท่ากับความถี่ธรรมชาติ (ด้วยการเกี่ยวข้อง vibrational โหมด), เมตริกซ์โดยรวมเท่ากับ MMNมาจากค่าความหนาแน่นของสัญญาณ (สมมาตร และเป็นบวก),เมตริกซ์ความแข็งเท่ากับ KMN, eigenvector (โหมดของเท่ากับ ФNสั่นสะเทือน), และ M และ N เท่ากับองศาความเป็นอิสระ เหล่านี้แนวคิดพื้นฐานที่เป็นพื้นฐานของความถี่ธรรมชาติการวิเคราะห์สำหรับการศึกษานี้III. ผลลัพธ์Fig. 1 แสดงผลได้รับจากองค์ประกอบจำกัดการวิเคราะห์แบบจำลอง ระบุผลลัพธ์สำคัญอยู่ที่การความถี่ธรรมชาติ (โหมด 1) สำหรับกระดูกต้นขามี 23.574 Hz และHz 12.085 สำหรับกระดูกแข้ง Fig. 1 ยังเห็นแสดงระดับของแมพสำหรับตัวอย่างกระดูกแข้งและกระดูกต้นขาใต้ครั้งแรกดัดโหมด ชัดว่าเป็นแมพที่ส่วนใหญ่เกิดขึ้นในภูมิภาคศูนย์ทั้งสองอย่าง(a)(b) (c)รูปที่ 1: ความถี่ (ก) ธรรมชาติผลลัพธ์สำหรับตัวอย่างขาหลัง แมพผลลัพธ์ภายใต้โหมดดัดครั้งแรก (b) กระดูกแข้งและกระดูกต้นขา (c)IV. สนทนาในที่สุด ความถี่ธรรมชาติค่าสำหรับการกระดูกต้นขาระบุผลลัพธ์คล้ายกับวรรณกรรมปัจจุบัน (สำหรับthe first two bending modes). Kim et al. reported a naturalfrequency of approximately 23 Hz for normal mouse femursample using experimental methods [7]. This indicates thevalidity of the computational model and approach for thisstudy. Zhang et al. showed that joint loading applied atdifference frequencies resulted in different levels of bonegrowth [3]. Furthermore, these researchers presented a rangeof optimal loading frequencies that coincide with resultsshown in this study. By using the model in this study and thepreliminary results, future studies can be done by applyingfrequency dependent loads that target frequencies close to thenatural frequencies of the bone sample. This will serve as anexperimental verification of our results. Although the analysesshow promising results, there are several limitations that needto be addressed in order to express a more accurate set ofstudies. The first important limitation is the isotropic behaviorand the uniform density across the sample, as real bone is ananisotropic material. Another key assumption being made isthat the model consists solely of bone. In reality, bone consistsof various mesynchymal tissue, interstitial fluids, minerals,fibrous tissue and other bone cells. However, these newparameter inputs would provide interesting results that maymove us closer to bone conditions in vivo. Finally, in order toverify our results, experimentation on numerous samples thatค่าสำคัญฟิกแบบคงที่แสดงว่าจะต้อง นี้นำเสนอโอกาสสำหรับการวิจัยในอนาคตทดลองสามารถเปรียบเทียบแบบจำลองคอมพิวเตอร์ที่แสดงผลในการศึกษานี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ตอนนี้ที่เมทริกซ์ความแข็งที่ถูกกำหนดให้เราโดยตรงสามารถใช้ผลนี้สมการที่เกี่ยวข้องในการแก้สำหรับธรรมชาติความถี่และความเครียด/ กระจายสายพันธุ์. ความถี่ธรรมชาติจะคำนวณโดยใช้สมการด้านล่างสำหรับรูปแบบองค์ประกอบ จำกัด undamped [6]. ሺെ߱ଶ ࡹெே൅ࡷெேሻ߶ேൌ 0 (5) ในสมการนี้ωเท่ากับความถี่ธรรมชาติ (ที่มีโหมดการสั่นที่สอดคล้องกัน) MMN เท่ากับมวลเมทริกซ์ที่ได้มาจากค่าความหนาแน่นของอินพุท(สมมาตรและบวก), KMN เท่ากับเมทริกซ์ตึงФN เท่ากับวิคเตอร์(โหมดของการสั่นสะเทือน) และ M และ n เท่ากับองศาของเสรีภาพ เหล่านี้แนวคิดพื้นฐานเป็นพื้นฐานของความถี่ธรรมชาติวิเคราะห์สำหรับการศึกษานี้. III ผลมะเดื่อ 1 แสดงผลที่ได้รับจากองค์ประกอบ จำกัดการวิเคราะห์แบบจำลอง ผลที่สำคัญแสดงให้เห็นว่ามีความถี่ธรรมชาติ (โหมด 1) สำหรับกระดูกเป็นเฮิร์ตซ์และ 23.574 12.085 Hz สำหรับแข้ง มะเดื่อ. 1 นอกจากนี้ยังแสดงให้เห็นถึงการมองเห็นระดับของการเสียรูปสำหรับแข้งขาอ่อนและตัวอย่างแรกภายใต้โหมดการดัด เป็นที่ชัดเจนว่าส่วนใหญ่ของการเสียรูปที่เกิดขึ้นในภูมิภาคเป็นศูนย์กลางของกลุ่มตัวอย่างทั้งสอง. (ก) (ข) (ค) รูปที่ 1 (ก) ผลความถี่ธรรมชาติสำหรับตัวอย่างขา ความผิดปกติผลการภายใต้โหมดการดัดครั้งแรกสำหรับแข้ง (ข) และโคนขา (ค). ที่สี่ การอภิปรายในที่สุดค่าความถี่ธรรมชาติสำหรับกระดูกชี้ให้เห็นผลที่คล้ายกันมากที่จะวรรณกรรมปัจจุบัน(สำหรับครั้งแรกที่สองโหมดดัด) คิม et al, รายงานธรรมชาติความถี่ประมาณ 23 เฮิร์ตซ์สำหรับโคนขาเมาส์ปกติตัวอย่างโดยใช้วิธีการทดลอง[7] นี้บ่งชี้ความถูกต้องของรูปแบบการคำนวณและวิธีการในการนี้การศึกษา Zhang et al, แสดงให้เห็นว่าการโหลดร่วมกันนำไปใช้ที่ความถี่แตกต่างกันส่งผลให้ในระดับที่แตกต่างกันของกระดูกเจริญเติบโต[3] นอกจากนี้นักวิจัยเหล่านี้นำเสนอช่วงของความถี่ในการโหลดที่ดีที่สุดที่ตรงกับผลการแสดงในการศึกษาครั้งนี้ โดยใช้รูปแบบในการศึกษาและนี้ผลการศึกษาเบื้องต้น, การศึกษาในอนาคตสามารถทำได้โดยการใช้ความถี่โหลดขึ้นอยู่กับเป้าหมายที่ความถี่ใกล้กับความถี่ธรรมชาติของกลุ่มตัวอย่างกระดูก นี้จะทำหน้าที่เป็นการตรวจสอบผลการทดลองของเรา แม้ว่าการวิเคราะห์แสดงผลที่มีแนวโน้มมีข้อ จำกัด หลายอย่างที่ต้องได้รับการแก้ไขเพื่อแสดงชุดที่ถูกต้องมากขึ้นของการศึกษา ข้อ จำกัด ที่สำคัญแรกคือพฤติกรรม isotropic และความหนาแน่นสม่ำเสมอทั้งตัวอย่างเช่นกระดูกจริงเป็นวัสดุ anisotropic สมมติฐานที่สำคัญอีกประการหนึ่งที่ถูกทำให้เป็นว่ารูปแบบประกอบด้วย แต่เพียงผู้เดียวของกระดูก ในความเป็นจริงประกอบด้วยกระดูกของเนื้อเยื่อต่างๆ mesynchymal ของเหลวสิ่งของ, เกลือแร่, เนื้อเยื่อและเซลล์กระดูกอื่น ๆ แต่เหล่านี้ใหม่อินพุตพารามิเตอร์จะให้ผลลัพธ์ที่น่าสนใจที่อาจย้ายเราใกล้ชิดกับสภาพของกระดูกในร่างกาย ในที่สุดเพื่อที่จะตรวจสอบผลของการทดลองในกลุ่มตัวอย่างจำนวนมากที่นำเสนออย่างมีนัยสำคัญค่าคงที่จะต้อง นี้เป็นโอกาสสำหรับการวิจัยในอนาคตที่การทดลองผลสามารถนำมาเปรียบเทียบกับรูปแบบการคำนวณที่นำเสนอในการศึกษานี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ตอนนี้สติฟเนสเมทริกซ์กำหนดเราโดยตรงสามารถใช้
ผลนี้ไปเกี่ยวกับสมการเพื่อหาการแจกแจงความถี่ธรรมชาติ

และความเครียด / กรอง ความถี่ธรรมชาติคำนวณโดยใช้สมการข้างล่าง
สำหรับแบบจำลองไฟไนต์เอลิเมนต์ undamped [ 6 ] .
ሺെ߱ଶࡹெே൅ࡷெேሻ߶ேൌ
0 ( 5 ) ใน สมการนี้ ωเท่ากับความถี่ธรรมชาติ (
โหมดการสั่นสะเทือนที่สอดคล้องกัน ) MMN เท่ากับมวลเมทริกซ์
ได้มาจากค่าความหนาแน่นของข้อมูล ( สมมาตรและบวก )
kmn เท่ากับ stiffness matrix Ф n มีค่าไอเกนเวกเตอร์ ( โหมดของการสั่นสะเทือนและ
) m และ n เท่ากับองศาของอิสรภาพ แนวคิดพื้นฐานเหล่านี้
เป็นพื้นฐานของการวิเคราะห์ความถี่
ธรรมชาติศึกษา ผล

3 รูปที่ 1 แสดงผลลัพธ์ที่ได้จาก
ไฟไนต์เอลิเมนต์การวิเคราะห์รูปแบบ ที่สำคัญพบว่า
ความถี่ธรรมชาติ ( โหมด 1 ) ตัดเป็น 23.574 Hz และ
12.085 Hz เพื่อกระดูกหน้าแข้ง รูปที่ 1 แสดงให้เห็นระดับ
การสำหรับกระดูกหน้าแข้งและกระดูกตัวอย่างข้างล่างก่อน
โหมดดัด มันเป็นที่ชัดเจนว่าส่วนใหญ่ของการเสียรูป
เกิดขึ้นในศูนย์ภูมิภาคของทั้งสองตัวอย่าง .
( )
( b ) ( C )
1 รูป :( ก ) ค่าความถี่ธรรมชาติแบบขาหลังตัวอย่าง รูปแรก ดัด
ผลภายใต้โหมดของกระดูกหน้าแข้ง ( B ) และกระดูกต้นขา ( C )
4 สนทนา
ในที่สุด ความถี่ธรรมชาติค่า
กระดูกพบคล้ายกันมากส่งผลให้วรรณกรรมปัจจุบัน (
2 ครั้งแรกดัดโหมด ) Kim et al . รายงานประมาณ 23 Hz ความถี่ธรรมชาติ

ปกติสำหรับเมาส์กระดูกต้นขาตัวอย่างการใช้วิธีการทดลอง [ 7 ] นี้บ่งชี้ความถูกต้องของการคำนวณ
รูปแบบและแนวทางการศึกษานี้

Zhang et al . พบว่า ผู้ใช้ที่ความถี่แตกต่างกันโหลด
มีผลในระดับต่าง ๆ ของการเจริญเติบโตของกระดูก
[ 3 ] นอกจากนี้ นักวิจัยเหล่านี้ที่นำเสนอช่วงของความถี่ที่เหมาะสมโหลด

ตรงกับผลลัพธ์ที่แสดงในการศึกษานี้โดยการใช้แบบจำลองในการศึกษาครั้งนี้และ
ผลเบื้องต้น , การศึกษาในอนาคตสามารถใช้ความถี่ขึ้นอยู่กับโหลดที่เป้าหมาย

ความถี่ใกล้เคียงกับความถี่ธรรมชาติของกระดูกตัวอย่าง นี้จะเป็นการทดลอง
ตรวจสอบผลของเรา แม้ว่าการวิเคราะห์
แสดงผลสัญญา มีหลายข้อที่ต้อง
ต้อง addressed เพื่อแสดงการตั้งค่าที่ถูกต้องมากขึ้นของ
ศึกษา ข้อจำกัดที่สำคัญแรกคือแบบพฤติกรรม
และเครื่องแบบความหนาแน่นผ่านตัวอย่างจริงเป็นกระดูกเป็น
วัสดุแอนไอโซทรอปิก . คีย์อื่นถูกสร้างเป็นสมมติฐาน
ที่โมเดลประกอบด้วย แต่เพียงผู้เดียวของกระดูก ในความเป็นจริง , กระดูกประกอบด้วยเนื้อเยื่อต่าง ๆ ดู mesynchymal
, ของเหลว , แร่ธาตุ ,