2.5 Cartesian VectorRight-Handed Co

2.5 Cartesian Vector
Right-Handed Coordinate System. We will use a righthanded coordinate system to develop the theory of vector algebra that
follows.A rectangular coordinate system is said to be right-handed if the thumb of the right hand fingers are curled about this axis and directed from the positive x towards the positive y axis, Fig.

Rectangular Components of a Vector. A vector A may have one, two, or three rectangular components along the x,y,z coordinate axes, depending on how the vector is oriented relative to the axes. In general, though, when A is directed within an octant of the x,y,z frame, Fig.2-22 then by two successive applications of the parallelogram law, we may resolve the vector into components as A = A + A z and then A = Ax + Ay. Combining these equations, to eliminate A, A is represented by the vector sum of its three rectangular components,
A = Ax + Ay + Az

Cartesian Unit Vectors. In three dimensions, the set of Cartesian unit vector, i,j,k, is used to designate the directions of the x,y,z axes, respectively. As stated in Sec.2-4, the sense (or arrowhead) of these vectors will be represented analytically by a plus or minus sing, depending on whether they are directed along the positive or negative x,y, or z axes. The positive Cartesian unit vectors are shown in FIG.2-23.

Cartesian Vector Representation. Since the three components of A in Eq. 2-2 act in the positive i,j, andk directions, Fig.2-24, we can
A = Axi + Ayj + Azk
There is a distinct advantage to writing vectors in this manner. Separating the magnitude and direction of each component vector will simplify the operations of vector algebra, particularly in three dimensions.

Magnitude of a Cartesian Vector. It is always possible to obtain the magnitude of A provided it is expressed in Cartesian vector form. As shown in Fig2-25, from the blue right triangle, A = /A'^2 + Az^2, and from the gray right triangle, A' = /Ax^2+Ay^2. Combining these equations to eliminate A' yields
A = /Ax^2 + Ay^2 + Az^2
Hence, the magnitude of A is equal to the positive square root of the sum of the squares of its components.

Coordinate Direction Angles. We will define the direction of A by the coordinate direction angles a(alpha), B(beta), and y(gamma), measured between the tail of A, Fig.2-26. Note that regardless of where A is directed, each of these angles will be between 0^o and 180^o.
To determine a,B, and y, consider the projection of A onto the x,y,z axes, Fig.2-27. Referring to the colored right triangles shown in the figure, we have
cos a = Ax/A cos B = Ay/A cosy = Az/A
These numbers are known as the direction cosines of A. Once they have been obtained, the coordinate direction angles a,B,y can then be determined from the inverse cosines.
An easy way of obtaining these direction cosines is to form a unit vector uA in the direction of A,Fig.2-26. It A is expressed in Cartesian vector form, A = Axi + Ayj +Azk, then uA will have a magnitude of one and be dimensionless provided A is divided by its magnitude, i.e.,
uA = A/a = Ax/Ai + Ay/Aj + Az/Ak
where A = /Ax^2 + A y^2 + A z^2. By comparison with Eqs.2-5, it is seen that
the i,j,k components of uA represent the direction cosines of A, i.e.,
uA = cos a i + cos B j + cos y k
Since the magnitudc of a vector is equal to the positive square root of
the sum of the squares of the magnitudes of its components, and uA has a magnitude of one, then from the above equation an important relation among the direction cosines can be formulated as
cos^2 a + cos^2 B + cos^2 y =1
Here we can see that if only two of the coordinate angles arc known, the third angle can be found using this equation.
Finally, if the magnitude and coordinate direction angles of A are known, then A may be expressed in Cartesian vector form as
A = AuA
= A cos ai + A cos Bj + A cos y k
=Axi + Ayj +Azk

Transvers and Azimuth Angles. Sometimes, the direction of A can be specified using two angles, namely, a transverse angle 0 and an azimuth angle o (phi), such as shown in Fig. 2- 28. The components of A can then be determined by applying trigonometry first to the blue right triangle, which yields
Az = A cos o
And A’ = A sin o
Now applying trigonometry to the dark blue right triangle,
Ax = A' cosO = A sino cosO
Ay= A' sinO = A sin o, sin o
Therefore A written in Cartesian vector fonn becomes
A = A sino coso i + A sino sino j + A coso k
You should not memorize this equation, rather it is important to understand h

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

2.5 Cartesian VectorRight-Handed Coordinate System. We will use a righthanded coordinate system to develop the theory of vector algebra thatfollows.A rectangular coordinate system is said to be right-handed if the thumb of the right hand fingers are curled about this axis and directed from the positive x towards the positive y axis, Fig. Rectangular Components of a Vector. A vector A may have one, two, or three rectangular components along the x,y,z coordinate axes, depending on how the vector is oriented relative to the axes. In general, though, when A is directed within an octant of the x,y,z frame, Fig.2-22 then by two successive applications of the parallelogram law, we may resolve the vector into components as A = A + A z and then A = Ax + Ay. Combining these equations, to eliminate A, A is represented by the vector sum of its three rectangular components, A = Ax + Ay + AzCartesian Unit Vectors. In three dimensions, the set of Cartesian unit vector, i,j,k, is used to designate the directions of the x,y,z axes, respectively. As stated in Sec.2-4, the sense (or arrowhead) of these vectors will be represented analytically by a plus or minus sing, depending on whether they are directed along the positive or negative x,y, or z axes. The positive Cartesian unit vectors are shown in FIG.2-23. Cartesian Vector Representation. Since the three components of A in Eq. 2-2 act in the positive i,j, andk directions, Fig.2-24, we can A = Axi + Ayj + Azk There is a distinct advantage to writing vectors in this manner. Separating the magnitude and direction of each component vector will simplify the operations of vector algebra, particularly in three dimensions.Magnitude of a Cartesian Vector. It is always possible to obtain the magnitude of A provided it is expressed in Cartesian vector form. As shown in Fig2-25, from the blue right triangle, A = /A'^2 + Az^2, and from the gray right triangle, A' = /Ax^2+Ay^2. Combining these equations to eliminate A' yields A = /Ax^2 + Ay^2 + Az^2Hence, the magnitude of A is equal to the positive square root of the sum of the squares of its components.Coordinate Direction Angles. We will define the direction of A by the coordinate direction angles a(alpha), B(beta), and y(gamma), measured between the tail of A, Fig.2-26. Note that regardless of where A is directed, each of these angles will be between 0^o and 180^o. To determine a,B, and y, consider the projection of A onto the x,y,z axes, Fig.2-27. Referring to the colored right triangles shown in the figure, we have cos a = Ax/A cos B = Ay/A cosy = Az/A These numbers are known as the direction cosines of A. Once they have been obtained, the coordinate direction angles a,B,y can then be determined from the inverse cosines. An easy way of obtaining these direction cosines is to form a unit vector uA in the direction of A,Fig.2-26. It A is expressed in Cartesian vector form, A = Axi + Ayj +Azk, then uA will have a magnitude of one and be dimensionless provided A is divided by its magnitude, i.e., uA = A/a = Ax/Ai + Ay/Aj + Az/Ak where A = /Ax^2 + A y^2 + A z^2. By comparison with Eqs.2-5, it is seen that the i,j,k components of uA represent the direction cosines of A, i.e.,uA = cos a i + cos B j + cos y k Since the magnitudc of a vector is equal to the positive square root ofthe sum of the squares of the magnitudes of its components, and uA has a magnitude of one, then from the above equation an important relation among the direction cosines can be formulated as cos^2 a + cos^2 B + cos^2 y =1 Here we can see that if only two of the coordinate angles arc known, the third angle can be found using this equation. Finally, if the magnitude and coordinate direction angles of A are known, then A may be expressed in Cartesian vector form as A = AuA = A cos ai + A cos Bj + A cos y k =Axi + Ayj +AzkTransvers and Azimuth Angles. Sometimes, the direction of A can be specified using two angles, namely, a transverse angle 0 and an azimuth angle o (phi), such as shown in Fig. 2- 28. The components of A can then be determined by applying trigonometry first to the blue right triangle, which yields Az = A cos oAnd A’ = A sin oตอนนี้ ใช้ตรีโกณมิติการเข้มสีฟ้าขวาสามเหลี่ยม Ax = A' แนว cosO =เป็นแนว cosO โน Ay = A' โน = sin o, sin oจะเขียนใน fonn คาร์ทีเซียนเวกเตอร์ A ดังนั้น A =เป็นแนว coso โนผมตัวโนโน j + k แนว cosoนอกจากนี้คุณไม่ควรจำสมการนี้ แต่ ก็ต้องเข้าใจ h

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

2.5 คาร์ทีเซียนเวกเตอร์
มือขวาระบบพิกัด เราจะใช้ righthanded ระบบพิกัดในการพัฒนาทฤษฎีของพีชคณิตเวกเตอร์ว่า
follows.A ระบบพิกัดฉากจะกล่าวว่าเป็นมือขวาถ้านิ้วหัวแม่มือนิ้วมือที่เหมาะสมจะขดรอบแกนนี้และกำกับจาก x บวกต่อบวก แกน y มะเดื่อ. ส่วนประกอบสี่เหลี่ยมของเวกเตอร์ เวกเตอร์อาจจะมีหนึ่งสองหรือสามองค์ประกอบสี่เหลี่ยมพร้อม X, Y, Z แกนพิกัดขึ้นอยู่กับว่าเวกเตอร์เป็นเชิงเทียบกับแกน โดยทั่วไป แต่เมื่อเป็นผู้กำกับภายใน octant ของ X, Y, Z กรอบการ Fig.2-22 แล้วโดยทั้งสองโปรแกรมต่อเนื่องของกฎหมายสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เราอาจแก้ไขเวกเตอร์เป็นส่วนประกอบในฐานะ = a + A ซี แล้ว = Ax + Ay รวมสมการเหล่านี้เพื่อขจัด A, A เป็นตัวแทนจากผลรวมเวกเตอร์ของสามองค์ประกอบสี่เหลี่ยมของA = Ax + Ay + Az Cartesian หน่วยเวกเตอร์ ในสามมิติชุดของหน่วยเวกเตอร์คาร์ทีเซียน, I, J, K, จะใช้ในการกำหนดทิศทางของ X, Y, Z แกนตามลำดับ ตามที่ระบุใน Sec.2-4 ความรู้สึก (หรือลูกศร) ของเวกเตอร์เหล่านี้จะแสดงการวิเคราะห์โดยบวกหรือลบร้องเพลงขึ้นอยู่กับว่าพวกเขาเป็นผู้กำกับตาม x บวกหรือลบแกน Y หรือ Z บวกเวกเตอร์หน่วย Cartesian จะแสดงใน FIG.2-23. แทนเวกเตอร์คาร์ทีเซียน ตั้งแต่สามส่วนประกอบของสมการ 2-2 การกระทำในเชิงบวกฉัน, J, andk ทิศทาง Fig.2-24 เราสามารถA = Axi + + Ayj AZK มีประโยชน์ที่แตกต่างคือการเขียนเวกเตอร์ในลักษณะนี้ แยกขนาดและทิศทางของเวกเตอร์แต่ละชิ้นส่วนจะลดความซับซ้อนของการดำเนินงานของพีชคณิตเวกเตอร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในสามมิติ. ขนาดของเวกเตอร์คาร์ทีเซียน มันเป็นไปได้ที่จะได้รับขนาดของการที่มีให้มันจะแสดงในรูปแบบเวกเตอร์คาร์ทีเซียน ดังแสดงใน Fig2-25 จากขวาสามเหลี่ยมสีฟ้า, A = / A '^ 2 + Az ^ 2 และจากขวาสามเหลี่ยมสีเทา' = / Ax ^ 2 + Ay ^ 2 รวมสมการเหล่านี้เพื่อขจัดผลเป็น ' A = / Ax ^ 2 + Ay ^ 2 + Az ^ 2 ดังนั้นขนาดของมีค่าเท่ากับรากที่เป็นบวกของผลรวมของสี่เหลี่ยมของส่วนประกอบของมัน. ประสานงานมุมทิศทาง เราจะกำหนดทิศทางของการโดยประสานงานทิศทางมุม (alpha), B (เบต้า) และ Y (แกมมา) ที่วัดระหว่างหางของ A, Fig.2-26 โปรดทราบว่าไม่คำนึงถึงว่าจะถูกกำกับแต่ละมุมเหล่านี้จะอยู่ระหว่าง 0 ^ o และ 180 ^ o. การตรวจสอบ A, B, Y และพิจารณาประมาณการของลงบน x, y, แกน Z, รูปที่ 2 -27 หมายถึงด้านขวาของสามเหลี่ยมสีแสดงในรูปที่เรามีcos A = Ax / A cos B = Ay / บรรยากาศสบาย ๆ = Az / A ตัวเลขเหล่านี้เป็นที่รู้จักกันเป็นทิศทางความผาสุกของ A. เมื่อพวกเขาได้รับการประสานงานทิศทาง มุม A, B, Y นั้นจะสามารถกำหนดจากความผาสุกผกผัน. เป็นวิธีที่ง่ายของการได้รับความผาสุกทิศทางเหล่านี้คือรูปแบบเวกเตอร์หน่วย uA ในทิศทางของ A, Fig.2-26 มันจะถูกแสดงในรูปแบบเวกเตอร์คาร์ทีเซียน A = Axi + Ayj + AZK แล้ว uA จะมีขนาดของหนึ่งและเป็นมิติให้บริการมีจะแบ่งตามขนาดของมันคือuA = A / A = Ax / Ai + Ay / AJ + Az / Ak ที่ A = / Ax ^ 2 + A Y ^ 2 + A Z ^ 2 โดยเปรียบเทียบกับ Eqs.2-5 ก็จะเห็นได้ว่าที่ฉัน, J, K ส่วนประกอบของ uA เป็นตัวแทนของทิศทางความผาสุกของเช่นuA = cos ai + cos B + J cos YK ตั้งแต่ magnitudc ของเวกเตอร์ที่มีค่าเท่ากับ กับรากบวกของผลรวมของสี่เหลี่ยมของขนาดของชิ้นส่วนของมันและ uA มีขนาดของหนึ่งแล้วจากสมการข้างต้นความสัมพันธ์ที่สำคัญในหมู่ทิศทางความผาสุกสามารถสูตรcos ^ 2 A + cos ^ 2 B + cos ^ 2 Y = 1 ที่นี่เราสามารถเห็นว่าถ้าเพียงสองพิกัดมุมโค้งที่รู้จักกันในมุมที่สามสามารถพบได้โดยใช้สมการนี้. สุดท้ายหากขนาดและประสานงานมุมทิศทางของเป็นที่รู้จักกันแล้วอาจ แสดงในรูปแบบเวกเตอร์คาร์ทีเซียนเป็นA = AUA = a cos AI + A cos Bj + A cos YK = Axi + + Ayj AZK Transvers และมุม Azimuth บางครั้งทิศทางของการที่สามารถจะระบุโดยใช้สองมุมคือมุมขวาง 0 และมุมราบ O (พี) เช่นที่แสดงในรูป 2- 28 ส่วนประกอบของนั้นจะสามารถคำนวณโดยการใช้ตรีโกณมิติแรกที่สามเหลี่ยมขวาสีฟ้าที่ทำให้Az = a cos o และ A '= a บาป o ตอนนี้ใช้ตรีโกณมิติที่มืดสามเหลี่ยมสีฟ้า, Ax = A' COSO = a Sino COSO Ay = A 'โน = บาป o บาป o จึงเขียนใน Fonn เวกเตอร์คาร์ทีเซียนกลายเป็นA = Coso Sino i + เจชิโนชิโน + A Coso k คุณไม่ควรจดจำสมการนี้ค่อนข้างจะเป็น สำคัญที่จะเข้าใจ H